4.2提公因式法随堂练习 北师大版数学八年级下册（含解析）

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4.2提公因式法
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．将因式分解，应提取的公因式是（　　）
A． B． C． D．
2．下列各组中的两个多项式，没有公因式的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
3．多项式因式分解为（ ）
A． B．
C． D．
4．将多项式提公因式后，另一个因式是（　　）
A．﹣a+2b B．a﹣2b C．a+2b D．a+b
5．把分解因式时，提出公因式后，另一个因式是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，边长为的长方形周长为12，面积为5，则的值为（　　）
A．60 B．120 C．130 D．240
7．观察下列各式：①2a＋b和a＋b，②5m（a－b）和－a＋b，③3（a＋b）和－a－b，④x2－y2和x2+y2．其中有公因式的是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
8．把5（a－b）＋m（b－a）提公因式后一个因式是（a－b），则另一个因式是（ ）
A．5－m B．5＋m C．m－5 D．－m－5
9．多项式-2an-1-4an+1的公因式是M，则M等于（ ）
A．2an-1 B．-2an C．-2an-1 D．-2an+1
10．若(x－3)(x－4)是多项式x2－ax＋12因式分解的结果，则a的值是(　　)
A．12 B．－12
C．7 D．－7
11．分解因式的结果是（ ）
A． B． C． D．
12．把分解因式时，应提取的公因式是（ ）
A．2 B． C． D．
二、填空题
13．计算： ．
14．已知，则多项式的值为 ．
15．在多项式中，各项的公因式是 ．
16．分解因式-7m(m-n)3+21mn(n-m)2=
17．等式(x＋2)2＝x2＋4x＋4从左到右的运算是 ．
三、解答题
18．问题提出：计算：1＋3＋3（1＋3）＋3（1＋3）2＋3（1＋3）3＋3（1＋3）4＋3（1＋3）5＋3（1＋3）6
问题探究：为便于研究发现规律，我们可以将问题“一般化”，即将算式中特殊的数字3用具有一般性的字母a代替，原算式化为：1＋a＋a（1＋a）＋a（1＋a）2＋a（1＋a）3＋a（1＋a）4＋a（1＋a）5＋a（1＋a）6
然后我们再从最简单的情形入手，从中发现规律，找到解决问题的方法：
(1)仿照②，写出将1＋a＋a（1＋a）＋a（1＋a）2＋a（1＋a）3进行因式分解的过程；
(2)填空：1＋a＋a（1＋a）＋a（1＋a）2＋a（1＋a）3＋a（1＋a）4＝　 　；
发现规律：1＋a＋a（1＋a）＋a（1＋a）2＋…＋a（1＋a）n＝　 　；
问题解决：计算：1＋3＋3（1＋3）＋3（1＋3）2＋3（1＋3）3＋3（1＋3）4＋3（1＋3）5＋3（1＋3）6＝　 　（结果用乘方表示）．
19．因式分解：
20．分解因式：
(1)
(2)
21．用提公因式法分解因式．
（1）4x2－ 4xy＋8xz ；
（2）6x4－ 4x3＋2x2 ；
（3）6m2n－15mn2＋30m3n ；
（4）（a＋b）－（a＋b）2 ；
（5）x（x－y）＋y （y－x） ；
（6）（m＋n）2－2（m＋n） ．
22．因式分解：
(1)
(2)
23．因式分解：
24．利用因式分解简便计算：
(1)；
(2)．
《4.2提公因式法》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A C C A C B A C C
题号 11 12
答案 C C
1．A
【分析】本题主要考查了提公因式法分解因式，提公因式时系数取最大公约数；字母取相同字母的最低次幂．
【详解】解：
，
∴提取的公因式为，
故选A．
．
2．A
【分析】本题主要考查多项式的公因式，熟练掌握多项式的公因式是解题的关键．
【详解】解：与没有公因式，选项A符合题意；
与的公因式为，选项B不符合题意；
与的公因式为，选项C不符合题意；
与的公因式为，选项D不符合题意．
故选A．
3．C
【分析】确定公因式，然后用提取公因式法进行因式分解即可．
【详解】解：，
．
故选：C．
【点睛】本题考查了用提取公因式法进行因式分解，解题关键是准确确定公因式，正确提取公因式．
4．C
【分析】提公因式进行分解即可．
【详解】解：，
则另一个因式是：．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了提公因式法分解因式，关键是正确确定公因式．
5．A
【分析】本题考查提公因式法分解因式．将提取公因式，据此即可求解．
【详解】解：
故选：A．
6．C
【分析】根据题意得到，再提公因式，利用完全平方公式分解因式后代入计算．
【详解】解：由题意得，
∴
，
故选：C．
【点睛】此题考查了提公因式法，完全平方公式变形计算，正确掌握各计算公式是解题的关键．
7．B
【详解】解：①2a＋b和a＋b，④x2－y2和x2+y2，没有公因式；
②5m（a－b）和－a＋b=－（a－b），公因式为a－b，
③3（a＋b）和－a－b=－（a＋b），公因式为a+b，
故选B.
8．A
【分析】适当变形后提公因式，可得答案．
【详解】解：原式，
另一个因式是，
故选：A．
【点睛】本题考查了因式分解，利用提公因式是解题关键．
9．C
【分析】根据公因式的定义，先找出系数的最大公约数，相同字母的最低指数次幂，然后即可确定公因式．
【详解】多项式-2an-1-4an+1中，
系数的最大公约数是-2，
相同字母的最低指数次幂是an-1，
因此公因式是-2an-1，
故选C．
【点睛】本题主要考查公因式的确定，解题的关键是准确掌握公因式的定义以及公因式的确定方法．
10．C
【分析】计算整式的乘法,让对应项系数相等即可解题.
【详解】解：∵(x－3)(x－4)=x2－7x＋12,且原式= x2－ax＋12,
∴a=7
故选C.
【点睛】本题考查了因式分解与整式乘法的联系,属于简单题,正确计算整式乘法,找到对应系数是解题关键.
11．C
【分析】直接提公因式分解因式即可．
【详解】解：
故选C．
【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确提取公因式是解题关键．
12．C
【分析】找出各项的公因式即可．
【详解】解：把分解因式时，应提取的公因式是．
故选：C．
【点睛】此题考查了因式分解-提公因式法，找出各项的公因式是解本题的关键．
13．-31.4
【分析】运用提公因式法计算即可
【详解】解：
故答案为：-31.4
【点睛】本题考查了提公因式法进行简便运算，熟练掌握法则是解决此题的关键
14．0
【分析】先进行因式分解，再代值计算即可．
【详解】解：
；
当时，原式；
故答案为：．
【点睛】本题考查代数式求值．熟练掌握分组法进行因式分解，整体思想代入求值，是解题的关键．
15．
【分析】各项都含有的因式称为公因式，根据定义解答．
【详解】解：多项式中，各项的公因式是，
故答案为：．
【点睛】此题考查了公因式的定义，正确掌握确定公因式的方法：取相同数字的最大公约数，取相同字母的最小指数，是解题的关键．
16．-7m(m-n)2(m-4n)
【详解】-7m(m-n)3+21mn(n-m)2
=-7m(m-n)3+21mn(m-n)2
=-7m(m-n)2(m-n-3n)
=-7m(m-n)2(m-4n)
点睛：本题考查了提公因式法因式分解，把21mn(n-m)2变形为21mn(m-n)2，从而可提取公因式-7m(m-n)2.
17．整式乘法
【分析】根据正式的乘法的定义即可解题.
【详解】解：(x＋2)2＝x2＋4x＋4是完全平方,
∴从左到右的运算是整式的乘法.
【点睛】本题考查了整式的乘法与因式分解的联系,属于简单题,熟悉概念是解题关键.
18．(1)（1+a）4
(2)（1+a）5；（1+a）n+1；47
【分析】（1）用提取公因式（1+a）一步步分解因式，最后化为积的形式；
（2）通过前面（1）的例子，用提取公因式法（1+a）一步步分解因式，最后化为积的形式，
发现规律：是根据（1）（2）的结果写出结论；
问题解决：通过前面的例子，用提取公因式法（1+3）一步步分解因式，最后化为积的形式．
【详解】（1）解：1+a+a（1+a）+a（1+a）2+a（1+a）3
＝（1+a）（1+a）+a（1+a）2+a（1+a）3
＝（1+a）2（1+a）+a（1+a）3
＝（1+a）3+a（1+a）3
＝（1+a）3（1+a）
＝（1+a）4；
（2）解：1+a+a（1+a）+a（1+a）2+a（1+a）3+a（1+a）4
＝（1+a）（1+a）+a（1+a）2+a（1+a）3+a（1+a）4
＝（1+a）2（1+a）+a（1+a）3+a（1+a）4
＝（1+a）3+a（1+a）3+a（1+a）4
＝（1+a）3（1+a）+a（1+a）4
＝（1+a）4+a（1+a）4
＝（1+a）4（1+a）
＝（1+a）5；
故答案为：（1+a）5；
发现规律：1+a+a（1+a）+a（1+a）2+…+a（1+a）n＝（1+a）n+1；
故答案为：（1+a）n+1；
问题解决：1+3+3（1+3）+3（1+3）2+3（1+3）3+3（1+3）4+3（1+3）5+3（1+3）6
＝（1+3）（1+3）+3（1+3）2+3（1+3）3+3（1+3）4+3（1+3）5+3（1+3）6
＝（1+3）2（1+3）+3（1+3）3+3（1+3）4+3（1+3）5+3（1+3）6
＝（1+3）3（1+3）+3（1+3）4+3（1+3）5+3（1+3）6
＝（1+3）4（1+3）+3（1+3）5+3（1+3）6
＝（1+3）5（1+3）+3（1+3）6
＝（1+3）6（1+3）
＝（1+3）7
＝47．
故答案为：47．
【点睛】此题考查了数字类运算的规律，提公因式法分解因式，整式的混合运算法则，正确掌握提公因式法分解因式是解题的关键，同时还考查了类比解题的思想．
19．
【分析】观察各项找到公因式2a，然后利用提公因式法进行分解即可．
【详解】
=
=．
【点睛】本题考查了提公因式法分解因式，正确确定公因式是解题的关键．
20．(1)
(2)
【分析】（1）利用提公因式法，进行分解即可解答；
（2）先利用平方差公式分解，再利用完全平方公式继续分解，即可解答．
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式．
【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止．
21．（1）4x（x－y＋2z）；（2）2x2（3x2－2x＋1）；（3）3mn（2m－5n＋10m2）；（4）（a＋b）（1－a－b）；（5）＝（x－y）2；（6）（m＋n）（m＋n－2）
【解析】略
22．(1)
(2)
【分析】（1）利用提公因式法即可求解；
（2）利用提公因式法即可求解．
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式．
【点睛】本题考查了用提公因式法进行因式分解，此类题解答时注意多观察代数式的形式特点选择合适的因式分解方法往往可以事半功倍．
23．
【分析】观察各项找到公因式，然后利用提公因式法进行分解即可．
【详解】
=
=．
【点睛】本题考查了提公因式法分解因式，正确确定公因式是解题的关键．
24．(1)
(2)
【分析】（1）利用因式分解简便计算，即可求解；
（2）利用因式分解简便计算，即可求解．
【详解】（1）解：
（2）解：
【点睛】本题考查了利用因式分解简便计算，熟练掌握和运用利用因式分解简便计算是解决本题的关键．
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