第四章 因式分解 随堂练习 北师大版数学八年级下册（含解析）

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第四章因式分解
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知多项式，把它加上下列单项式后不可以用完全平方公式进行因式分解的是（ ）
A．x B．-x C． D．
2．若为任意整数，则的值总能（ ）
A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除
3．小南是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：，，3，，a，分别对应下列六个字：中，爱，我，数，学，一，现将分解因式，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．我爱学 B．爱一中 C．我爱一中 D．一中数学
4．下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
5．下列各式用提取公因式法分解因式正确的是(　　)
A．a2b＋7ab－b＝b(a2＋7a)
B．3x2y－3xy＋6y＝3y(x2－x＋2)
C．4x4－2x3y＝x3(4x－2y)
D．－2a2＋4ab－6ac＝－2a(a－2b－3c)
6．（ 2017广东省九年级初中学业考试） 分解因式（2x+3）2﹣x2的结果是（　　）
A．3（x2+4x+3） B．3（x2+2x+3） C．（3x+3）（x+3） D．3（x+1）（x+3）
7．已知，则化简的结果为（　　）
A． B． C． D．
8．甲、乙两农户各有两块地，如图所示，今年，这两个农户决定共同投资搞饲养业．为此，他们准备将这4块土地换成一块地，那块地的宽为（a+b）米，为了使所换土地的面积与原来4块地的总面积相等，交换之后的土地的长应该是（　　）米．
A．a+b
B．b+c
C．a+c
D．a+b+c
9．多项式（3a+2b）2-（a-b）2分解因式的结果是
A．（4a+b）（2a+b） B．（4a+b）（2a+3b）
C．（2a+3b）2 D．（2a+b）2
10．下列分解因式正确的是( )
A．-ma-m=-m(a-1) B．a2-1=(a-1)2 C．a2-6a+9=(a-3)2 D．a2+3a+9=(a+3)2
11．已知，那么的值为
A． B．9 C．1 D．2
12．对于①，②，从左到右的变形，表述正确的是（ ）
A．都是因式分解 B．都是乘法运算
C．①是因式分解，②是乘法运算 D．①是乘法运算，②是因式分解
二、填空题
13．若x2﹣mx﹣12＝（x+3）（x+n），则mn＝ ．
14．若实数a，b满足，则代数式的值为 ．
15．因式分解： ．
16．计算： ．
17．因式分解 ．
三、解答题
18．把下列各式分解因式：
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
（7）15 （8）6x(x+y)-4y(x+y)
（9） （10）
19．已知是整数，能被3整除，求证：和都能被3整除．(用反证法证明)
20．计算：
(1)
(2)因式分解；；
21．（1）已知的三边长，，满足，试判断的形状．
（2）已知，，是的三边长，且满足，求的取值范围．
22．因式分解：
(1)﹣3ax2+6axy﹣3ay2；
(2)3m4﹣48．
23．阅读材料：利用完全平方公式可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，利用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．
例如：．
根据以上材料，解答下列问题：
(1)分解因式（利用配方法）：；
(2)求多项式的最小值；
(3)比较与的大小，并说明理由．
24．分解因式：
(1)a2b﹣2ab2+b3．
(2)（x2+9）2﹣36x2．
《第四章因式分解》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B C A B D A C B C
题号 11 12
答案 B C
1．D
【分析】根据完全平方公式即可一一判定．
【详解】解：A、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题；
D、不能用完全平方式进行因式分解，故D符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查了利用完全平方公式进行因式分解，熟练掌握和运用利用完全平方公式进行因式分解是解决本题的关键．
2．B
【详解】，为任意整数，的值总能被3整除.
3．C
【分析】根据提公因式和平方差公式分解因式即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴这几个字分别为：中，爱，我，一，即我爱一中．
故选C．
【点睛】本题考查因式分解．掌握综合提公因式和公式法分解因式是解题关键．
4．A
【分析】根据因式分解的定义“将几个多项式的和的性质变成几个因式积的形式”，由此即可求解．
【详解】解：、，是因式分解，符合题意；
、，不是因式分解，不符合题意；
、，不是因式分解，不符合题意；
、，不是因式分解，不符合题意；
故选：．
【点睛】本题主要考查因式分解概念的理解，掌握其概念是解题的关键．
5．B
【分析】此题通过提取公因式可对选项进行一一分析，排除错误的答案．
【详解】A. a2b＋7ab－b＝b(a2＋7a-1)，故本选项错误.
B. 3x2y－3xy＋6y＝3y(x2－x＋2)，故本选项正确.
C. 4x4－2x3y＝2x3(2x－y)，故本选项错误.
D. －2a2＋4ab－6ac＝－2a(a－2b+3c) 故本选项错误.
故答案选：B.
【点睛】本题考查的知识点是因式分解-提公因式法，解题的关键是熟练的掌握因式分解-提公因式法.
6．D
【详解】试题解析：（2x+3）2﹣x2
=（2x+3﹣x）（2x+3+x）
=（x+3）（3x+3）
=3（x+3）（x+1）．
故选D．
7．A
【分析】本题考查二次根式的性质与化简，根据绝对值的性质得，即，所以，，再根据二次根式的性质化简即可．掌握二次根式的性质及绝对值的意义是解题的关键．也考查了完全平方公式的应用．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，，
∴
．
故选：A．
8．C
【分析】首先计算原来4块地的总面积，再进一步因式分解，出现a＋b的因式．
【详解】解：原来四块地的总面积是a2＋bc＋ac＋ab＝a（a＋c）＋b（a＋c）＝（a＋c）（a＋b），
则交换之后的土地长是（a＋c）米．
故选C．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，解决此题的关键是能够熟练运用分组分解法进行因式分解．
9．B
【分析】由题意可得，可将看成一个整体，再运用平方差公式求解，经过化简即可求出
【详解】解：（3a+2b）2-（a-b）2
=[(3a+2b)+( a-b)][( 3a+2b)-( a-b)]
=（4a+b）（2a+3b）
故选B
考点：平方差公式的应用
10．C
【分析】利用提取公因式或者公式法即可求出答案．
【详解】A.原式= m(a+1)，故A错误；
B.原式=(a+1)(a 1)，故B错误；
C.原式=(a 3)2，故C正确；
D.该多项式不能因式分解，故D错误，
故选:C
【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握提取公因式法和公式法是解题的关键.分解一定要彻底.
11．B
【分析】把已知式子进行因式分解求出x，y，代入求职即可；
【详解】，
，
，
．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，准确代入计算是解题的关键．
12．C
【分析】此题考查了因式分解．解题的关键是掌握因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．
根据因式分解的定义判断即可．
【详解】解：①，从左到右的变形是因式分解；
，从左到右的变形是整式的乘法，不是因式分解；
所以①是因式分解，②是乘法运算．
故选：C．
13．-4
【分析】利用十字相乘的方法得当3n＝﹣12，3+n＝﹣m．
【详解】解：∵x2﹣mx﹣12＝（x+3）（x+n），
∴3n＝﹣12，3+n＝﹣m．
∴n＝﹣4，m＝1．
∴mn＝﹣4×1＝﹣4
故答案是：﹣4
【点睛】本题考查了十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程．
14．6．
【分析】将所求代数式中的因式分解，再把代入，化简即可．
【详解】解：，
把代入得，
再把代入得；
故答案为：6．
【点睛】本题考查了求代数式的值和因式分解以及整式计算，解题关键是熟练利用因式分解把所求代数式变形，然后整体代入求值．
15．
【分析】本题考查了因式分解，运用完全平方公式进行因式分解，即可作答．
【详解】解：依题意，
故答案为：
16．-31.4
【分析】运用提公因式法计算即可
【详解】解：
故答案为：-31.4
【点睛】本题考查了提公因式法进行简便运算，熟练掌握法则是解决此题的关键
17．
【分析】先提公因式，然后利用完全平方公式继续分解即可
【详解】解：
．
故答案为：．
【点睛】本题考查提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．灵活运用因式分解的方法是解题的关键．
18．(1)3xy(x-2); (2); (3); (4);
(5); (6);(7) ;
(8)2(x+y)(3x-2y); (9); (10).
【详解】试题分析：都利用提公因式法分解因式即可.
试题解析：
(1)原式=3xy(x-2);
(2)原式=;
(3)原式=;
(4);
(5)原式=;
(6)原式=;
(7)原式= ;
(8)原式=2(x+y)(3x-2y);
(9)原式=;
(10)原式=.
19．见解析
【详解】证明：如果不都能被3整除，那么有如下两种情况：
（1）两数中恰有一个能被3整除，
不妨设能被3整除，不能被3整除，
令（都是整数），
于是，
不能被3整除，与已知矛盾.
（2）两数都不能被3整除，令（都是整数），则
，
不能被3整除，与已知矛盾.
由此可知，都是3的倍数．
20．(1)
(2)
【分析】（1）根据整数指数幂、负整数指数幂、零指数幂的运算法则，计算即可；
（2）先根据平方差公式分解因式，再提取公因式即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【点睛】本题主要考查整数指数幂、负整数指数幂、零指数幂的运算法则，提公因式以及公式法分解因式，掌握相关法则是解题的关键．
21．（1）是等边三角形；（2）
【分析】本题考查利用完全平方公式分解因式，非负数的性质，三角形三边的关系等知识．
（1）首先将其化成两个平方形式与绝对值形式的和，然后根据非负数的性质求出，，的值，最后进行判断；
（2）根据题意，首先求出和的值，然后根据三角形三边关系求的取值范围．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形；
（2）∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴．
22．(1)
(2)
【分析】（1）先提公因式，然后利用完全平方公式分解即可；
（2）先提公因式，然后利用平方差公式分解即可．
【详解】（1）解：﹣3ax2+6axy﹣3ay2
＝﹣3a（x2﹣2xy+y2）
＝；
（2）解：3m4﹣48
＝3（m4﹣16）
＝
＝．
【点睛】本题考查因式分解，用到了提公因式法与公式法，解题的关键是注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
23．(1)；
(2)多项式的最小值为；
(3)，理由见解析．
【分析】（1）根据题意，先利用完全平方公式进行配方，再利用平方差公式进行因式分解即可得到答案；
（2）利用完全平方公式进行配方，根据平方的非负性即可得出答案；
（3）先将两个多项式相减，再利用平方的非负性即可得到答案．
【详解】（1）解： ；
（2）解：
，
，
当时，即时，多项式有最小值，
多项式的最小值为；
（3）解：，理由如下：
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了完全平方公式，平方差公式，平方的非负性，熟练掌握两个公式及其特点是解题关键．
24．(1)b（a b）2
(2)
【分析】（1）先提公因式b，再利用完全平方公式解答；
（2）由整体思想，先利用平方差公式，再运用完全平方公式解答．
【详解】（1）解：a2b﹣2ab2+b3
=b(a2-2ab+b2)
= b (a-b)2
（2）（x2+9）2﹣36x2
=（x2+9+6x）（x2+9-6x）
=．
【点睛】本题考查因式分解，涉及提公因式、平方差、完全平方公式、整体思想等知识，掌握相关知识是解题关键．
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