6.2平行四边形的判定随堂练习 北师大版数学八年级下册（含解析）

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6.2平行四边形的判定
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，在四边形中，，要使四边形成为平行四边形，应添加的条件是（　　）
A． B．
C． D．
2．四边形ABCD中,分别给出以下条件：①AB∥CD;②AB=CD;③AD∥BC;④AD=BC;⑤∠A=∠C．则下列条件组合中,不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（ ）
A．①④ B．①③ C．①② D．①⑤
3． ABCD中，E，F为对角线AC上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形BFDE一定为平行四边形的是（ ）
A． B． C． D．
4．在平面直角坐标系中，已知四边形各顶点坐标分别是：，且，那么四边形周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，将 ABCD沿AE翻折，使点B恰好落在AD上的点F处，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．AF＝EF B．AE＝AF C．AB＝EF D．FD＝EC
6．已知四边形ABCD的四边分别有a，b，c，d．其中a，c是对边且a2+b2+c2+d2=2ac+2bd，则四边形是（ ）
A．平行四边形
B．对角线相等的四边形
C．任意四边形
D．对角线互相垂直的四边形
7．如图，已知与关于点O成中心对称，过点O任作直线分别交，于点M，N，下列结论：
（1）点M和点N，点B和点D是关于点O的两对对称点；
（2）直线必经过点O；
（3）四边形是中心对称图形；
（4）四边形和四边形的面积相等；
（5）和关于点O成中心对称．
其中，正确的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
8．如图，线段a、b、c的端点分别在直线l1、l2上，则下列说法中正确的是（　　）
A．若l1∥l2，则a＝b B．若l1∥l2，则a＝c
C．若a∥b，则a＝b D．若l1∥l2，且a∥b，则a＝b
9．有一条以互相平行的直线为岸的河流，其两侧有村庄和村庄，现在要在河上建一座桥梁（桥与河岸垂直），使两村庄之间的路程最短，从作图痕迹上来看，正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．下列条件中，能判定一个四边形是平行四边形的是（ ）
A．一组对边相等 B．一组对角相等
C．两条对角线相等 D．两条对角线互相平分
11．如图，有两块全等的含角的直角三角板，将它们拼成形状不同的平行四边形，则最多可以拼成（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
12．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC、AD上的点，有下列条件：
①AE∥CF；②BE＝FD；③∠1＝∠2；④AE＝CF，
若要添加其中一个条件，使四边形AECF一定是平行四边形，则添加的条件可以是(　 　)
A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①③④
二、填空题
13．如图，平行四边形ABCD中，AB：BC＝3：2，∠DAB＝60°，E在AB上，如果AE：EB＝1：2，F是BC的中点，过D分别作DP⊥AF于P，DQ⊥CE于Q，那么DP：DC等于 ．
14．平行四边形的判定：
一组对边 的四边形是平行四边形．
两组对边 的四边形是平行四边形．
对角线 的四边形是平行四边形．
15．如图，在中，，，，为斜边的中点，点是射线上的一个动点，连接、，将沿着边折叠，折叠后得到，当折叠后与的重叠部分的面积恰好为面积的四分之一，则此时的长为 ．
16．如图，点E、F是的对角线上的点，要使四边形是平行四边形，还需要增加的一个条件是 （只需要填一个正确的即可）．
17．如图，在一束平行光线中插入一张对边平行的纸板，如果光线与纸板右下方所成的是，那么光线与纸板左上方所成的的度数是 ．

三、解答题
18．如图所示，已知四边形ABCD是平行四边形，在AB的延长线上截取BE=AB，BF=BD，连接CE，DF，相交于点M．求证：CD=CM．
19．如图，在△ABC中，D、E两点分别在AB和AC上，求证CD、BE不可能互相平分．
20．如图，在四边形中，，延长到E，使，连接交于点F，点F是的中点．求证：
(1)．
(2)四边形是平行四边形．
21．如图，田村有一口呈四边形的池塘，在它的四个角A、B、C、D处均种有一棵大核桃树．田村准备开挖池塘建养鱼池，想使池塘面积扩大一倍，又想保持核桃树不动，并要求扩建后的池塘成平行四边形的形状，请问田村能否实现这一设想？若能，请你设计并画出图形；若不能，请说明理由（画图要保留痕迹，不写画法）．
22．综合与探究：
问题情境：已知，如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4．点D是AC的中点，点E在BC延长线上，且∠CDE＝60°．保持△ABC不动，将△CDE从图1的位置开始，绕点C顺时针旋转α°（0＜α＜180）得到△CD'E'，D、E的对应点分别为D'、E'．
(1)初步思考：求证：DE＝AC；
(2)操作探究：如图2，当点落在DE边上时，连接AD'，判断此时四边形ACE'D'的形状，并说明理由；
(3)拓展延伸：请从A，B两题中任选一题作答，我选择_____题．
A．在△CDE旋转过程中，当D'E'//BC时，请直接写出此时旋转角a的度数及B、E'两点间的距离．
B．在△CDE旋转过程中，当D'E'//AB时，延长AC交D'E'于点F，请直接写出此时旋转角α的度数及线段CF的长．
23．已知：如图，在平行四边形ABDC中，点E、F在AD上，且AE=DF，
求证：四边形BECF是平行四边形．
24．如图，在四边形中，，相交于点O，且．求证：四边形是平行四边形．
《6.2平行四边形的判定》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A A A B A D D D D
题号 11 12
答案 C B
1．C
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法，两组对边分别平行的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定方法进行判断即可．
【详解】解：A．根据，无法判断四边形是平行四边形，故A错误；
B．根据，无法判断四边形是平行四边形，故B错误；
C．∵，
∴，
又，
∴四边形是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），故C正确．
D．∵，
∴，
∴无法判断四边形是平行四边形，故D错误；
故选：C．
2．A
【分析】平行四边形的五种判定方法分别是：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定可推得出结论．
【详解】根据平行四边形的判定定理,选项B. C. D可以判定四边形ABCD为平行四边形.A中AB∥CD，AD=BC，即一组对边相等，另一组对边平行，也有可能是等腰梯形，不能判定.
故选A.
【点睛】此题考查平行四边形的判定，解题关键在于掌握判定定理.
3．A
【分析】连接AC与BD相交于O，根据平行四边形的对角线互相平分可得OA=OC，OB=OD，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，只要证明得到OE=OF即可，然后根据各选项的条件分析判断即可得解．
【详解】解：如图，连接BD与AC相交于O，
A、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，
由BE=DF，无法判断OE=OF，故本选项符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵AE=CF，
∴OA-AE=OC-CF，
即OE=OF，
∴四边形BFDE为平行四边形，故本选项不符合题意；
C、∵，
∴∠OBF=∠ODE，
在△BOF和△DOE中，，
∴△BOF≌△DOE（ASA），
∴OE=OF，
又∵OB=OD，
∴四边形BFDE为平行四边形，故本选项不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，AD=CB，ADCB，
∴∠DAE=∠BCF，
在△ADE和△CBF中，，
∴△ADE≌△CBF（ASA），
∴AE=CF，
∴OA-AE=OC-CF，
即OE=OF，
∴四边形BFDE为平行四边形，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明OE=OF是解题的关键．
4．A
【分析】如图，把向上平移一个单位得：，作关于直线的对称点 连接，交直线于 连接，则此时四边形的周长最短，再利用勾股定理可得： ，利用从而可得答案．
【详解】解：如图，把向上平移一个单位得：，作关于直线的对称点 连接，交直线于 连接，
，
由
四边形是平行四边形，
所以此时：四边形的周长最短，
故选：
【点睛】本题考查的是图形与坐标，勾股定理的应用，轴对称的性质，平行四边形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．
5．B
【分析】根据平行四边形的性质及折叠变换进行推理，可知A、C、D均成立，只有B不成立．
【详解】解：∵平行四边形ABCD沿AE翻折，
∴△ABE≌△AFE，
∴AB＝AF，BE＝EF，∠AEB＝∠AEF，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EAF，
∴∠AEF＝∠EAF，
∴AF＝EF，故选项A正确，不符合题意；
∴AF＝BE
∴四边形ABEF为平行四边形，
∴AB＝EF＝AF＝BE，故选项C正确，不符合题意，
∵AD＝BC，
∴AD AF＝BC BE，即FD＝EC，故选项D正确，不符合题意；
不能证明选项B，故选项B不一定成立，符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查平行四边形中的翻折问题，已知翻折就是图形全等，翻折是一种对称变换，它属于轴对称，解题的关键是掌握轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置变化．
6．A
【分析】将条件式变形为（a-c）2+（b-d）2=0，由非负性质可得a=c，b=d，即可判定．
【详解】∵a2+b2+c2+d2=2ac+2bd，
∴（a-c）2+（b-d）2=0，
∴a=c，b=d，
∵a，b，c，d分别为四边形ABCD的四边，
即两组对边分别相等，
∴其为平行四边形．
故选A．
7．D
【分析】本题考查中心对称和中心对称图形的概念及性质，以及平行四边形的性质和判定，根据与关于点O成中心对称，得到，，，即有四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质特点，对上述结论进行判断，即可解题．
【详解】解：与关于点O成中心对称，
，，，
即四边形是平行四边形，平行四边形是中心对称图形，对角线交点是其对称中心，
点O是的对称中心，则有：
（1）由中心对称概念可知，点M和点N，点B和点D是关于点O的两对对称点，所以（1）正确．
（2）为是对角线，所以直线必经过点O，即（2）正确．
（3）四边形是中心对称图形，（3）正确．
（4）经过对角线交点的直线，平分的面积，所以四边形和四边形的面积相等，即（4）正确．
（5）由题知绕点O旋转能得到，所以和关于点O成中心对称，即（5）正确．
综上所述，正确的有5个，
故选：D．
8．D
【分析】根据平行四边形的判定方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定出四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质可得．
【详解】解：如图：
，，
四边形是平行四边形，
，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质与判定，解题的关键是掌握平行四边形的判定方法与性质定理．
9．D
【分析】根据轴对称确定最短路线，即可得到答案．
【详解】解：根据轴对称确定最短路线问题，过村庄作河岸的垂线并且等于河的宽度，
然后与村庄连接与河岸相交于一点，
过点作与相交于点，
连接，则即为最短路径，
如图 所示，
故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称确定最短路线问题，利用的原理为平行四边形的对边相等，难度较大．
10．D
【详解】平行四边形的五种判定方法分别是：
（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边；
（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．
根据判定方法知D正确．
11．C
【分析】分别以不同的三边为对角线进行拼接即可得．
【详解】以不同的三边为对角线进行拼接，可拼成如下三种平行四边形：
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，掌握理解并灵活运用判定方法是解题关键．
12．B
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC，AD=BC，∠BAD=∠BCD，然后利用平行四边形的判定分别分析求解，即可求得答案；注意利用举反例的方法可排除错误答案．
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，∠BAD=∠BCD，
∴当①AE∥CF时，四边形AECF是平行四边形；故①正确；
当②BE=FD时，CE=AF，则四边形AECF是平行四边形；故②正确；
当③∠1=∠2时，∠EAF=∠ECF，
∵∠EAF+∠AEC=180,∠AFC+∠ECF=180，
∴∠AFC=∠AEC，
∴四边形AECF是平行四边形；故③正确；
④若AE=AF，则四边形AECF是平行四边形或等腰梯形，故④错误.
故选B.
【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质.
13．
【分析】连接DE、DF，过F作FN⊥AB于N，过C作CM⊥AB于M，根据平行四边形的性质得到AD∥BC，根据平行线的性质得到∠CBN=∠DAB=60°，根据勾股定理得到AF=，根据三角形和平行四边形的面积公式即可得到结论．
【详解】连接DE、DF，过F作FN⊥AB于N，过C作CM⊥AB于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵∠DAB＝60°，
∴∠CBN＝∠DAB＝60°，
∴∠BFN＝∠MCB＝30°，
∵AB：BC＝3：2，
∴设AB＝3a，BC＝2a，
∴CD＝3a，
∵AE：EB＝1：2，F是BC的中点，
∴BF＝a，BE＝2a，
∵∠FNB＝∠CMB＝90°，∠BFN＝∠BCM＝30°，
∴BM＝BC＝a，BN＝BF＝a，FN＝a，CM＝a，
∴AF＝，
∵F是BC的中点，
∴S△DFA＝S平行四边形ABCD，
即AF×DP＝CD×CM，
∴PD＝，
∴DP：DC＝．
故答案为．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行四边形面积，勾股定理，三角形的面积，含30度角的直角三角形等知识点的应用，正确的作出辅助线是解题的关键．
14． 平行且相等 分别平行或相等 互相平分
【分析】根据平行四边形的判定定理填空即可．
【详解】解：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
两组对边分别平行或相等的四边形是平行四边形；
对角线互相平分的四边形是平行四边形；
故答案为：平行且相等；分别平行或相等；互相平分．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
15．或
【分析】根据30°角所对的直角边等于斜边的一半可求出AB，即可得到AE的值，进而根据勾股定理求出BC，分类两种情况讨论：①若与AB交于点F，连接，易得，即可得到，，从而得到四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质即可求解；②若与BC交于点G，连接，交EP于H，同理可得，，根据三角形中位线定理可得，此时点P与点C重合，进而可求解．
【详解】解：，为斜边AB的中点，
∴AB=8，，，
①若与AB交于点F，连接，如图1所示，
由折叠可得，，，
∵点E是AB的中点，
∴，
由题意得，
，
，
，，
∴四边形是平行四边形，
，
②若与BC交于点G，连接，交EP于H，如图2所示，
同理可得，，
，
，
，
∴点P与点C重合，
∴，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了翻折变换，轴对称图形，30°角所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理，平行四边形的判定及性质，三角形中位线定理等知识，巧妙运用分类讨论思想是解题的关键．
16．（答案不唯一）
【分析】由已知OA=OC，OB=OD，则只要OE=OF即可判定四边形AECF是平行四边形，故可增加条件DE=BF即可．
【详解】增加条件DE=BF，可使四边形AECF是平行四边形
∵四边形ABCD是平行四边形
∴OA=OC，OB=OD
∵DE=BF
∴OD-DE=OB-BF
即OE=OF
∴四边形AECF是平行四边形
故答案为：DE=BF（答案不唯一）
【点睛】本题考查了平行四边形的判定性质，关键是掌握平行四边形的各种判定方法．
17．
【分析】根据平行四边形的判定与性质求解即可．
【详解】解：如图所示，

根据题意，，，
∴四边形为平行四边形，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，掌握平行四边形的判定方法是解题关键．
18．详见解析
【分析】利用一组对边平行且相等得到四边形BDCE是平行四边形，然后利用对边平行得到两组角相等，进而整理到∠CDF=∠CMD，进而得证．
【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形．
∴ABDC．
又∵BE=AB，
∴BEDC，
∴四边形BDCE是平行四边形．
∴DC∥BF，BD∥CE，
∴∠CDF=∠F，∠BDM=∠DMC．
∵BD=BF，
∴∠BDF=∠F．
∴∠CDF=∠CMD，
∴CD=CM．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．当证明两条在一个三角形中的边相等时，通常是利用等角对等边来进行证明．
19．详见解析
【详解】试题分析：首先假设结论的反面正确，即CD与BE互相平分，即可得到矛盾，从而证得．
假设CD、BE可以互相平分．则连接DE．则四边形BCED是平行四边形．
∴BD∥CE
与△ABC相矛盾
所以：CD、BE不可能互相平分．
考点：反证法
点评：反证法主要考查学生的逻辑推理能力，因而在中考中比较常见，在各种题型中均有出现，一般难度不大.
20．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定：
（1）根据中点的性质，平行线的性质，对顶角相等，利用证明，即可；
（2）全等得到，推出，根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形，即可得证．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵点F是的中点，
∴，
在与中，
，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形．
21．能，见解析
【详解】试题分析：连接AC、BD，然后分别过点A，B，C，D作AC、BD的平行线，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可解决问题．
能，如图所示；
考点：本题考查了平行四边形的判定定理
点评：解答本题的关键是熟练掌握两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
22．(1)见解析
(2)四边形是平行四边形，理由见解析
(3)A：旋转角的度数为150°；B，E两点间的距离为2．B：旋转角的度数为105°；线段CF的长为
【分析】（1）由含30°角直角三角形的性质可得DE=2CD，再由D是中点即可得到结论；
（2）由旋转的性质及（1）得，且，从而可得，则由平行四边形的判定即可证得结论；
（3）选择A：如图3，连接，由旋转的性质及平行线的性质可得，则可求得的度数，从而得到旋转角的度数；再由及已知可得四边形是平行四边形，从而可得；
选择B：如图4，过点C作，由平行条件可得∠CFG=45°，再由旋转性质及三角形外角的性质可求得的度数，即旋转角的度数；分别在与中即可求得CF的长．
【详解】（1）∵∠ACB＝90°，
∴∠DCE=90°，
∴∠E=90° ∠CDE=30°，
∴DE=2CD，
∵D是AC的中点，
∴AC=2CD，
∴DE=AC；
（2）四边形是平行四边形，理由如下：
由旋转的性质得：，，，
由（1）知，DE=AC，
∴，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（3）选择A：如图3，由旋转的性质得：，
∵D'E'//BC，
∴，
∴，
即，
连接，
∵AC=BC，AC=DE，，
∴
∵D'E'//BC，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵D是AC的中点，
∴，
∴；
选择B：如图4，过点C作于G，
∵AB=AC，∠ACB=90°，
∴∠A=45°，
∵D'E'//AB，
∴∠CFG=∠A= 45°，
∵，
∴，
即旋转角α的度数为105°；
∵，，∠CFG = 45°，
∴，，
∴，CG=FG，
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，含30°角直角三角形的性质，平行线的性质等知识，具有一定的综合性，灵活运用这些知识是解决问题的关键．
23．证明见解析.
【分析】根据平行四边形的性质，可得对角线互相平分，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可得证明结论．
【详解】解：如图，连接BC，设对角线交于点O．
∵四边形ABDC是平行四边形，
∴OA=OD，OB=OC．
∵AE=DF，
∴OA﹣AE=OD﹣DF，
∴OE=OF．
∴四边形BECF是平行四边形．
24．见解析
【分析】根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形进行”判断即可．
【详解】证明：∵，，
∴．
∴．
∴．
同理．
∴四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查了用平行四边形的定义来判定平行四边形的方法，掌握平行四边形的定义是解题的关键．
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