4.3公式法随堂练习 北师大版数学八年级下册（含解析）

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4.3公式法
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如果代数式能分解成形式，那么k的值为（　）
A．9 B．﹣18 C．±9 D．±18
2．下列多项式中，能用平方差公式进行因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列变形中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．若x、y是有理数，设N=3x2+2y2﹣18x+8y+35，则N（ ）
A．一定是负数 B．一定不是负数 C．一定是正数 D．N的取值与x、y的取值有关
5．对于任何整数，多项式(n+5)2-n2一定是( )
A．2的倍数 B．5的倍数 C．8的倍数 D．n的倍数
6．若a2-b2=，a-b=，则a+b的值为（ ）
A．- B．1 C． D．2
7．下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是　　
A． B． C． D．
8．把分解因式得，则的值为（ ）
A．2 B．3 C． D．
9．分解因式2x2﹣8结果正确的是（　　）
A．2(x+2) (x﹣2) B．2(x﹣2)2
C．2(x2﹣8) D．2(x+2)2
10．下列分解因式正确的一项是（　　）
A．x2﹣9＝（x+3）（x﹣3） B．2xy+4x＝2（xy+2x）
C．x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2 D．x2+y2＝（x+y）2
11．把多项式分解因式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．下列各式中，能用平方差公式分解因式的是( )
A． B． C． D．
二、填空题
13． ； ；
14．分解因式： ．
15．分解因式： ．
16．已知，则的值是 ．
17．因式分解的结果是 ．
三、解答题
18．求证：当n是正整数时，两个连续奇数的平方差一定是8的倍数.
19．把下列各式分解因式：
（1）；
（2）；
（3）．
20．因式分解：
(1)
(2)
21．用十字相乘法分解因式：
(1)；
(2)；
(3)．
22．分解因式：
（1）4x212x9
（2）x2（3y6）x（63y）
23．感知：（1）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个因式分解的等式，由图 1 中的大正方形的面积可得到的因式分解等式为_____________ ；
应用：（2）通过不同的方法表示同一个几何体的体积，也可以探求相应的因式分解等式．如图 2 所示 的是棱长为的正方体被分割线分成 8 块．用不同的方法计算这个正方体的体积，则这个式子为 ；
拓展：（3）如图 3，棱长为 x 的实心大正方体切除一个棱长为 y 的小正方体，剩余部分按如图所示的 方式继续切割为甲、乙、丙三个长方体，则甲长方体的体积为 ，乙长方体的体积为 ， 丙长方体的体积为 ，甲、乙、丙三个长方体体积之和可表示为．
根据（2）和（3）中的结论解答下列问题：若图 2 与图 3 中的 x 与 y 的值分别相等，且满足，，其中，求的值．
24．利用完全平方公式进行因式分解，解答下列问题：
(1)因式分解： ________．
(2)填空：①当时，代数式 _______；
②当________时，代数式．
③代数式的最小值是________．
(3)拓展与应用：求代数式的最小值．
《4.3公式法》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A C B B C C A A A
题号 11 12
答案 B C
1．B
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出k的值．
【详解】解：∵=（x-9）2，
∴k=-18，
故选：B．
【点睛】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
2．A
【分析】根据平方差公式即可解答．
【详解】解：∵，可以利用平方差公式因式分解，
故项符合题意；
∵不能利用平方差公式因式分解，
故项不符合题意；
∵不能利用平方差公式因式分解，
故项不符合题意；
∵不能利用平方差公式因式分解，
故项不符合题意；
故选:．
【点睛】本题考查了平方差公式，熟记平方差公式是解题的关键．
3．C
【分析】根据乘法公式：分别进行判断即可．
【详解】解：A、，故该选项不合题意；
B、不能进行因式分解，故该选项不合题意；
C、，故该选项符合题意；
D、，故该选项不合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查用乘法公式进行化简和因式分解，解题关键是熟练掌握乘法公式．
4．B
【分析】把N的式子进行化简，得出3（x-3）2+2（y+2）2，是两个非负数的和，所以N仍为非负数．
【详解】】解：N=3x2+2y2-18x+8y+35，
=3x2-18x+2y2+8y+35
=3（x-3）2-27+2（y+2）2-8+35
=3（x-3）2+2（y+2）2≥0．
故选B．
【点睛】本题考查了非负数的性质．
在初中阶段,共学习了三种类型的非负数：
（1）绝对值；
（2）偶次方；
（3）二次根式（算术平方根）．
5．B
【分析】利用平方差对多形式进行因式分解,即可解题.
【详解】解：∵(n+5)2-n2=（n+5+n）（n+5-n）=5(2n+5),
由题可知n为整数,
∴多项式(n+5)2-n2一定是5的倍数,
故选B.
【点睛】本题考查了用平方差的方法因式分解,属于简单题,熟悉平方差公式是解题关键.
6．C
【分析】已知第二个等式左边利用平方差公式分解后，将第一个等式变形后代入计算即可求出．
【详解】∵a2－b2=（a+b）(a-b)=(a+b)=
∴a+b=
故选C.
点睛：此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
7．C
【分析】根据平方差公式的定义判断即可；
【详解】、原式不能利用平方差公式进行因式分解，不符合题意；
、原式不能利用平方差公式进行因式分解，不符合题意；
、原式，能利用平方差公式进行因式分解，符合题意；
、原式不能利用平方差公式进行因式分解，不符合题意，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平方差公式分解因式，准确判断是解题的关键．
8．A
【详解】解：
与对比比较可知，，
故选A
【点睛】本题是因式分解的间接考查，只要将给出的去括号后，与因式分解前的代数式比较即得结果．
9．A
【分析】直接提取公因式2，再利用公式法分解因式得出答案．
【详解】解：2x2﹣8
＝2(x2﹣4)
＝2(x+2) (x﹣2)．
故选：A．
【点睛】此题考查提取公因式、因式分解的相关知识，熟练运用公式法因式分解是解题关键．
10．A
【分析】各式分解得到结果，即可作出判断．
【详解】解：A、原式＝（x+3）（x﹣3），符合题意；
B、原式＝2x（y+2），不符合题意；
C、原式不能分解，不符合题意；
D、原式不能分解，不符合题意．
故选：A．
【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
11．B
【详解】利用公式法分解因式的要点，根据平方差公式：，分解因式为：.
故选B.
12．C
【分析】】根据平方差公式解决此题．
【详解】A．无法分解因式，故此选项不合题意；
B．无法分解因式，故此选项不合题意；
C．，故此选项符合题意；
D．无法分解因式，故此选项不合题意；
故选：C．
【点睛】此题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
13． ；
【分析】运用平方差公式进行因式分解即可．
【详解】；
．
故答案为：；．
【点睛】本题主要考查了公式法分解因式，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
14．
【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可
【详解】原式==，
故答案为：．
【点睛】本题考查了公式法以及提取公因式法分解因式，正确应用公式是解题的关键．
15．
【分析】先提取公因数y，再利用完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．
【详解】解：；
故答案为：
【点睛】本题考查了提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，难点在于需要进行二次分解因式．
16．
【分析】利用完全平方公式进行计算即可求得和的值，再将利用平方差公式进行因式分解，即可求解．
【详解】解：，
，
，
又，
，
．
．
故答案为：0．
【点睛】本题考查了代数式求值，因式分解，解题的关键是灵活运用完全平方公式和平方差公式，注意整体带入的思想．
17．
【分析】通过多项式分组后，提取公因式便可解得．
【详解】 故答案为．
【点睛】本题考查多项式的因式分解中分组分解法，掌握因式分解的主要方法是解题关键．
18．见解析
【分析】运用平方差公式将（2n+1）2-（2n-1）2化简，得出结果含有因数8即可．
【详解】证明：当n是正整数时，2n－1与2n+1是两个连续奇数
则(2n+1)2－(2n－1)2=(2n+1+2n－1)(2n+1－2n+1)=4n×2=8n，8n能被8整除
∴这两个连续奇数的平方差是8的倍数.
【点睛】本题考查了平方差公式，解题的关键是掌握平方差公式进行计算.
19．（1）；（2）；（3）
【分析】直接利用完全平方公式分解因式即可；
【详解】解：（1）
=
=；
（2）
=
=；
（3）
=
=
=
【点睛】本题主要考查运用完全平方公式进行因式分解，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
20．(1)
(2)
【分析】（1）先提公因式（a-b），再利用完全平方公式分解；
（2）先利用平方差公式分解，再提公因式即可．
【详解】（1）解：原式=
=；
（2）原式=
=
=
【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
21．(1)
(2)
(3)
【分析】用十字相乘法分解因式求解即可．
【详解】（1）原式．
（2）原式
．
（3）原式
【点睛】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．
22．（1）（2x3）2；（2）3x（y2）（x1）
【分析】（1）利用完全平方公式分解即可；
（2）利用提公因式法逐步分解即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【点睛】本题考查分解因式，掌握提取公因式法和公式法是解题的关键．
23．（1）；（2）；（3）
【分析】（1）用两种方法表示图 1 中的大正方形的面积即可得解．
（2）用两种方法表示图 2中正方体的体积即可得解．
（3）将和用含有，的式子表示出来即可得解．
【详解】解：（1）图 1 中的大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，
因此可得．
故答案为：．
（2）图 2中正方体的体积可以表示为，也可以表示为，
因此可得．
故答案为：．
（3），，
，
，
，
又，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了因式分解法应用，数形结合思想和整体代入思想是解题的关键．
24．(1)
(2)①0②3③4
(3)3
【分析】（1）根据完全平方公式将原式进行因式分解即可；
（2）①将代入求解即可；②解方程，即可获得答案；③将代数式变形为，根据非负数的性质即可确定答案；
（3）将代数式变形为，根据非负数的性质即可确定答案．
【详解】（1）解：．
故答案为：；
（2）①当时，
；
②∵，
∴，
∴当时，代数式；
③∵
，
又∵，
∴当时，代数式的最小值是4．
故答案为：①0；②3；③4；
（3）解：∵原式
，
又∵，，
∴原式，
代数式的最小值是3．
【点睛】本题主要考查了因式分解的应用、代数式求值、非负数的性质等知识，解题关键是理解题意，利用因式分解的方法和非负数的性质解答．
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