4.1因式分解随堂练习 北师大版数学八年级下册（含解析）

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4.1因式分解
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列因式分解中，正确的个数为（ ）
①x3+2xy+x=x（x2+2y）；②x2+4x+4=（x+2）2；③﹣x2+y2=（x+y）（x﹣y）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
2．下列因式分解错误的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列从左边到右边的变形中，是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
4．下列从左到右的变形，是因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
5．下列从左到右的变形中是因式分解的有(　　)
①x2﹣y2﹣1=(x+y)(x﹣y)﹣1；
②x3+x=x(x2+1)；
③(x﹣y)2=x2﹣2xy+y2；
④x2﹣9y2=(x+3y)(x﹣3y).
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．下列各式从左到右的变形中，是分解因式的是 ( )
A．x2-9+6x＝(x+3)(x-3)+6x B．(x+5)(x-2)＝x2+3x-10
C．x2-8x+16＝(x-4)2 D．(x-2)(x+3)＝(x+3)(x-2)
7．一次课堂练习，小璇同学做了如下4道因式分解题，你认为小璇做得不正确的一题是(　　)
A．a3－a＝a(a2－1)
B．m2－2mn＋n2＝(m－n)2
C．x2y－xy2＝xy(x－y)
D．x2－y2＝(x－y)(x＋y)
8．下列从左至右的变形，因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．要使式子－7ab－14abx＋49aby＝－7ab(　　)的左边与右边相等，则“(　　)”内应填的式子是(　　)
A．－1＋2x＋7y B．－1－2x＋7y
C．1－2x－7y D．1＋2x－7y
10．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．a（x－y）＝ax－ay B．x2－1＝（x+1）（x－1） C．（x+1）（x+3）＝x2+4x+3 D．x2+2x+1＝x（x+2）+1
11．下列各式由左到右的变形正确的是( )
A．-x-y=-(x-y) B．-x2+2xy-y2=-(x2+2xy+y2)
C．(y-x)2=(x-y)2 D．(y-x)3=(x-y)3
12．若x2-4x+b=（x-2）（x-a），则a-b的值是（　　）
A． B． C．6 D．2
二、填空题
13．分解因式：= .
14．已知(x＋1)(x－1)＝x2－1，则x2－1因式分解的结果是 ．
15．下列从左到右的变形中，是因式分解的有 .
①(x＋5)(x－5)＝x2－25　②x2－9＝(x＋3)(x－3)　③x2＋2x－3＝(x＋3)(x－1)　④9x2－6x＋1＝3x(3x－2)＋1　⑤x＋1＝x(1＋)　⑥3xn＋2＋27xn＝3xn(x2＋9)
16．因为(6a3－18a2)÷6a2＝ ，所以6a3－18a2可因式分解为6a2· .
17．下列由左边到右边的变形，是因式分解的有 （填序号）
①a（x＋y）＝ax＋ay；
②10x2－5x＝5x（2x－1）；
③y2－4y＋4＝（y－2）2；
④t2－16＋3t＝（t－4）（t＋4）＋3t．
三、解答题
18．阅读理解：
例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为，得，
∵，
∴，
∴由等式恒等原理可知： ①，
②，
由①②解得：，
∴另一个因式为，m的值为．
活学活用：
(1)若，则_________；
(2)若二次三项式有一个因式是，求另一个因式．
19．下列各式从左边到右边的变形中，哪些是因式分解？哪些不是？
（1）；（2）；
（3）；（4）；
（5）（6）．
20．如果多项式分解因式的结果为，则当时可得，此时可把代入中得出．
利用上述阅读材料解答以下两个问题：
(1)若多项式有一个因式为，求的值；
(2)若，是多项式的两个因式，求、的值．
21．已知整式，整式．
(1)若，求的值；
(2)若可以分解为，求的值．
22．下列从左到右的变形中，哪些是因式分解？哪些不是？
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)．
23．下列由左到右的变形中，哪些是分解因式 哪些不是 请说出理由.
（1）a（x+y）=ax+ay；
（2）x2+2xy+y2-1＝x（x+2y）+（y +1）（y-1）；
（3）ax2-9a＝a（x+3）（x-3）；
（4）x2+2+=
（5）2a3＝2a·a·a.
24．【例题讲解】因式分解：．
为三次二项式，若能因式分解，则可以分解成一个一次二项式和一个二次多项式的乘积．故我们可以猜想可以分解成，
展开等式右边得：，
恒成立．
等式两边多项式的同类项的对应系数相等，即，
解得，
．
【方法归纳】
设某一多项式的全部或部分系数为未知数，利用当两个多项式为恒等式时，同类项系数相等的原理确定这些系数，从而得到待求的值，这种方法叫待定系数法．
【学以致用】
(1)若，则________；
(2)若有一个因式是，求的值及另一个因式．
《4.1因式分解》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D D C B C A B D B
题号 11 12
答案 C A
1．C
【详解】试题分析：接根据提取公因式法以及公式法分别分解因式作出判断：
⑴x3+2xy+x=x（x2+2y+1），故原题错误；
②x2+4x+4=（x+2）2，故原题正确；
③﹣x2+y2=（x+y）（y﹣x），故原题错误．
故正确的有1个．
故选C．
考点：因式分解．
2．D
【分析】根据公式特点判断，然后利用排除法求解．
【详解】解：A.是平方差公式，故A选项正确，不符合题意；
B.是完全平方公式，故B选项正确，不符合题意；
C.是提公因式法，故C选项正确，不符合题意；
D.，故D选项错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了分解因式的方法，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
3．D
【分析】利用因式分解的定义判断即可．
【详解】解：A、右边不是整式的积的形式（含有分式），不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意；
B、是整式乘法，不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意；
C、右边不是整式的积的形式，不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意；
D、符合因式分解的定义，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】此题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的定义是解本题的关键．分解因式的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．
4．C
【分析】根据因式分解的定义判断即可．掌握把一个多项式化成几个整式积的形式叫因式分解是解答本题的关键．
【详解】解：A. ，属于整式的乘法运算，故本选项错误；
B. ，不符合因式分解的定义，故本选项错误；
C. ，符合因式分解的定义，故本选项正确；
D. ，因式分解的过程错误，故本选项错误．
故选：C．
5．B
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．
【详解】①没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故①不是因式分解；
②把一个多项式转化成几个整式积的形式，故②是因式分解；
③整式的乘法，故③不是因式分解；
④把一个多项式转化成几个整式积的形式，故④是因式分解；
故选B
【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式转化成几个整式积的形式是解题关键．
6．C
【详解】把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式分解因式.根据因式分解的定义可得，只有选项C符合因式分解的形式，故选C.
7．A
【分析】A、原式提取a，再利用平方差公式分解即可；B、原式利用完全平方公式分解即可；C、原式提取xy即可；D、原式利用平方差公式分解即可．
【详解】A、a3-a= a（a+1）（a-1），故错误；
B、m2－2mn＋n2＝(m－n)2，正确；
C、x2y－xy2＝xy(x－y) ，正确；
D、x2－y2＝(x－y)(x＋y) ，正确.
故选A．
【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
8．B
【分析】根据因式分解的定义：就是把多项式变形成整式的积的形式，即可作出判断．
【详解】解：A、，故本选项不合题意；
B、，故本选项符合题意；
C、，故本选项不符合题意；
D、，等式右边不是整式积的形式，故不是分解因式，故本选项不合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查的是因式分解的意义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．
9．D
【分析】运用提公因式法来分解因式即可.
【详解】解：∵－7ab－14abx＋49aby＝－7ab(1＋2x－7y)
故选D.
【点睛】本题考查了提公因式法,属于简单题,找到公因式,熟悉方法是解题关键.
10．B
【分析】直接利用因式分解的定义分析得出答案．
【详解】解：A、a（x-y）=ax-ay，是多项式的乘法运算，故此选项错误，不符合题意；
B、x2-1=（x+1）（x-1），正确，符合题意；
C、（x+1）（x+3）=x2+4x+3是多项式的乘法，故此选项错误，不符合题意；
D、x2+2x+1=x（x+2）+1，不符合因式分解的定义，故此选项错误，不符合题意．
故选：B．
11．C
【分析】提出－号即可．
【详解】A．-x-y=-(x+y)，故本选项错误；
B．-x2+2xy-y2=-(x2-2xy+y2)，故本选项错误；
C．(y-x)2=[-(x-y)]2=(x-y)2，故本选项正确；
D．(y-x)3=[－(x-y)]3=－(x-y)3，故本选项错误．
故选C．
【点睛】本题考查了提公因式法分解因式，提出负号后，括号内的每一项都要变号．
12．A
【分析】已知等式右边利用多项式乘以多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出a与b的值，即可确定出a－b的值．
【详解】解：∵x2－4x＋b＝（x－2）（x－a）＝x2－（a＋2）x＋2a，
∴a＋2＝4，b＝2a，
解得：a＝2，b＝4，
则a－b＝2－4＝－2．
故选A．
【点睛】此题考查了因式分解－十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解本题的关键．
13．(a+2)(3a+4)
【详解】提取公因式a+2即可，即原式=（a+2）（3a+6-2）=(a+2)(3a+4).
14．(x＋1)(x－1)
【分析】根据整式的乘法与因式分解是互逆运算即可解题.
【详解】解：∵(x＋1)(x－1)＝x2－1，
∴x2－1=(x＋1)(x－1)
【点睛】本题考查了整式的乘法与因式分解的联系,属于简单题,熟悉概念是解题关键.
15．②③⑥
【详解】把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，根据因式分解的定义可得②③⑥属于因式分解.
16． a－3 (a－3)
【分析】根据整式的除法计算第一空,根据乘法与除法互逆运算, 整式的乘法与因式分解是互逆运算即可解题.
【详解】解：(6a3－18a2)÷6a2＝a－3,
∴6a3－18a2=6a2·(a－3)
【点睛】本题考查了整式的乘法与因式分解的联系,属于简单题,熟悉概念是解题关键.
17．②③．
【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．
【详解】解：①a（x+y）=ax+ay，等式从左边到右边的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故不符合题意；
②10x2-5x=5x（2x-1），等式从左边到右边的变形属于因式分解，符合题意；
③y2-4y+4=（y-2）2，等式从左边到右边的变形属于因式分解，符合题意；
④t2-16+3t=（t-4）（t+4）+3t，等式从左边到右边的变形不属于因式分解，故不符合题意；
即等式从左边到右边的变形，属于因式分解的有②③，
故答案为：②③．
【点睛】本题考查了因式分解的定义，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
18．(1)
(2)另一个因式为
【分析】（1）按多项式乘以多项式展开，再根据等式恒等原理即可得到关于m、n的二元一次方程组，解方程即可求解；
（2）设另一个因式为，再根据（1）的方法即可求解．
【详解】（1）∵，
∴，
∴，
∴由等式恒等原理可知：①式为：，②式为：，
由①②解得：，，
∴；
故答案为：147；
（2）设另一个因式为，得，
∵，
∴，
∴由等式恒等原理可知：①式为：，②式为：，
由①②解得：b=2，a=1，
∴另一个因式为．
【点睛】本题主要考查了已知因式分解的结果求解参数以及多项式乘以多项式的知识，运用等式恒等原理是解答本题的关键．
19．（3）（6）是因式分解，（1）（2）（4）（5）不是因式分解
【分析】本题考查了因式分解的定义，把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解，据此求解即可．
【详解】（1）左边不是多项式，不是因式分解；
（2）从左到右的变形属于整式乘法，不是因式分解；
（3）从左到右的变形符合因式分解的定义，是因式分解；
（4）从左到右的变形不是化成整式积的形式，不是因式分解；
（5）从左到右的变形不是化成整式积的形式，不是因式分解；
（6）从左到右的变形符合因式分解的定义，是因式分解．
∴（3）（6）是因式分解，（1）（2）（4）（5）不是因式分解
20．(1)
(2)，
【分析】（1）把代入得到，求得的值即可；
（2）分别将和代入得到有关、的方程组求得、的值即可．
【详解】（1）解：令，即当时，得：
，
解得：．
∴的值为．
（2）令，即当时，得：
①，
令，即当时，得：
②，
由①，②得：，．
∴的值为，的值为．
【点睛】本题考查因式分解的意义，一元一次方程，二元一次方程组．解题的关键是熟悉因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式．
21．(1)
(2)
【分析】（1）先化简，再根据完全平方公式以及对应系数相等求得a值即可；
（2）先化简，再利用多项式乘以多项式展开使得对应系数相等求出a值即可解答．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，，
∴，
∵可以分解为，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查整式的混合运算，因式分解、完全平方公式，熟练掌握运算法则是解答的关键．
22．(1)不是因式分解
(2)不是因式分解
(3)是因式分解
(4)不是因式分解
(5)不是因式分解
【分析】本题考查了因式分解的意义，注意因式分解是针对多项式而言的，因式分解后，右边是整式积的形式．
根据分解因式的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式
【详解】（1）解：因式分解是针对多项式来说的，故不是因式分解；
（2）解：等号右边不是整式积的形式，不是因式分解；
（3）解：是因式分解；
（4）解：等号右边不是整式积的形式，不是因式分解；
（5）解：等号右边不是整式积的形式，不是因式分解．
23．见解析
【详解】试题分析：根据因式分解的定义判断即可.
试题解析：
因为(1) (2)的右边都不是整式的积的形式.所以它们不是分解因式；(4)中，都不是整式，(5)中的2a3不是多项式，所以它们也不是分解因式．只有(3)的左边是多项式，右边是整式的积的形式，所以(3)是分解因式.
24．(1)
(2)，
【分析】（1）将展开，再根据题干的方法即可求解；
（2）设多项式另一个因式为，利用题干给出的待定系数法求解即可．
【详解】（1）∵，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）设多项式另一个因式为，
则
，，，
，，
，即另一个式子为：．
【点睛】本题主要考查了多项式的乘法，因式分解等知识，掌握题干给出的待定系数法，是解答本题的关键．
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