5.4分式方程随堂练习 北师大版数学八年级下册（含解析）

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5.4分式方程
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．甲、乙两人同时分别从A、B两地沿同一条公路骑自行车到C地，已知A 、C两地间的距离为60km，B、C两地间的距离为50km，甲骑自行车的平均速度比乙快2km/h ，结果两人同时到达C地，求两人的平均速度．为解决此问题，设乙骑自行车的平均速度为xkm/h，由题意列出方程，其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列方程属于分式方程的是（ ）
A． B． C． D．
3．一艘轮船在两个码头之间航行，顺水航行所需的时间与逆水航行所需的时间相同.已知水流速度是，则轮船在静水中航行的速度是（ ）
A． B． C． D．
4．下列关于x的方程中（1）；（2）；（3）；（4）；（5），其中是分式方程的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．若关于x的分式方程无解，则m的值是（ ）
A．－1 B．1 C．0 D．0或1
6．若实数a使得关于x的分式方程的解为负数，且使关于y的不等式组 至少有3个整数解，则符合条件的所有整数a的和为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．1
7．为推进垃圾分类，推动绿色发展．某化工厂要购进甲、乙两种型号机器人用来进行垃圾分类．用万元购买甲型机器人和用万元购买乙型机器人的台数相同，两型号机器人的单价和为万元．若设甲型机器人每台万元，根据题意，所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．学校到县城有28千米，除乘公共汽车外，还需步行一段路程．公共汽车的速度为36千米/时，步行的速度为4千米/时，全程共需1小时．求步行和乘车所用时间各是多少？设步行所用时间为x小时，列方程得(　 　)
A．36x＋4(1－x)＝28 B．＋＝28
C．36(1－x)＋4x＝28 D．36＋4＝
9．下列方程不是分式方程的是（ ）
A． B． C． D．
10．若关于的分式方程：的解为正数，则的取值范围为（ ）
A． B．且
C． D．且
11．若关于x的方程有增根，则m的值为（　　）
A．0 B．1 C．﹣1 D．2
12．若关于x的方程有增根，则k的值为( )．
A．3 B．1 C．0 D．－1
二、填空题
13．当 时，分式方程无解.
14．若关于x的方程﹣5＝无解，则m的值为 ．
15．若关于的分式方程有增根，则的值为 ．
16．计算： ．
17．若是分式方程的根，则a的值为 ．
三、解答题
18．近年来，我市大力发展城市快速交通，小王开车从家到单位有两条路线可选择，路线为全程的普通道路，路线包含快速通道，全程，走路线比走路线平均速度提高，时间节省，求走路线的平均速度．
19．班级组织同学乘大巴车前往“研学旅行”基地开展爱国教育活动，基地离学校有90公里，队伍8：00从学校出发．苏老师因有事情，8：30从学校自驾小车以大巴1.5倍的速度追赶，追上大巴后继续前行，结果比队伍提前15分钟到达基地．问：
（1）大巴与小车的平均速度各是多少？
（2）苏老师追上大巴的地点到基地的路程有多远？
20．解方程：
(1)；
(2)．
21．若分式与的和为，则x的值为多少？
22．若整数a使得关于x的分式方程有正整数解，且使得关于y的不等式组有解，那么符合条件的所有整数a的和是多少？
23．解分式方程：
(1)；
(2)．
24．解方程
(1)
(2)
《5.4分式方程》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B A A D B A C C B
题号 11 12
答案 C A
1．B
【分析】由甲、乙两人速度间的关系可得出甲骑自行车的平均速度为（x+2）km/h，利用时间＝路程÷速度，结合两人同时到达C地，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【详解】解：∵乙骑自行车的平均速度为xkm/h，且甲骑自行车的平均速度比乙快2km/h，
∴甲骑自行车的平均速度为（x+2）km/h．
依题意得： ．
故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
2．B
【分析】根据分式方程的定义逐项判断即可．
【详解】解：A、是整式方程，故本选项不符合题意；
B、是分式方程，故本选项符合题意；
C、是整式方程，故本选项不符合题意；
D、是整式方程，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了分式方程的定义，熟练掌握分母中含有未知数的方程是分式方程是解题的关键．．
3．A
【分析】顺水速度=水流速度+静水速度，逆水速度=静水速度-水流速度．根据“轮船顺水航行81千米所需要的时间和逆水航行69千米所用的时间相同”可列出方程．
【详解】解：设船在静水中的速度是x千米/时．
由题意得：
解得：x=25．
经检验：x=25是原方程的解．
答：船在静水中的速度是25千米/时．
故选A．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．本题需注意顺流速度与逆流速度的求法．
4．A
【分析】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解题的关键；
根据分式方程的定义逐个分析判断即可．
【详解】分母中含有未知数，故是分式方程；
分母中不含有未知数，故不是分式方程；
关于x的方程分母b是常数，分母中不含有未知数，故不是分式方程；
关于x的方程分母a是常数，分母中不含有未知数，不是分式方程；
分母中是常数，不含有未知数，故不是分式方程；
综上所述：是分式方程的有1个；
故选：A．
5．D
【分析】根据分式方程的解法即可求出m的值．
【详解】方程左右两边同乘（x-1）得，
2m+x-1=m（x-1），化简整理后得，
（m-1）x=3m-1，
当m-1=0，m=1时，0·x=2，此时x无解；
当x=1时，是分式方程的增根，则分式方程无解，将x=1代入，得，
m-1=3m-1，则m=0，
所以当m=0或1时，分式方程无解，
故选D．
【点睛】本题考查了分式方程无解，注意分类讨论，一是增根无解，二是去分母后得到的整式方程无解，两种情况都要考虑．
6．B
【分析】先求出分式方程的解，根据分式方程的解为负数，可得且，再求出不等式组的解集，根据不等式组至少有3个整数解，可得，从而得到a的取值范围为且，进而得到符合条件的所有整数a的0，2，3，即可求解．
【详解】解：
去分母得：，
解得：，
∵分式方程的解为负数，
∴且，
解得：且，
，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵不等式组至少有3个整数解，
∴，
∴，
综上所述，a的取值范围为且，
∴符合条件的所有整数a的0，2，3，
∴符合条件的所有整数a的和为0+2+3=5．
故选：B
【点睛】本题主要考查分式方程的解，在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．
7．A
【分析】甲型机器人每台万元,根据万元购买甲型机器人和用万元购买乙型机器人的台数相同,列出方程即可.
【详解】解：设甲型机器人每台万元，根据题意，可得 ，
故选：A．
【点睛】本题考查的是分式方程，解题的关键是熟练掌握分式方程.
8．C
【详解】解：设步行用x小时，则4x+36（1﹣x）=28．故选C．
9．C
【分析】本题考查分式的定义，解答的关键是熟知分式的定义：分母里含有未知数的方程叫做分式方程．
【详解】解：A、方程分母中含未知数x，故A是分式方程，不符合题意；
B、方程分母中含未知数x，故B是分式方程，不符合题意；
C、方程分母中不含未知数，故C不是分式方程，符合题意；
D、方程分母中含未知数x，故D是分式方程，不符合题意；
故选：C．
10．B
【分析】先解方程，含有k的代数式表示x，在根据x的取值范围确定k的取值范围．
【详解】解：∵，
∴，
解得：，
∵解为正数，
∴，
∴，
∵分母不能为0，
∴，
∴，解得，
综上所述：且，
故选：B．
【点睛】本题考查解分式方程，求不等式的解集，能够熟练地解分式方程式解决本题的关键．
11．C
【详解】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．把增根代入化为整式方程的方程即可求出未知字母的值．
解：方程两边都乘（x﹣2），得
m=1﹣x
∵最简公分母（x﹣2）
∴原方程增根为x=2，
∴把x=2代入整式方程，得m=﹣1．
故选C．
12．A
【详解】首先根据解分式方程的方法求出x的值
然后根据增根为x=1代入方程求出k的值
将方程的两边同时乘以(x-1)可得
3=x-1+k，解得：x=4-k
根据方程有增根可得：x=1
即4-k=1，k=3
故选A
13．或
【分析】先将分式方程化为整式方程，再根据无解分情况讨论：去分母后整式方程无解或有增根.
【详解】方程两边同乘(x+1)(x－1)得：x(x+1)+k(x+1)－x(x－1)=0，
整理得：(2+k)x=－k，
当整式方程无解时，2+k=0即k=－2，
当分式方程有增根时，x=1或x=－1，
此时，当x=1时，k=－1，当x=－1，k不存在，
∴k=－2或－1时，分式方程无解.
【点睛】本题考查分式方程无解，注意分“去分母后的整式方程无解或分式方程有增根”两种情况进行讨论是解题的关键.
14．﹣4或1
【分析】先去分母方程两边同乘以x-2根据无解的定义得到关于m的方程，解方程即可求出m的值．
【详解】解：∵﹣5＝
去分母得，
去括号得，
移项，合并同类项得，
∵关于x的方程﹣5＝无解，
∴当时，整式方程无解，即；
当时，此时方程有增根，增根为，
∴代入得，，解得：，
∴m的值为或．
故答案为：﹣4或1．
【点睛】本题考查了分式方程无解的条件， 分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．
15．
【分析】根据题意可得x=2，然后把x=2代入整式方程中进行计算即可解．
【详解】解：x-3(x-2)=-m，
解得：x= ，
∵分式方程有增根，
∴x 2=0，
∴x=2，
把x=2代入x=中，
2=，
∴m=-2．
故答案为：-2．
【点睛】本题考查了分式方程的增根，根据题意求出x的值，再代入整式方程中进行计算是解题的关键．
16．
【分析】先通分，再根据分式的运算法则即可求解．
【详解】原式．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查分式的运算，解题的关键是熟知分式的运算法则．
17．6
【分析】首先根据题意，把代入分式方程中，然后根据一元一次方程的解法，求出a的值即可．
【详解】解：将代入分式方程中，
可得：，
解得，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了分式方程的解，解题的关键是熟练掌握分式方程解的意义．
18．75km/h
【分析】根据题意，设走线路A的平均速度为，则线路B的速度为，由等量关系列出方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：设走线路A的平均速度为，则线路B的速度为，则
，
解得：，
检验：当时，，
∴是原分式方程的解；
∴走路线的平均速度为：（km/h）；
【点睛】本题考查分式方程的应用，以及理解题意的能力，解题的关键是以时间做为等量关系列方程求解．
19．（1）大巴的平均速度为40公里/时，则小车的平均速度为60公里/时；（2）苏老师追上大巴的地点到基地的路程有30公里
【分析】（1）根据“大巴车行驶全程所需时间=小车行驶全程所需时间+小车晚出发的时间+小车早到的时间”列分式方程求解可得；
（2）根据“从学校到相遇点小车行驶所用时间+小车晚出发时间=大巴车从学校到相遇点所用时间”列方程求解可得．
【详解】（1）设大巴的平均速度为x公里/时，则小车的平均速度为1.5x公里/时，根据题意，得：
=++
解得：x=40．
经检验：x=40是原方程的解，∴1.5x=60公里/时．
答：大巴的平均速度为40公里/时，则小车的平均速度为60公里/时；
（2）设苏老师赶上大巴的地点到基地的路程有y公里，根据题意，得：
+=
解得：y=30．
答：苏老师追上大巴的地点到基地的路程有30公里．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是理解题意，找到题目中蕴含的相等关系，并依据相等关系列出方程．
20．(1)此方程无解
(2)
【分析】（1）乘以公分母，将分式方程化为整式方程，解方程即可求解，最后要检验．
（2）乘以公分母，将分式方程化为整式方程，解方程即可求解，最后要检验．
【详解】（1）原式可化为，
化简可得：，
去分母得：，解得：.
当时，，，
所以此方程无解.
（2）原式可化为，
根据同分母分式的加减法则可得：，
所以，
整理得：，
解得：.
当时，，
所以原方程的解为．
【点睛】本题考查了解分式方程，正确的计算是解题的关键．
21．
【分析】根据题意得到，，若设y=，可用换元法转化为关于y的分式方程，先求y，再求x，结果需检验；
【详解】解：由题可得，，
设y=，则原方程可化为：，
整理得，，
解得：，
当时，
则，
解得；
经检验得，都是方程的解；
当时，，
∴，
经检验得，都是方程的解；
【点睛】本题主要考查了换元法解分式方程，掌握换元法解分式方程是解题的关键.
22．符合条件的所有整数a的和为16
【分析】由题意可得，然后可得或10，进而根据不等式组可得，最后问题可求解．
【详解】解方程分式方程，
得，
∵分式方程的解为正整数解，
∴或2或4或8，
又且，
∴，
∴或6或10，
由关于y的不等式组有解，
解得：
∴，
解得：，
综上，符合题意的整数a的值有6，10，
∴符合条件的所有整数a的和为16．
【点睛】本题主要考查一元一次不等式组及分式方程的解法，熟练掌握一元一次不等式组及分式方程的解法是解题的关键．
23．(1)x=-4；
(2)无解．
【分析】（1）方程两边都乘（x+1）（x-2）得出整式方程，求出整式方程的解，再进行检验即可；
（2）方程两边都乘（x-4）得出整式方程，求出整式方程的解，再进行检验即可．
【详解】（1）解：方程两边都乘（x+1）（x-2），
得出2（x+1）= x-2，
解得：x=-4，
检验：当x=-4时，（x+1）（x-2）≠0，
所以x=-4是原方程的解，
即原方程的解是x=-4；
（2）解：方程两边都乘（x-4），
得出-3+2（x-4）=1-x，
解得：x=4，
检验：当x=4时，x-4=0，
所以x=4是原方程的增根，
即原方程无解．
【点睛】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
24．(1)
(2)
【分析】（1）根据解分式方程的方程解方程即可，注意一定要检验；
（2）根据解分式方程的方程解方程即可，注意一定要检验．
【详解】（1）解：
经检验，是原分式方程的解；
（2）解：
经检验，是原分式方程的解．
【点睛】本题考查解分式方程，正确解方程是解题的关键，注意一定要检验．
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