3.3中心对称随堂练习 北师大版数学八年级下册（含解析）

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3.3中心对称
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列说法中，正确的是（　　）
①中心对称图形肯定是旋转对称图形；
②关于某一直线对称的两个图形叫做轴对称图形；
③圆有无数条对称轴，它的每一条直径都是它的对称轴；
④平行四边形是中心对称图形，它只有一个对称中心，就是两条对角线的交点；
⑤等边三角形既是中心对称，又是轴对称图形．
A．①②④ B．③④ C．①③⑤ D．①④
2．如图，在ABCD中，EF∥AB，点F为BD的中点，EF=4，则CD的长为( )
A． B．8 C．10 D．16
3．如图，在平面直角坐标系中，的顶点在第一象限，点、的坐标分别为、，，，直线交轴于点，若与关于点成中心对称，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．在直角坐标系中，已知点，关于原点对称，则a，b的值是（　　）
A．， B．， C．， D．，
5．如图，已知和关于点O成中心对称，则下列结论错误的是（ ）．
A． B．
C． D．
6．如图，已知阴影部分图形关于点O成中心对称，且，的高，则的面积为（　　）．
A．2 B．3 C．4 D．6
7．如图，数轴上点A与点B关于原点对称，则m＝（ ）.
A．2 B．－2 C． D．
8．下列说法中，正确的是( )．
A．等腰梯形既是中心对称图形又是轴对称图形．
B．平行四边形的邻边相等．
C．矩形是轴对称图形且有四条对称轴．
D．菱形的面积等于两条对角线长乘积的一半．
9．以下是我国部分博物馆标志的图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
10．如图，与关于点成中心对称，下列说法：
①；②；③；④与的面积相等，其中正确的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
11．如图，下列图案中，既是中心对称又是轴对称图形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．下列正方形中由阴影部分组成的图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
13．以 ABCD对角线的交点O为原点，平行于BC边的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若A点坐标为（﹣2，1），则C点坐标为 ．
14．如图，在平面直角坐标系中，若与关于点D中心对称，则对称中心点D的坐标是 ．
15．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点坐标是 ．
16．若，则点A（a，b）关于原点对称的点的坐标为 ．
17．如图，直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A'，AB⊥a于点B，A'D⊥b于点D．若OB=3，OD=2，则阴影部分的面积之和为 ．
三、解答题
18．画出四边形ABCD关于点O成中心对称的四边形A′B′C′D′.

19．如图所示的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图．
（1）将△ABC向右平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度，请画出平移后的△A1B1C1．
（2）画出△ABC关于坐标原点O成中心对称的△A2B2C2．
20．实践与操作：如图1是以正方形两顶点为圆心，边长为半径，画两段相等的圆弧而成的轴对称图形，图2是以图1为基本图案经过图形变换拼成的一个中心对称图形．
（1）请你仿照图1，用两段相等圆弧（小于或等于半圆），在图3中重新设计一个不同的轴对称图形．
（2）以你在图3中所画的图形为基本图案，经过图形变换在图4中拼成一个中心对称图形．
21．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上．
(1)将向左平移6个单位长度得到，请画出；
(2)画出关于点的中心对称图形；
(3)若将绕某一点旋转可得到，那么旋转中心的坐标为______，旋转角度为______．
22．观察如图图形，并回答下面的问题：
(1)哪些是轴对称图形？
(2)哪些是中心对称图形？
(3)哪些既是轴对称图形，又是中心对称图形？
23．如图,D是△ABC边BC的中点,连接AD并延长到点E,使DE=AD，连接BE．
(1)图中哪两个图形成中心对称；
(2)若△ADC的面积为4，求△ABE的面积．
24．已知：如图，三角形ABM与三角形ACM关于直线AF成轴对称，三角形ABE与三角形DCE关于点E成中心对称，点E、D、M都在线段AF上，BM的延长线交CF于点P．
（1）求证：AC=CD；
（2）若∠BAC=2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由．

《3.3中心对称》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B A D D D B D D D
题号 11 12
答案 B B
1．D
【分析】①根据中心对称图形和旋转对称图形的定义可判断；②根据轴对称图形的定义可判断；③根据对称轴是直线，圆的直径是线段可判断；④根据平行四边形的性质可判断；⑤根据等边三角形的性质可判断.
【详解】解：①中心对称图形肯定是旋转对称图形，故①正确；
②关于某一直线对称的两个图形叫做成轴对称，故②错误；
③对称轴是直线，圆的直径是线段，故③错误；
④平行四边形是中心对称图形，它只有一个对称中心，就是两条对角线的交点，故④正确；
⑤等边三角形是轴对称图形，故⑤错误；
故答案为D.
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2．B
【详解】试题分析：先根据三角形的中位线定理求得AB的长，再根据平行四边形的性质即可求得结果．
由题意得EF是△ABD的中位线，
∴AB=2EF=8，
∵ABCD，
∴AB=CD=8，
故选B.
考点：本题考查了三角形的中位线定理，平行四边形的性质
点评：解答本题的关键是熟练掌握三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半；平行四边形的对边相等.
3．A
【详解】分析：先求得直线AB解析式为y=x﹣1，即可得P（0，﹣1），再根据点A与点A'关于点P成中心对称，利用中点坐标公式，即可得到点A'的坐标.
详解：∵点B，C的坐标分别为（2，1），（6，1），∠BAC=90°，AB=AC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴A（4，3），
设直线AB解析式为y=kx+b，
则，解得，
∴直线AB解析式为y=x﹣1，
令x=0，则y=﹣1，
∴P（0，﹣1），
又∵点A与点A'关于点P成中心对称，
∴点P为AA'的中点，
设A'（m，n），则=0，=﹣1，
∴m=﹣4，n=﹣5，
∴A'（﹣4，﹣5），
故选A．
点睛：本题考查了中心对称和等腰直角三角形的运用，利用待定系数法得出直线AB的解析式是解题的关键.
4．D
【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出关于a，b的方程组，进而得出答案．
【详解】解：∵点，关于原点对称，
∴，
解得：．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号关系是解题关键．
5．D
【分析】根据三角形和中心对称的性质求解，即可得到答案．
【详解】∵和关于点O成中心对称
∴
∴错误，其他选项正确
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形和中心对称图形的知识；解题的关键是熟练掌握三角形和中心对称图形的性质，从而完成求解．
6．D
【分析】本题考查中心对称图形的性质，三角形的面积公式．根据中心对称图形的性质得出是解题关键．
【详解】解：∵阴影部分图形关于点O成中心对称，
∴,
∴．
∵的高，
∴．
故选D．
7．B
【分析】根据数轴上两点关于原点对称的点互为相反数，即可求出m的值．
【详解】解：已知A表示的数是2，
∵数轴上两点关于原点对称的点互为相反数，
∴点B表示的数是-2．
∴m=-2，
故选：B．
【点睛】本题考查了数轴上两点关于原点对称的点互为相反数，比较简单．
8．D
【详解】等腰梯形是轴对称图形，但不是中心对称图形，所以A选项说法错误；
平行四边形的邻边不一定相等，所以B选项说法错误；
矩形是轴对称图形且有2条对称轴，所以C选项说法错误；
菱形的面积等于它两条对角线长的乘积的一半，所以D选项正确.
故选D.
9．D
【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，能熟记中心对称图形和轴对称图形的定义是解此题的关键．
中心对称图形是在平面内，把一个图形绕某一定点旋转，能够与自身重合的图形．轴对称图形是在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．依据定义判断．
【详解】解：A．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，本选项不符合题意；
B．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，本选项不符合题意；
C．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，本选项不符合题意；
D．该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，本选项符合题意．
故选：D．
10．D
【分析】本题考查中心对称，根据“成中心对称的两个图形全等，对称点到对称中心的距离相等”即可判断．
【详解】解：与关于点成中心对称，
，
，，与的面积相等，
故①②④正确；
对称点到对称中心的距离相等，
，
故③正确；
综上可知，正确的有4个，
故选D．
11．B
【分析】将一个图形沿着某条直线对折，如果直线两边的图形能够完全重叠，则这个图形就是轴对称图形；将某个图形围绕某一点旋转180°之后能够与原图形完全重合，则这个图形就是中心对称图形，由此判断即可．
【详解】第一个图形既是轴对称图形又是中心对称图形，第二个图形是轴对称图形，不是中心对称图形，第三个图形是中心对称图形，不是轴对称图形，第四个图形既是轴对称图形，又是中心对称图形．综上所述，既是轴对称图形又是中心对称图形的共2个．
故选B．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握二者的定义．
12．B
【详解】试题分析：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；
B、是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项正确；
C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项错误；
D、是中心对称图形不是轴对称图形，故本选项错误．
故选B．
【考点】1.中心对称图形；2.轴对称图形．
13．（2，﹣1）
【分析】根据平行四边形是中心对称图形，再根据 ABCD对角线的交点O为原点和点A的坐标，即可得到点C的坐标．
【详解】解：∵ ABCD对角线的交点O为原点，A点坐标为（﹣2，1），
∴点C的坐标为（2，﹣1），
故答案为：（2，﹣1）．
【点睛】此题考查中心对称图形的顶点在坐标系中的表示．
14．
【分析】根据旋转的性质，连接对应点，与的交点D即为对称中心，然后根据平面直角坐标系写出点D的坐标即可．
【详解】解：如图，连接，与相交于点D，点D即为对称中心，由图可得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转，熟练掌握旋转的性质，理解对应点的连线的交点即为对称中心是解题的关键，也是本题的难点．
15．
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—中心对称，关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数，据此求解即可．
【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点坐标是，
故答案为：．
16．（，﹣4）
【分析】根据绝对值和偶次幂都具有非负性可得3a﹣1＝0，b﹣4＝0，算出a、b的值，再根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案．
【详解】解：由题意得：3a﹣1＝0，b﹣4＝0，
解得：a，b＝4，
则点A（，4）关于原点对称的点的坐标为（，﹣4），
故答案为：（，﹣4）．
【点睛】此题主要考查了非负数的性质，以及关于原点对称的点的坐标特点，关键是正确计算出a、b的值．
17．6
【详解】∵直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A'，AB⊥a于点B，A'D⊥b于点D，OB=3，OD=2，
∴AB=2，
∴阴影部分的面积之和为3×2=6．
故答案为：6．
【点睛】考点：中心对称．
18．图形见解析
【分析】根据中心对称点平分对应点的连线即可得到各点的对称点，然后顺次连接即可．
【详解】解：①连接AO，并延长至A′，使OA′=OA，得A点关于点O的对称点A′，
②同样画出点B、C、D关于点O的对称点B′、C′、D′．
③顺次连接A′B′、B′C′、C′D′、D′A′则四边形A′B′C′D′就是所求的四边形．

【点睛】注意图形旋转前后的对应线段的长度相等，对应角的大小相等，且对应点与对称中心的连线的长度相等。
19．见解析
【详解】试题分析：（1）直接利用平移的性质得出各点坐标，进而得出答案；
（2）直接利用关于原点对称点的性质得出各点坐标，进而得出答案．
解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；
（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求．
点评：此题主要考查了平移变换以及中心对称，正确得出平移后对应点位置是解题关键．
20．解：（1）在图3中设计出符合题目要求的图形：
（2）在图4中画出符合题目要求的图形：
【详解】此题为开放性试题，答案不唯一．
（1）根据轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合作出图形．
（2）根据中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合作出图形．
21．(1)见解析
(2)见解析
(3)；
【分析】本题考查作图—旋转变换，平移变换等知识，熟练掌握旋转变换的性质，平移变换的性质是解题的关键；
（1）利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
（2）利用中心对称变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
（3）两个三角形成中心对称，对应点连线的交点即为旋转中心；
【详解】（1）解：如图，即为所作；
（2）解：如图，即为所作；
（3）解：如图，若将 绕某一点旋转可得到，那么旋转中心的坐标为，旋转角度为；
故答案为：；．
22．(1)②③④⑤⑥
(2)①②⑤
(3)②⑤
【分析】（1）根据轴对称图形的定义即可求解；
（2）根据中心对称图形的定义即可求解；
（3）综合（1）（2）结论即可求解．
【详解】（1）解：根据轴对称图形的定义，②③④⑤⑥是轴对称图形；
（2）解：根据中心对称图形的定义，①②⑤是中心对称图形；
（3）解：由（1）（2）可知，②⑤既是轴对称图形，又是中心对称图形．
【点睛】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别，解题的关键是掌握定义．一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180度，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．
23．（1）图中△ADC和三角形EDB成中心对称；（2）8．
【分析】（1）直接利用中心对称的定义写出答案即可；
（2）根据成中心对称的图形的两个图形全等确定三角形BDE的面积，根据等底同高确定ABD的面积，从而确定ABE的面积．
【详解】解：（1）图中△ADC和三角形EDB成中心对称；
（2）∵△ADC和三角形EDB成中心对称，△ADC的面积为4，
∴△EDB的面积也为4，
∵D为BC的中点，
∴△ABD的面积也为4，
所以△ABE的面积为8．
【点睛】本题考查了中心对称的定义，解题的关键是了解中心对称的定义，难度较小．
24．见解析
【分析】（1）利用中心对称图形的性质以及轴对称图形的性质得出全等三角形进而得出对应线段相等；
（2）利用（1）中所求，进而得出对应角相等，进而得出答案．
【详解】(1)证明：∵△ABM与△ACM关于直线AF成轴对称，
∴△ABM≌△ACM，
∴AB=AC，
又∵△ABE与△DCE关于点E成中心对称，
∴△ABE≌△DCE，
∴AB=CD，
∴AC=CD；
(2)∠F=∠MCD.
理由：由(1)可得∠BAE=∠CAE=∠CDE，∠CMA=∠BMA，
∵∠BAC=2∠MPC，∠BMA=∠PMF，
∴设∠MPC=α，则∠BAE=∠CAE=∠CDE=α，
设∠BMA=β，则∠PMF=∠CMA=β，
∴∠F=∠CPM ∠PMF=α β，
∠MCD=∠CDE ∠DMC=α β，
∴∠F=∠MCD.
【点睛】本题主要考查轴对称、中心对称性质和全等三角形的判定及性质.通过轴对称与中心对称的性质得出全等三角形的判定条件是解题的关键.
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