1.4解直角三角形随堂练习 北师大版数学九年级下册（含解析）

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1.4解直角三角形
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，小亮为了测量校园里教学楼的高度，将测角仪竖直放置在与教学楼水平距离为的地面上，若测角仪的高度为，测得教学楼的顶部处的仰角为，则教学楼的高度是( )
A． B． C． D．
2．如图，在中，．作交边于点E，连接，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，AB＝3，则BC的长为（ ）
A．3sin35° B．2cos35° C．3cos35° D．3tan35°
4．如图，在Rt△ABC中，直角边BC的长为m，∠A＝40°，则斜边AB的长是（　　）
A．msin40° B．mcos40° C． D．
5．如图，边长为1的正方形绕点逆时针旋转到正方形，图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，，，，于D，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在△ABC中，，，，点D是CB延长线上的一点，且，则tan∠DAC的值为（ ）
A． B．2 C． D．3
8．如图，将一块含30°角的三角板ABC的直角顶点C放置于直线m上，点A，点B在直线m上的正投影分别为点D，点E，若AB＝10，BE＝3，则AB在直线m上的正投影的长是（　　）
A．5 B．4 C．3+4 D．4+4
9．在△中，，，，则等于(　　)
A． B．1 C．2 D．3
10．已知△ABC 中， ∠C=90°，tanA= ，D 是 AC 上一点， ∠CBD=∠A， 则 cos∠CDB的值为（ ）
A． B． C． D．2
11．在中，，那么的值是（ ）
A． B． C． D．
12．的半径为，若则弦的长为( )
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知在中，，，，则的值为
14．在中，，，则的值为 .
15．如图，在高2米，坡角为30°的楼梯表面铺地砖，地毯的长度至少需 米（精确到0.1米）．
16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝37°，BC＝32，则AC＝ ．
(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)
17．如图，在矩形中，点是的中点，点为射线上的一个动点，沿着折叠得到，连接，分别交和于点和，已知，，若与相似，则的长是 ．

三、解答题
18．如图①，在Rt△ABC中，以下是小亮探究与之间关系的方法：
∵sinA=，sinB=，
∴c=，c=，
∴=，
根据你掌握的三角函数知识．在图②的锐角△ABC中，探究、、之间的关系，并写出探究过程．
19．已知：如图，在山脚的处测得山顶的仰角为，沿着坡角为的斜坡前进米到达处（即∠，米），测得的仰角为，求山的高度．
20．已知钝角三角形ABC，点D在BC的延长线上，连接AD，若∠DAB=90°，∠ACB=2∠D，AD=2，AC=，根据题意画出示意图，并求tanD的值.
21．已知在中，，，．解这个直角三角形．
22．某地铁站口的垂直截图如图所示，已知∠A=30°，∠ABC=75°，AB=BC=4米，求C点到地面AD的距离（结果保留根号）．
23．如图，，．若，，求的长．（结果保留根号）
24．如图，在△ABC中，∠C＝90°．
（1）用尺规作∠A的平分线交BC边于点D（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的基础上，已知∠B＝30°，AC＝6，则线段AD的长是　 　．
《1.4解直角三角形》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A C C C D A C B B
题号 11 12
答案 A A
1．C
【分析】过作交于，得到DE，在中，，求出AE，从而求出AB
【详解】过作交于，
在中，
故选C
【点睛】本题主要考查解直角三角形，能够构造出直角三角形是本题解题关键
2．A
【分析】过点作于点，过点作于点，根据三角函数以及勾股定理求出的长度，然后根据三角形面积公式得出的长度，结果可得．
【详解】解：过点作于点，过点作于点，
，
，
，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解直角三角形，勾股定理，含的直角三角形的性质等知识点，熟练掌握解直角三角形以及勾股定理是解本题的关键．
3．C
【解析】略
4．C
【分析】利用三角函数的定义即可求解．
【详解】解：∵sinA＝，
∴AB＝，
故选：C．
【点睛】本题考查了三角函数，正确理解三角函数的定义是关键．
5．C
【分析】设与交于点E．由于阴影部分的面积，又，所以关键是求．为此，连接．根据易证，得出．在直角中，由正切的定义得出．再利用三角形的面积公式求出．
【详解】解：设与交于点E，连接．
在与中，，
，
∴（），
∴．
∵，
∴，
∴．
∴．
∴阴影部分的面积．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了正方形、旋转的性质，直角三角形的判定及性质，图形的面积以及三角函数等知识，综合性较强，有一定难度．
6．D
【分析】在Rt△ABC中，先利用勾股定理求出BC的长，再分别在与中利用即可得出答案
【详解】解：，，，
.
在与中，，
即，.故选D.
【点睛】本题考查了勾股定理和解直角三角形，解题关键是利用的不同表示形式得出比例式
7．A
【分析】通过解直角得到与、间的数量关系，然后利用锐角三角函数的定义求的值．
【详解】解：在中，，，
，，
，
，
．
故选：A．
【点睛】本题考查了解直角三角形，利用锐角三角函数的概念解直角三角形问题是解决本题的关键．
8．C
【分析】根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得AC=5，根据锐角三角函数可得BC的长，再根据勾股定理可得CE的长；通过证明△ACD∽△CBE，再根据相似三角形的性质可得CD的长，进而得出DE的长．
【详解】解：在Rt△ABC中，∠ABC=30°，AB=10，
∴AC=AB=5，BC=AB cos30°=10×，
在Rt△CBE中，CE=，
∵∠CAD+∠ACD=90°，∠BCE+∠ACD=90°，
∴∠CAD=∠BCE，
∴Rt△ACD∽Rt△CBE，
∴，
∴CD=，
∴DE=CD+BE=，
即AB在直线m上的正投影的长是，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行投影，掌握相似三角形的判断与性质以及勾股定理是解答本题的关键．
9．B
【详解】∵ 在△中，，，，
∴ ，∴ ．故选B．
10．B
【分析】由已知条件，可得，设，由题意可得，即可算出，在中，根据勾股定理可得，由余弦定义进行计算即可得出答案．
【详解】解：，
，
设，
，
，
在中，
，
．
故选：B
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法进行求解是解决本题的关键．
11．A
【分析】
设相邻直角边为x，由得斜边为，根据勾股定理求出对边，代入正弦公式即可得到答案．
【详解】解：设相邻直角边为x，
∵，
∴斜边=，
根据勾股定理可得
对边，
∴，
故选A．
【点睛】本题考查解直角三角形及勾股定理，解题的关键是设出邻边根据余弦表示出对边及斜边．
12．A
【分析】过作于，由垂径定理得出，根据等腰三角形性质求出，根据，求出，即可求出．
【详解】解：过作于，
则由垂径定理得：，
∵，
∴，
∴在中，，
∴，
∴，
故选．
【点睛】本题考查了垂径定理、解直角三角形的应用等，正确添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．
13．/0.5
【分析】根据正切的定义求解即可．
【详解】在中，∵，，，
∴．
故答案为：．

【点睛】本题考查了锐角三角函数的概念，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
14．
【分析】根据题意设，则，得出，再利用正切的定义求解即可．
【详解】解：∵在中，，，
设，则，
∴，
∴

故答案为：．
【点睛】本题考查了一个锐角的正弦与正切值，解题关键是理解正弦与正切的定义．
15．5.5
【分析】观察图形可以得出每个阶梯的高之和为BC,每个阶梯的宽之和为AC,可知阶梯上铺地毯长度至少为AC+BC；解直角△ABC即可求出AC的值.
【详解】根据题意可知,每个阶梯的高之和为BC,每个阶梯的宽之和为AC.
∵ ∠BCA=90° ∠A=30°， BC=2m，
∴ AC=,
∴ AC+BC=2+≈5.5(m)，
即地毯的长度至少应计划5.5(m)，
故答案为:5.5.
【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键.
16．24．
【分析】根据正切的定义得到tanB=，然后把tan37°≈0.75和BC=32代入计算即可．
【详解】在Rt△ABC中，∠C=90°，
所以tanB=，即tan37°=，
所以AC=32 tan37°=32×0.75=24．
故答案为24．
【点睛】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
17．1或3
【分析】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质及锐角三角函数，分两种情况：当时，；当时，，分别进行计算即可，熟练掌握矩形的性质、相似三角形的判定与性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
【详解】解：当时，，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
；
当时，，
；
综上所述，的长是1或3，
故答案为：1或3．
18．==，理由见解析.
【分析】过A作AD⊥BC，BE⊥AC，在直角三角形ABD中，利用锐角三角函数定义表示出AD，在直角三角形ADC中，利用锐角三角函数定义表示出AD，两者相等即可得证．
【详解】解:==，理由如下：
如图，过A作AD⊥BC，BE⊥AC，
在Rt△ABD中，sin∠ABC=，即AD=csin∠ABC，
在Rt△ADC中，sinC=，即AD=bsinC，
∴csin∠ABC=bsinC, ∴=，即=，
同理可得=，
则==．
【点睛】本题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．
19．
【详解】解:如图，作⊥于，⊥于，
在Rt△中，∠， 米，
所以，
在Rt△中，∠，设，
则.
在矩形中，米，，
在Rt△中，∠，∴，
即，
∴，∴ ， ∴米．
20．
【详解】解：如图，∵∠ACB＝∠D＋∠CAD，∠ACB＝2∠D．
∴∠CAD＝∠D，
∴CA＝CD．
∵∠DAB＝90°，
∴∠B＋∠D＝90°，∠BAC＋∠CAD＝90°，
∴∠B＝∠BAC，
∴AC＝CB．
∴．
在Rt△ABD中，∵∠DAB＝90°，AD＝2，BD＝3，
∴，
∴．
21．见解析
【分析】本题主要考查勾股定理，特殊角的三角函数值，解题关键是认真的进行计算，熟练掌握特殊角的三角函数值．首先根据勾股定理推出的长度，然后根据和的关系即可推出的度数，进而求出的度数，问题得解．
【详解】解：在中，，，
，
，
，
．
22．C点到地面AD的距离为：（2+2）m．
【分析】直接构造直角三角形，再利用锐角三角函数关系得出BE，CF的长，进而得出答案．
【详解】过点B作BE⊥AD于E，作BF∥AD，过C作CF⊥BF于F，
在Rt△ABE中，∵∠A=30°，AB=4m，
∴BE=2m，
由题意可得：BF∥AD，
则∠FBA=∠A=30°，
在Rt△CBF中，
∵∠ABC=75°，
∴∠CBF=45°，
∵BC=4m，
∴CF=sin45° BC=
∴C点到地面AD的距离为：
【点睛】考查解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数是解题的关键.
23．
【分析】在中，分别利用三角函数的知识可求出BE、CE的长，在中，利用勾股定理即可求解．
【详解】如图，过点B作于点E．
，，
∴．
在中，， ，
∴， ，
∴．
在中，．
【点睛】本题考查了解直角三角形和勾股定理的应用，解答本题的关键是作出辅助线，构造直角三角形，利用三角函数的知识可求出BE、CE的长．
24．（1）见解析；（2）
【分析】（1）依据角平分线的作图方法即可得到AD；
（2）依据三角形内角和定理以及角平分线的定义，即可得到∠CAD的度数，进而得出AD的长．
【详解】解：（1）以A为圆心，任意长度为半径作弧，分别交AC、AB于M、N，然后分别以M、N为圆心，大于MN为半径作弧，两弧交于点E，作射线AE交BC于点D，如图所示，AD即为所求；
（2）∵∠B＝30°，∠C＝90°，
∴∠BAC＝60°，
又∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝30°，
∴Rt△ACD中，AD＝＝＝．
故答案为：．
【点睛】此题考查的是作角平分线和解直角三角形，掌握利用尺规作图作一个角的角平分线和利用锐角三角函数解直角三角形是解决此题的关键．
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