3.2图形的旋转随堂练习 北师大版数学八年级下册（含解析）

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3.2图形的旋转
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．将数字“6”旋转，得到数字“9”；将数字“9”旋转，得到的数字是“6”，现将数字“69”旋转，得到的数字是（　　）
A．96 B．69 C．66 D．99
2．如图，在△EBC中，∠E=∠ECB=60°，EC=BC=5，点O在BC上，且OC=3，动点P从点E沿射线EC以每秒1个单位长度的速度运动，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转120°得到线段OF要使点F恰好落在射线EB上，求点P运动的时间t为（ ）秒

A．7 B．7或4 C．4或5 D．4
3．如图， 将 绕点顺时针旋转一定的角度与 重合 与 是对应点 ， 使得点恰好落在上， 若， 则 的度数为 （ ）
A． B． C． D．
4．如图，将先向右平移3个单位，再绕原点O旋转，得到，则点A的对应点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
5．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，3），若将OA绕原点O逆时针旋转90°得到OA′，则点A′的坐标为（　　）
A．（﹣2，3） B．（﹣3，2） C．（2，﹣3） D．（3，﹣2）
6．如图，已知A（1，3），将线段OA绕原点O顺时针旋转90°后得到OA′，则OA′的长度是（ ）
A． B．3 C． D．1
7．把一块直角三角板ABC绕着30°角的顶点B顺时针旋转，使得点A与CB的延长线上的点E重合，连接CD,则的度数是 （ ）
A．30° B．15° C．45° D．20°
8．如图所示，中，，将绕点顺时针旋转后，得到，且在边上，则的度数是（ ）
A．46° B．48° C．50° D．52°
9．如图，在平面直角坐标系中，经过中心对称变换得到，那么中心对称的坐标为（ ）．
A． B． C． D．
10．如图，把绕着点A顺时针转，得到，当时，点E恰好在边上，则的大小是（　　）

A． B． C． D．
11．经过平移或旋转不可能将甲图案变成乙图案的是( ).
A． B． C． D．
12．如图，该图形绕着点O旋转能与自身重合，则旋转角最小为（　　）
A．36° B．60° C．72° D．90°
二、填空题
13．如图，在直角△OAB中，∠AOB=30°，将△OAB绕点O逆时针旋转100°得到△OA1B1，则∠A1OB=°．
14．如图，、都是等腰直角三角形，，，若绕某点逆时针旋转后能与重合，问：
（1）旋转中心是 ；
（2）逆时针旋转 度；
（3）若，则的长度是
15．如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若，则的长为 ．
16．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OAB，∠A＝90°，点O为坐标原点，点B在x轴上，点A的坐标是（1，1）．若将△OAB绕点O顺时针方向依次旋转45°后得到△OA1B1，△OA2B2，△OA3B3，…，可得A1（，0），A2（1，﹣1），A3（0，﹣），…则A2021的坐标是 ．
17．如图，可以看作是一个基础图形绕着中心旋转次而生成的，则每次旋转的度数是 ．
三、解答题
18．点为直线上一点，过点作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点处．
（1）如图1，将三角板的一边与射线重合时，求的度数；
（2）如图2，将三角板绕点逆时针旋转一定角度，此时是的角平分线，求旋转角的度数，的度数；
（3）将三角板绕点逆时针旋转至图3时，，求．
19．如图，在由边长为1个单位的小正方形组成的网格中，的顶点都在格点（网格线的交点）上．

(1)将向下平移4个单位，再向右平移3个单位，得到，请画出；
(2)以边的中点O为旋转中心，将逆时针旋转，得到，请画出．
20．如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上．
（1）画出△ABC绕点O顺时针旋转90°后的△A′B′C′．
（2）求点B绕点O旋转到点B′的路径长（结果保留π）．
21．如图1，在平面直角坐标系中，已知A（a，-a），B （b，0），且a，b满足
(1)判断△AOB的形状，并说明理由；
(2)如图1，E，F在OB边上，且E（—3，0），∠EAF＝45°，求EF的长；
(3)如图2，若C（3，0），在y轴负半轴上是否存在点M，使∠FMO＝2∠CMO，若存在，求点M的坐标，若不存在，请说明理由．
22．如图1，点为直线上一点，过点作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方．
(1)将图1中的三角板绕点逆时针旋转至图2，使一边在的内部，且恰好平分，问：直线是否平分？请直接写出结论：直线 （平分或不平分）．
(2)将图1中的三角板绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线恰好平分锐角，则的值为 ．（直接写出结果）
(3)将图1中的三角板绕点O顺时针旋转，请探究，当始终在的内部时（如图3），与的差是否发生变化？若不变，请求出这个差值；若变化，请举例说明．
23．(1)问题发现
如图1,△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=90°,B,C,D在一条直线上.
填空:线段AD,BE之间的关系为 .
(2)拓展探究
如图2,△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,请判断AD,BE的关系,并说明理由.
(3)解决问题
如图3,线段PA=3,点B是线段PA外一点,PB=5,连接AB,将AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AC,随着点B的位置的变化,直接写出PC的范围.
24．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点△ABC（顶点在网格线的交点上）的顶点A、C 的坐标分别为A(-3，5)、C(0，3)
备用图
(1)请在网格所在的平面内画出平面直角坐标系，并直接写出点B的坐标
(2)将△ABC绕着原点O顺时针旋转90°得△A1B1C1，画出△A1B1C1
(3)在x轴上是否存在点P，使PA＋PC的值最小，若存在请直接写出点P的坐标；若不存在请说明理由
《3.2图形的旋转》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A B C B A B C B D
题号 11 12
答案 C C
1．B
【分析】直接旋转的性质结合69的特点得出答案．
【详解】解：现将数字“69”旋转，得到的数字是：69，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质，得出旋转后的图形是解题关键．
2．A
【分析】利用旋转的性质得∠FOP=120°，OP=OF，再证明△BOF≌△CPO得到PC=OB=1，则BP=BC+PC=4，然后计算点P运动的时间t．
【详解】解：如图，∵OC=3，
∴OB=BC-OC=2，
∵线段OP绕点O逆时针旋转120°得到线段OF，
∴∠FOP=120°，OP=OF，
∴∠1+∠2=60°，
∵△BCE为等边三角形，
∴∠BCE=∠CBE=60°，
∴∠FBO=120°，∠PCO=120°，
∴∠2+∠3=∠BCE=60°，
∴∠1=∠3，
∴△BOF≌△CPO（AAS），
∴PC=OB=2，
∴EP=EC+PC=BC+PC=5+2=7，
∴点P运动的时间t=7÷1=7s，
故选A．

【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质和等边三角形的性质，会运用全等三角形的知识解决线段相等的问题；判断出△BOF≌△CPO是解本题的关键．
3．B
【分析】由旋转的性质可得：AC=AC'，∠ACB=∠AC'B'=75°，可求∠ACB'=105°，即可得∠BCB′的度数．
【详解】解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度至△AB′C′处，
∴AC=AC'，∠ACB=∠AC'B'=75°，
∴∠ACC'=∠AC'B'=75°，
∴∠ACB'=105°，
∵∠BCB'=∠ACB'-∠ACB=105°-75°=30°，
故选：B．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，熟练运用旋转的性质是本题的关键．
4．C
【分析】先画出平移后的图形，再利用旋转的性质画出旋转后的图形即可求解．
【详解】解：先画出△ABC平移后的△DEF，再利用旋转得到△A'B'C'，
由图像可知A'（-1，-3），
故选：C．
【点睛】本题考查了图形的平移和旋转，解题关键是掌握绕原点旋转的图形的坐标特点，即对应点的横纵坐标都互为相反数．
5．B
【详解】试题分析：作出图形，然后写出点A′的坐标即可．
如图，点A′的坐标为（﹣3，2）．
故选B．
考点: 坐标与图形变化-旋转．
6．A
【详解】试题解析：∵A点坐标为（1，3），
∴OA==，
∵线段OA绕原点O顺时针旋转90°后得到OA′，
∴OA′=OA=．
故选A．
点睛：旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
7．B
【详解】试题分析：∵把一块含有30°的直角尺ACB绕点B顺时针旋转，使得点A与CB的延长线上的点E重合，
∴BC=BD，∠DBE=∠ABC=30°，
∴∠BDC=15°
故选B
考点：等腰三角形的性质
8．C
【分析】根据旋转的性质和∠C＝65°，从而可以求得∠AC′B′和∠AC′C的度数，从而可以求得∠B′C′B的度数．
【详解】∵将△ABC绕点A顺时针旋转后，可以得到△AB′C′，且C′在边BC上，
∴AC＝AC′，∠C＝∠AC′B′，
∴∠C＝∠AC′C，
∵∠C＝65°，
∴∠AC′B′＝65°，∠AC′C＝65°，
∴∠B′C′B＝180° ∠AC′B′ ∠AC′C＝50°，
故选：C．
【点睛】本题考查旋转的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
9．B
【详解】如图，连接可得它们的交点坐标为，
∵成中心对称的两个图形中，对应点的连线必过对称中心，
∴对称中心的坐标为：，
故选B.
10．D
【分析】根据旋转的性质得出，，进而利用三角形内角和定理解答即可．
【详解】解：把绕着点A顺时针转，得到，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵．
∴，
∵，
∴，
故选：D．
【点睛】此题考查旋转的性质和三角形内角和定理，关键是根据旋转的性质求旋转角．
11．C
【详解】本题考查了平移和旋转的性质
根据平移和旋转的性质进行选择，平移不改变图形的大小和形状，旋转改变图形的方向，可以作出选择．
A、B、D通过旋转和平移，和乙图各点对应，均正确；C、经过平移和旋转变换不可能将甲图案变成乙，故错误．故选C．
12．C
【分析】根据旋转对称图形的性质判断即可．
【详解】解：由题意，＝72°，
故该图形围绕点O旋转能与自身重合，则旋转角最小为72°，
故选：C．
【点睛】本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
13．70
【详解】∵将△OAB绕点O逆时针旋转100°得到△OA1B1， ∴∠A1OA=100°．
又∵∠AOB=30°，∴∠A1OB=∠A1OA－∠AOB=70°．
14． 点 90 10
【分析】（1）找出两重合三角形的公共顶点即可得出其旋转中心；
（2）根据两重合边所夹的角度即可求出旋转的度数；
（3）根据图形旋转的性质可直接进行解答．
【详解】（1）∵△EAC逆时针旋转后能与△BAD重合，
∴A点即为两三角形的公共顶点，故旋转中心是A点；
（2）∵△EAC逆时针旋转后能与△BAD，
∴AE与AB重合，
∵∠BAE=90°，
∴旋转的度数为：90；
（3）由题意知EC和BD是对应线段，据旋转的性质可得BD=EC=10cm．
【点睛】本题考查的是图形旋转的性质，即①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后的图形全等．
15．12
【分析】先根据含30度角的直角三角形的性质得到，再根据中心对称图形的性质即可得到答案．
【详解】解：∵在中，，
∴，
∵B与关于A中心对称，
∴．
故答案为：12．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形的性质，含30度角的直角三角形的性质，正确求出是解题的关键．
16．
【分析】根据题意得：A1（，0），A2（1，﹣1），A3（0，﹣）， ，…，由此发现，旋转8次一个循环，再由 ，即可求解．
【详解】解：根据题意得：A1（，0），A2（1，﹣1），A3（0，﹣）， ，…，由此发现，旋转8次一个循环，
∵ ，
∴A2021的坐标是 ．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了图形的旋转，明确题意，准确得到规律是解题的关键．
17．
【详解】试题分析：∵一个周角是360度，等腰直角三角形的一个锐角是45度，
∴如图，是由一个等腰直角三角形每次旋转45度，且旋转8次形成的．
∴每次旋转的度数是45°．
故答案是45°．
考点：旋转的性质．
18．（1）25° （2）40°，25° （3）20°．
【分析】（1）直接利用角的和差计算即可；
（2）先根据角平分线的性质求得∠MOB=130°，再根据旋转角的定义,然后∠BOC-∠BON即可求得；
（3）先求出∠BON，然后利用平角的性质和角的和差即可解答．
【详解】（1），
故答案为25°；
（2）∵是的角平分线，
∴，
∴旋转角，
，
故答案为40°，25°；
（3）∵，，
∴，
∵点为直线上一点，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、旋转角的性质、直角的性质和角的和差等知识点，考查知识点较多，灵活运用所学知识成为解答本题的关键．
19．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据平移的性质作图：分别作出点A、B、C向下平移4个单位，再向右平移3个单位的对应点，，，再连接，，即可．
（2）根据旋转的性质作图：分别作出点A、B、C绕点O逆时针旋转90°的对应点D，E，F，再连接，，，即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求．

（2）解：如图，即为所求．

【点睛】本题考查作图-平移变换、旋转变换，熟练掌握平移和旋转的性质是解答本题的关键．
20．（1）画图见解析；（2）点B绕点O旋转到点B′的路径长为．
【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出点A、B、C的对应点A′、B′、C′，从而得到△A′B′C′；
（2）先计算出OB的长，然后根据弧长公式计算点B绕点O旋转到点B′的路径长．
【详解】（1）如图，△A′B′C′为所作；
（2）OB＝＝3，点B绕点O旋转到点B′的路径长＝＝π．
【点睛】本题考查作图﹣旋转变换和旋转的性质，解题的关键是掌握旋转的性质．
21．(1)△AOB 为等腰直角三角形，理由见解析；
(2)EF的长为5；
(3)存在，M点坐标为（0，-6），理由见解析．
【分析】（1）利用，可知a，b的值，从而知道点A、B的坐标，继而推导出△OAH与△BAH是两个全等的等腰直角三角形，最后得出△AOB 为等腰直角三角形；
（2）将△AOE绕A点顺时针旋转90°得到△ABG，从而构造Rt △FBG，再用SAS证明△GAF≌△EAF（SAS），从而得到，最后设EF为x，构造方程解出即可；
（3）取取点C（3，0）关于y轴对称的对称点P(-3，0)，利用∠FMO=2∠CMO得到PM是∠FMO 的角平分线，再用等面积法得出，再设OM=3t，利用勾股定理构造方程，解出方程推出M点坐标．
【详解】（1）△AOB 为等腰直角三角形，理由如下：
过点 A 作 AH⊥OB， 垂足为 H，
∵，
∴，
又∵A（a，），B （b，0），
∴，B，
∴OH= HB =AH=6．
又∵AH⊥OB，
∴△OAH与△BAH是两个全等的等腰直角三角形（SAS），
∴∠ABO=∠AOB=45°，AB=AO，∠BAO=∠BAH+∠OAH=45°+45°= 90°．
∴△AOB 为等腰直角三角形．
（2）将△AOE绕A点顺时针旋转90°得到△ABG，旋转后AO与AB重合，
则有∠ABG=∠AOE=45°，BG=OE，AG=AE，∠BAG=∠OAE，
∠FBG=∠ABO+∠ABG=45°+45°=90°，
．
又∵∠BAO= 90°，∠EAF＝45°，
∴∠GAF=∠BAG+∠BAF=∠OAE +∠BAF=∠BAO-∠EAF=，
∴∠GAF=∠EAF．
∵AG=AE，∠GAF=∠EAF ，AF=AF，
∴△GAF≌△EAF（SAS），
∴FG=EF．
∵，
∴OE=3．
∵，FG=EF，BG=OE，
∴．
设EF=x，则BF=OB-OE-x=9-x，
∴，
解得：x=5，即EF的长为5．
（3）存在，M点坐标为，理由如下：
取点C（3，0）关于y轴对称的对称点P(-3，0)，
由（2）知OF=EF+OE=8，
∴．
连接 MP， 过点 P 作 PK⊥MF， 垂足为 K，
∵OP=OC=3，
∴MO 垂直平分 CP，
∴MP=MC，∠CMO=∠PMO．
∵∠FMO=2∠CMO，
∴∠FMO=2∠PMO ，
∴，
∴PM是∠FMO 的角平分线．
又∵PK⊥MF，PO⊥OM，
∴PK=PO，
∴．
又∵，
∴．
设 MF=5t， 则 MO=3t，
∵，
∴，
∴（含去），
∴，MO=3t=6，
∴M 点的坐标为．
【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定与性质，旋转的性质，等面积法，方程思想解决几何问题等知识，第二小问解题的关键是利用旋转构造直角三角形，第三小问解题的关键是等面积法推出与的比例关系．
22．(1)平分
(2)或
(3)不变，差值是
【分析】（1）设的反向延长线为，由角平分线的性质和对顶角的性质可求得；
（2）由直线恰好平分锐角可知旋转或时直线平分，根据旋转速度可求得需要的时间；
（3）由，可知，最后求得两角的差，从而可做出判断．
【详解】（1）解：直线平分．
理由如下：设的反向延长线为，
∵平分，
∴，
又，
∴，
∵，
∴，∴平分，
即直线平分，故答案为：平分；
（2）∵，∴．
∴．
即旋转或时直线ON平分∠AOC．
由题意得，或．
解得：或，
故答案为：或；
（3）的差不变．
∵，
∴，
∴．
∴与的差不变，这个差值是．
【点睛】本题考查了旋转的性质，角平分线的定义，几何图形中角度的计算，掌握旋转的性质，数形结合是解题的关键．
23．(1) AD=BE，AD⊥BE．(2) AD=BE，AD⊥BE．(3) 5-3≤PC≤5+3．
【分析】（1）根据等腰三角形性质证△ACD≌△BCE（SAS），得AD=BE，∠EBC=∠CAD，延长BE交AD于点F，由垂直定义得AD⊥BE．
（2）根据等腰三角形性质证△ACD≌△BCE（SAS），AD=BE，∠CAD=∠CBE，由垂直定义得∠OHB=90°，AD⊥BE；
（3）作AE⊥AP，使得AE=PA，则易证△APE≌△ACP，PC=BE，当P、E、B共线时，BE最小，最小值=PB-PE；当P、E、B共线时，BE最大，最大值=PB+PE，故5-3≤BE≤5+3.
【详解】（1）结论：AD=BE，AD⊥BE．
理由：如图1中，
∵△ACB与△DCE均为等腰直角三角形，
∴AC=BC，CE=CD，
∠ACB=∠ACD=90°，
在Rt△ACD和Rt△BCE中
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE，∠EBC=∠CAD
延长BE交AD于点F，
∵BC⊥AD，
∴∠EBC+∠CEB=90°，
∵∠CEB=AEF，
∴∠EAD+∠AEF=90°，
∴∠AFE=90°，即AD⊥BE．
∴AD=BE，AD⊥BE．
故答案为AD=BE，AD⊥BE．
（2）结论：AD=BE，AD⊥BE．
理由：如图2中，设AD交BE于H，AD交BC于O．
∵△ACB与△DCE均为等腰直角三角形，
∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠ECD=90°，
∴ACD=∠BCE，
在Rt△ACD和Rt△BCE中
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE，∠CAD=∠CBE，
∵∠CAO+∠AOC=90°，∠AOC=∠BOH，
∴∠BOH+∠OBH=90°，
∴∠OHB=90°，
∴AD⊥BE，
∴AD=BE，AD⊥BE．
（3）如图3中，作AE⊥AP，使得AE=PA，则易证△APE≌△ACP，
∴PC=BE，
图3-1中，当P、E、B共线时，BE最小，最小值=PB-PE=5-3，
图3-2中，当P、E、B共线时，BE最大，最大值=PB+PE=5+3，
∴5-3≤BE≤5+3，
即5-3≤PC≤5+3．
【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找三角形全等的条件，学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
24．(1)作图如图所示，点B的坐标为(-2，1)
(2)作图如图所示
(3)存在点，使得PA＋PC的值最小．
【分析】（1）根据A、C 的坐标确定平面直角坐标系的原点位置，从而画出平面直角坐标系，并得到点B的坐标
（2）根据旋转的定义作图即可
（3）根据图形对称性质，作点C关于x轴的对称点C2，连接A C2，则A C2交x轴于点P，此时PA＋PC的值最小．此时由A(-3，5)，C2(0，-3)，求得直线A C2的解析式，进而求出直线A C2与x轴的交点，即得P点坐标．
【详解】（1）解：由A、C 的坐标分别为A(-3，5)、C(0，3)，可得平面直角坐标系如图所示，点B的坐标为(-2，1)．
（2）解：作图如图所示，
（3）解：存在点，使得PA＋PC的值最小．
作点C关于x轴的对称点C2，连接A C2，则A C2交x轴于点P，此时PA＋PC的值最小．
∵C(0，3)，点C2为点C关于x轴的对称点，
∴C2(0，-3)，
∵ A(-3，5)，C2(0，-3)，
设直线A C2的解析式为：，将A(-3，5)，C2(0，-3)代入解析式中，
可得，，
解得，，
∴直线A C2的解析式为：，
令，得，
故存在，使得PA＋PC的值最小．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系，图形的旋转及对称性质，熟练掌握图形的旋转及对称变换是解题的关键．
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