6.1平行四边形的性质随堂练习 北师大版数学八年级下册（含解析）

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6.1平行四边形的性质
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，平行四边形ABCD的顶点A，B，C的坐标分别是（0，2），（－4，－4），（4，－4），则顶点D的坐标是（ ）
A．（-8，2） B．（8，-4） C．（4，2） D．（8，2）
2．如图，在平面直角坐标系中，OABC的顶点A在x轴上，定点B的坐标为（8，4），若直线经过点D（2，0），且将平行四边形OABC分割成面积相等的两部分，则直线DE的表达式是（ ）
A．y=x-2 B．y=2x-4 C．y=x-1 D．y=3x-6
3．若平行四边形中两个相邻内角度数比为1:2，则其中较大的内角是（ ）
A．90° B．60° C．120° D．45°
4．如图，，的顶点在上，交于点，若，则（ ）
A． B． C． D．
5．如图所示，在ABCD中，已知AC=3cm，若△ABC的周长为8cm，则平行四边形的周长为（ ）
A．5cm B．10cm C．16cm D．11cm
6．如图， ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于E，DE⊥AE，下列结论：①DE平分∠ADC；②E是BC的中点；③AD=2CD；④梯形ADCE的面积与△ABE的面积比是3：1，其中正确的结论的个数有（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
7．如图，E，F分别是 ABCD的边AD、BC上的点，EF=6，∠DEF=60°，将四边形EFCD沿EF翻折，得到EFC′D′，ED′交BC于点G，则△GEF的周长为（　　）
A．6 B．12 C．18 D．24
8．在中，，点A，C，D分别在，，上，四边形为平行四边形，且，则四边形的周长是（　　）

A．24 B．18 C．16 D．12
9．平行四边形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠AOC＝45°，OA＝OC＝，则点B的坐标为（　　）
A．(，1) B．(1，) C．(＋1，1) D．(1，＋1)
10．平行四边形的对角线分别为，一边长为12，则的值可能是下列各组数中的（ ）
A．8与14 B．10与14 C．18与20 D．10与38
11．如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，且AB=5，△OCD的周长为23，则平行四边形ABCD的两条对角线的和是（）．
A．18 B．28 C．36 D．46
12．如图所示，在ABCD中，对角线AC，BD交于点O，图中全等三角形有（ ）
A．5对 B．4对 C．3对 D．2对
二、填空题
13．如图，在平面直角坐标系中，D是平行四边形ABOC内一点，CD与x轴平行，AD与y轴平行，已知，，，，则D点的坐标为 ．
14．如图，在平面直角坐标系中，点，，将平行四边形OABC绕点O旋转90°后，点B的对应点坐标是 ．
15．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD和∠ADC的平分线交于点O，且分别交直线BC于点E，F，若AB＝5，BC＝3，则OE2＋OF2＝ ．
16．如图，将沿EF对折，使点A落在点C处，若，则AE的长为 .
17．如图，在平行四边形D中，，在上取，则的度数是 度．
三、解答题
18．如图，在中，与的长度之比为．求，之间的距离与，之间的距离之比．
19．如图，在平行四边形中，，E为的中点，求∠的度数.
20．如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，的顶点坐标分别为，，．
(1)请在图中画出关于原点的中心对称图形；
(2)请直接写出以、、为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标．
21．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD．
(1)已知∠A=∠B，求证：AD=BC；
(2)已知AD=BC，求证：∠A=∠B．
22．如图，已知中，E为AD的中点，CE的延长线交BA的延长线于点E.
(1)试说明线段CD与FA相等的理由；
(2)若使，的边长之间还需再添加一个什么条件？请你补上这个条件，并说明你的理由(不要再增添辅助线)
23．如图，的对角线交于点O，，，且．
(1)求的长；
(2)求的面积．
24．如图，在 ABCD中，已知AB=4cm，BC=9cm，∠B=30°，求 ABCD的面积．
《6.1平行四边形的性质》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A C C B A C D C C
题号 11 12
答案 C B
1．D
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，则AD=BC，只要计算出BC的长度，就可由A点坐标推出D点坐标．
【详解】解：∵B（-4，-4），C（4，-4）
∴BC=4﹣(-4)=4+4=8，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=8，
∵点A的坐标为（0，2），
∴点D的坐标为（8，2），
故选：D．
【点睛】本题考查平面直角坐标系中两点之间的距离，平行四边形的性质，能够熟练运用平行四边形的性质是解决本题的关键．
2．A
【分析】过平行四边形的对称中心的直线把平行四边形分成面积相等的两部分，先求出平行四边形对称中心的坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式解答即可．
【详解】解：∵点B的坐标为（8，4），
∴平行四边形的对称中心坐标为（4，2），
设直线DE的函数解析式为y=kx+b，
则，
解得，
∴直线DE的解析式为y=x-2．
故选：A．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，平行四边形的性质，熟练掌握过平行四边形的中心的直线把平行四边形分成面积相等的两部分是解题的关键．
3．C
【分析】据平行四边形的性质得出AB∥CD，推出∠B+∠C=180°，根据∠B：∠C=1：2，求出∠C即可．
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠B+∠C=180°，
∵∠B：∠C=1：2，
∴∠C=×180°=120°，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质和平行四边形的性质的应用，能熟练地运用性质进行计算是解此题的关键，题目比较典型，难度不大．
4．C
【分析】由平行四边形的性质得出∠BAD=∠C=100°，AD∥BC，由平行线的性质得出∠2=∠ADE，∠ADE+∠BAD+∠1=180°，得出∠1+∠2=180°-∠BAD=80°即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD=∠C=100°，AD∥BC，
∴∠2=∠ADE，
∵l1∥l2，
∴∠ADE+∠BAD+∠1=180°，
∴∠1+∠2=180°-∠BAD=80°；
故选C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质；熟练掌握平行四边形的性质和平行线的性质是解题的关键．
5．B
【分析】由AC=3cm，△ABC的周长为8cm，可得AB+BC的值，根据平行四边形的性质可得AB=CD，AD=BC，即可求得结果．
【详解】解： ∵△ABC的周长=AB+BC+AC=8cm，AC=3cm，
∴AB+BC=5cm，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，
∴AB+CD+AD+BC=10cm，
故选B
【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，解答本题的关键是熟练掌握平行四边形的性质：平行四边形的两组对边分别相等．
6．A
【分析】由平行四边形的性质、平行线的性质及角平分线的性质可判定①正确；由两个角平分线及平行四边形的性质可判定②正确；由AD=BC及②的结论可得③正确；由三角形面积及平行四边形面积易得④正确，从而可得答案．
【详解】①∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠BAD+∠ADC=180°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠EAD=∠BAE=∠BAD，
∵DE⊥AE，
∴∠AED=90°，
∴∠EAD+∠ADE=90°，
∴∠BAE+∠CDE=90°，
∴∠ADE=∠CDE，
∴DE平分∠ADC，故①正确；
②∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB=DC，
∴∠DAE=∠AEB，
∵∠EAD=∠BAE，
∴∠BAE=∠BEA，
∴AB=EB，
同理EC=DC，
∴EB=EC，
∴E是BC的中点，故②正确；
③∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC，
∵BE=EC，
∴AD=2CD，故③正确；
④∵四边形ABCD是平行四边形
∴=，
∴，
∵EB=EC，
∴，
∴梯形ADCE的面积与△ABE的面积比是3:1，故④正确，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
7．C
【分析】由折叠得：∠DEF=∠D′EF=60°，在由平行四边形的对边平行，得出内错角相等，得出△GEF是等边三角形，已知边长求出周长即可．
【详解】解：∵∠DEF=60°，
∴由翻折可知∠DEF=∠D′EF =60°，
∴∠AEG=60°，
∵平行四边形ABCD中，AD//BC，
∴∠EGF=∠AEG=60°，∠EFG=∠DEF=60°，
∴∠FEG=∠EGF=∠EFG＝60°，
∴△EFG是个等边三角形，
∴△GEF的周长=3EF=3×6=18，
故选：C
【点睛】考查平行四边形的性质、轴对称的性质和等边三角形的性质等知识，得到△GEF是等边三角形，是解决问题的关键．
8．D
【分析】根据平行四边形的性质得出，，根据平行线的性质得出，，求出，根据等角对等边得出，，，即可求出平行四边形的周长．
【详解】解：∵在平行四边形中，，
∴，，
∵，
∴，
∴，，，
∴四边形的周长，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，解题的关键是根据等角对等边证明，，．
9．C
【分析】作，求得、的长度，即可求解．
【详解】解：作，如下图：
则
在平行四边形中，，
∴
∴为等腰直角三角形
则，解得
∴
故选：C
【点睛】此题考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质以及勾股定理，解题的关键是灵活运用相关性质进行求解．
10．C
【分析】根据平行四边形的性质得出OA=OC，OB=OD，当AB=12时，根据三角形的三边关系定理只要满足：OB-OA＜12＜OB+OA（OB＞OA）即可，将OA、OB的值代入看是否符合即可．
【详解】解：∵平行四边形ABCD，
∴OA=OC，OB=OD，
当AB=12时，根据三角形的三边关系定理只要满足：
OB-OA＜12＜OB+OA（OB＞OA）即可，
A、OA=4，OB=7，12＞4+7，故本选项不符合题意；
B、OA=5，OB=7，12=5+7，故本选项不符合题意；
C、OA=9，OB=10，10+9＞12，故本选项符合题意；
D、OA=5，OB=19，5+12＜19，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查对平行四边形的性质，三角形的三边关系定理等知识点的理解和掌握，能熟练地运用性质进行说理是解此题的关键．
11．C
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=5，
∵△OCD的周长为23，
∴OD+OC=23﹣5=18，
∵BD=2DO，AC=2OC，
∴平行四边形ABCD的两条对角线的和=BD+AC=2（DO+OC）=36．
故选C．
12．B
【分析】根据平行四边形的性质及全等三角形的判定可证，，，据此判断即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，AB∥CD，AD∥CB，
OA=OC，OB=OD，∠BAC=∠ADC，∠BAD=∠BCD，
∴，，．
∴ 全等三角形有4对．
故答案为：B．
【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，三角形全等的判定，掌握以上知识是解题的关键．
13．（-2，8）
【分析】过点B作BE⊥y轴于E点，交AD的延长线于点F，先通过AAS证出△BOE≌△CAD，根据全等三角形的性质得到OE=AD，BE=CD，根据三角形的面积即可得到结论．
【详解】过点B作BE⊥y轴于E点，交AD的延长线于点F，
∵四边形ABOC是平行四边形，
∴AC=OB，AC∥OB，
∴∠OGC=∠BOE，
∵AD∥y轴，
∴∠DAC=∠OGC，
∴∠BOE=∠DAC，
在△BOE和△CAD中，
，
∴△BOE≌△CAD（AAS），
∴OE=AD=2，BE=CD=8，
∵S△ABD=6，
∴AD BF=6，
∴×2×BF=6，
∴BF=6，
∴EF=BE-BF=2，
∵∠ADB=135°，
∴∠BDF=45°，
∴BF=DF=6，
∵DF+OE=6+2=8
∴D（-2，8），
故答案为：（-2，8）．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、三角形全等的判定与性质、等腰直角三角形的性质、坐标与图形的性质等知识，证得△BOE≌△CAD是解题的关键．
14．或
【分析】根据旋转可得： BM = B1M1 = B2M2 = 3，∠AOA1 =∠AOA2 = 90°，可得B1和B2的坐标，即是B'的坐标．
【详解】解：∵A(-1，2)， OC= 4，
∴ C(4，0)，B(3，2)，M(0，2)， BM = 3，
AB//x轴，BM= 3．
将平行四边形OABC绕点O分别顺时针、逆时针旋转90°后，
由旋转得：OM=OM1=OM2=2，
∠AOA1=∠AOA2=90°
BM=B1M1=B2M2=3，
A1B1⊥x轴，A2B2⊥x轴，
∴B1和B2的坐标分别为： (-2，3)， (2，-3)，
∴B'即是图中的B1和B2，坐标就是， B' (-2， 3)， (2，-3)，
故答案为： (-2，3)或 (2， -3)．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形的性质，旋转的性质，正确的识别图形是解题的关键．
15．49
【分析】根据平行四边形的性质以及线段的和差关系可求得BF和CE的长，进而得出EF的长；再根据平行线的性质以及角平分线的定义即可得到∠EOF=90°；最后根据勾股定理进行计算即可解答．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ADBC，AB//CD
∴∠E=∠DAE，
又∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠E=∠BAE，
∴AB=BE=5，
又∵BC=3，
∴CE=5-3=2，
同理：BF=2，
∴EF=2+3+2=7，
∵AB//CD，
∴∠BAD+∠ADC=180°，
又∵∠BAD和∠ADC的平分线交于点0，
∴∠OAD+∠ODA=90°，
∴∠AOD=90°=∠EOF，
∴Rt△EOF中， ．
故答案为49．
【点睛】本题主要了平行四边形的性质以及勾股定理的运用，解决问题的关键是掌握平行四边形的对边平行且相等．
16．
【详解】试题分析：过点C作CG⊥AB的延长线于点G，
在 ABCD中，∠D=∠EBC，AD=BC，∠A=∠DCB，
由于 ABCD沿EF对折，∴∠D′=∠D=∠EBC，∠D′CE=∠A=∠DCB，D′C=AD=BC，
∴∠D′CF+∠FCE=∠FCE+∠ECB，∴∠D′CF=∠ECB，
在△D′CF与△ECB中， ,∴△D′CF≌△ECB（ASA）,∴D′F=EB，CF=CE，
∵DF=D′F，∴DF=EB，AE=CF
设AE=x，则EB=8﹣x，CF=x，∵BC=4，∠CBG=60°，∴BG=BC=2，由勾股定理可知：CG=2，
∴EG=EB+BG=6﹣x+2=8﹣x
在△CEG中，由勾股定理可知：（8﹣x）2+（2）2=x2，
解得：x=AE=
考点： 1.翻折变换（折叠问题）；2.平行四边形的性质．
17．/度
【分析】根据平行四边形的性质求得，，再根据等腰三角形的性质求得，进而可求解．
【详解】解：在平行四边形中，，，
∴，，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的性质，找到角之间的关系并正确求解是解答的关键．
18．
【分析】作于点E，于点F．利用平行四边形面积公式可得，根据即可得出．
【详解】解：如图，作于点E，于点F．
中，，
设，则，，
，
，
，
即，之间的距离与，之间的距离之比为．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形对边平行且相等，以及平行四边形的面积公式．
19．90°
【详解】解法1：∵为的中点，∴ BC.
∵ ，∴
∴ ∠，∠.
∵ 四边形是平行四边形，∴ .
又，
∴ ，
∴
∴.
解法2：如图，设F为AD的中点，连接EF.
因为，所以
又因为∥，所以四边形是菱形.
所以∠同理，∠
所以∠
20．(1)答案见解析
(2)、、
【分析】（1）分别画出、、关于原点的对称点、、，连接即可；
（2）分别以、、为平行四边形的对角线即可求出点的坐标．
【详解】（1）解：如图所示，
（2）解：如图所示，
当平行四边形以为对角线时，平行四边形的顶点；
当平行四边形以为对角线时，平行四边形的顶点；
当平行四边形以为对角线时，平行四边形的顶点；
故所求的点的坐标为、、．
【点睛】本题主要考查中心对称变换的作图和平行四边形，熟练掌握中心对称的性质和平行四边形的判定是解题的关键．
21．（1）详见解析；（2）详见解析.
【分析】（1）过C作CE∥DA，可证明四边形ADCE是平行四边形，根据平行四边形的性质可得AD=EC，根据DA∥CE，可得∠A=∠CEB，根据等量代换可得∠CEB=∠B，进而得到EC=BC，从而可得AD=BC；
（2）根据CE∥DA，AB∥CD，可证明四边形AECD是平行四边形，根据平行四边形的性质可得AD=EC，再由条件AD=BC可得EC=BC，根据等边对等角可得∠B=∠CEB，再根据平行线的性质可得∠A=∠CEB，利用等量代换可得∠B=∠A．
【详解】解：（1）如图，过点C作CE∥DA，交AB于点E
∵CE∥DA，AB∥CD
∴四边形AECD是平行四边形
∴AD=EC
又∵CE∥DA
∴∠A=∠CEB
又∵∠A=∠B
∴∠CEB=∠B
∴EC=BC
∴AD=BC
（2）∵CE∥DA，AB∥CD
∴四边形AECD是平行四边形
∴AD=EC
又∵AD=BC
∴EC=BC
∴∠CEB=∠B
又∵CE∥DA
∴∠CEB=∠A
∴∠B=∠A
【点睛】此题主要考查了梯形，关键是正确做出平行线，构造平行四边形，再结合平行四边形的性质进行证明．
22．(1)见解析
(2)，理由见解析
【分析】（1）根据平行四边形的性质，就可证明，，又已知，，符合全等三角形的判定中的，即证，所以得证．
（2）在第（1）问的基础上，若使，逆推就必须，继而推出，即为所求．
【详解】（1）解：证明：∵四边形是平行四边形，
∴．
又∵CE的延长线交BA的延长线于点F，
∴．
∵E是AD中点，
∴．
∵，
∴．
∴．
（2）要使，需平行四边形的边长之间是2倍的关系，即，
理由如下：由（1）知，，
∴．
又∵四边形是平行四边形，
∴．
∴，即．
∵．
∴，
∴．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
23．(1)
(2)
【分析】本题考查了平行四边形的性质以及勾股定理，熟记相关结论即可求解．
（1）设．则，根据即可求解；
（2）根据即可求解；
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴设．
∵四边形是平行四边形，
∴
在中，由勾股定理得，
即
解得
∴
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴
24．
【分析】过点作AE⊥BC于点E，直接利用直角三角形中30°所对的边等于斜边的一半，可求AE的长，再利用平行四边形的面积公式得出即可．
【详解】解：过点作AE⊥BC于点E，
∵∠B=30°，AB=4cm，
∴AE=AB=2cm，
∴ ABCD的面积为：AE×BC=2×9=18（cm2）．
【点睛】本题主要考查了平行四边的性质以及含30度的直角三角形的性质，正确得出AE的长是解题关键．
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