第六章平行四边形随堂练习 北师大版数学八年级下册（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
第六章平行四边形
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．正n边形的每一个外角都不大于，则满足条件的多边形边数最少为（ ）
A．七边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形
2．点A、B、C是平面内不在同一条直线上的三点，点D是平面内任意一点，若A、B、C、D四点恰能构成一个平行四边形，则在平面内符合这样条件的点D有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图，在ABC中，AB＝10，BC＝16，点D、E分别是边AB、AC的中点，点F是线段DE上的一点，连接AF、BF，若∠AFB＝90°，则线段EF的长为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．如图，在中，的平分线交于点E，的平分线交于点F，若，则的长为是（ ）

A．1 B．2 C．2.5 D．3
5．在Rt△ABC中，∠B＝90°，D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点，AB＝6，BC＝8，则四边形AEDF的周长是（ ）
A．18 B．16 C．14 D．12
6．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BD相交于点O．下列条件：①AD∥BC，②AB＝CD，③AD＝BC，④∠ADC＝∠ABC，⑤BO＝DO，⑥∠DBA＝∠CAB．若添加其中一个，可得到该四边形是平行四边形，则添加的条件可以是（　　）
A．①②③⑤ B．①②④⑤ C．①②④⑥ D．①③④⑥
7．如图，在平行四边形中，，，，是边的中点，是线段上的动点，将沿所在直线折叠得到，连接，则的最小值是（ ）
A． B．6 C．4 D．
8．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，若D，E是边AB上的两个动点，F是边AC上的一个动点，DE＝，则CD+EF的最小值为( )
A．﹣ B．3﹣ C．1+ D．3
9．下列多边形中，内角和最大的是（ ）
A． B． C． D．
10．一个多边形最少可分割成五个三角形，则它是（ 　）边形
A．8 B．7 C．6 D．5
11．如图，如果AD∥BC，AD=BC，AC与BD相交于O点，则图中的全等三角形一共有（　　）
A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
12．如图，四边形是平行四边形，点E，B，D，F在同一条直线上，请添加一个条件使得，下列不正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．如图，在平行四边形ABCD中，将△ABC沿着AC所在的直线折叠得到，交AD于点E，连接，若，，，则的长是 ．
14．一个多边形，除了一个内角外，其余各角的和为，则内角和是 ．
15．如图，在中，CD＝2，∠B＝60°，BE∶EC＝2∶1，依据尺规作图的痕迹，则的面积为 ．
16．如图，D是的边的中点，平分于点E，且，，则的长度为 ．
17．如图，△ABC中，AB=10，AC=7，AD是角平分线，CM⊥AD于M，且N是BC的中点，则MN= ．
三、解答题
18．如图，已知BE∥DF，∠ADF=∠CBE，AF=CE，求证：四边形DEBF是平行四边形．
19．如图所示，点在四边形的边上，连接，并延长交的延长线于点，已知，．
(1)求证：；
(2)若，求证：四边形为平行四边形．
20．如图，在四边形ABCD中，点H是BC的中点，作射线AH，在线段AH及其延长线上分别取点E,F，连接BE，CF.
（1）如图1，请你添加一个条件_____________，使得△BEH≌△CFH：
（2）如图2，在（1）的条件下，当BH与EH满足什么关系时，四边形BFCE是矩形，并给出证明.
21．一张长方形的桌面，减去一个角后，求剩下的部分的多边形的内角和．
22．如图，是等边三角形，是射线上的一个动点（点不与，重合），是以为边的等边三角形，过点作的平行线交射线于点，连接．
(1)如图1，点在线段上时，求证：；
(2)请判断图1中四边形的形状，并说明理由；
(3)若点在边的延长线上，如图2，其它条件不变，请问（2）中结论还成立吗？如果成立，请说明理由．
23．在日常生活中观察各种建筑物的地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案，也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠（在几何里叫做镶嵌），这显然与正多边形的内角大小有关，当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角时，就拼成了一个平面图形．
（1）请根据下列图形填写表中空格：
正多边形的边数 3 4 5 6 …
正多边形的每个内角的度数 …
（2）如果限于用一种正多边形镶嵌，那么哪几种多边形能镶嵌成一个平面图形？
（3）从正三角形、正四边形、正六边形中选一种，再在其他正多边形中选一种，使这两种不同的正多边形能铺满地面成一个平面图形？说明你的理由．
24．△ACB和△DCE是共顶点C的两个大小不一样的等边三角形．
(1)问题发现：
如图1，若点A，D，E在同一直线上，连接AE，BE．
①求证：△ACD≌△BCE；
②求∠AEB的度数．
(2)类比探究：如图2，点B、D、E在同一直线上，连接AE，AD，BE，CM为△DCE中DE边上的高，请求∠ADB的度数及线段DB，AD，DM之间的数量关系，并说明理由．
(3)拓展延伸：如图3，若设AD（或其延长线）与BE的所夹锐角为α，则你认为α为多少度，并证明．
《第六章平行四边形》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C B A B B D B D B
题号 11 12
答案 B A
1．C
【分析】根据正多边形的外角和等于360°，列不等式即可解答．
【详解】解：由正n边形的每一个外角都不大于，可得：
∴，解得：，
满足条件的多边形边数最少为9．
故选C．
【点睛】本题考查了利用外角求正多边形的边数的方法，解题的关键是掌握任意多边形的外角和都等于360度．
2．C
【详解】试题分析：由题意画出图形，在一个平面内，不在同一条直线上的三点，与D点恰能构成一个平行四边形，符合这样条件的点D有3个．
故选C．
考点：平行四边形的判定
3．B
【分析】根据直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半，得到DF=5，由三角形中位线的性质得到DE=8，最后由线段的和差解题即可．
【详解】解：∵∠AFB=90°，点D是AB的中点，
∴DF= AB=5，
∵BC= 16，D、E分别是AB，AC的中点，
∴DE=BC=8，
∴EF=DE-DF=3，
故选：B．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质和中位线性质，掌握定理是解题的关键．
4．A
【分析】由的平分线交于点F，可得，由，可得，，则，，，根据，计算求解即可．
【详解】解：∵的平分线交于点F，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了角平分线，平行四边形的性质，等角对等边等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
5．B
【解析】略
6．B
【分析】根据平行四边形的判定方法分别对各个条件分别进行判定，即可得出结论．
【详解】解：①∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故①正确；
②∵AB∥CD，AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故②正确；
③∵AB∥CD，AD=BC无法得出四边形ABCD是平行四边形，故③不正确；
④∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∵∠ADC=∠ABC，
∴∠ADC+∠BCD=180°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故④正确；
⑤∵AB∥CD，
∴∠ABO=∠CDO，
在△AOB和△COD中，
，
∴△AOB≌△COD（ASA），
∴AO=CO，
又∵OB=OD，
∴四边形ABCD为平行四边形，故⑤正确；
∵∠BCD+∠ADC=180°，
∴AD∥BC，
又∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项C不符合题意；
⑥∵∠DBA=∠CAB，
∴OA=OB，
∵AB∥CD，
∴∠DBA=∠CDB，∠CAB=∠ACD，
∵∠DBA=∠CAB，
∴∠CDB=∠ACD，
∴OC=OD，
不能得出四边形ABCD是平行四边形，故⑥不正确；
故选：B．
【点睛】此题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识；常用的平行四边形的判定方法有：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．
7．D
【分析】点的运动轨迹以E为圆心，以AE的长为半径的圆，则当点落在DE上时，取最小值，根据折叠的性质利用勾股定理即可求解．
【详解】解：点的运动轨迹以E为圆心，以AE的长为半径的圆，则当点落在DE上时，取最小值，如图所示：
∵AB=4，E是AB边的中点，
∴AE=BE=2，
由沿所在直线折叠得到，
∴，
在平行四边形ABCD中，
∵∠B=60°，
∴∠BEG=∠AEH=30°，
∴BG=AH=1，
，
∴DH=AD=AH=6+1=7，
在Rt△DHE中，由勾股定理得：
，
∴，
∴的最小值是，
故选：D．
【点睛】本题考查了折叠的性质，平行四边形的性质，两点之间线段最短的综合应用，勾股定理，含30°角的直角三角形，确定点的位置，利用勾股定理解决问题是解题的关键．
8．B
【分析】首先是含有角的直角三角形，因此可以得知各边的长分别为，．因为，是边上的两个动点，是边上的一个动点，求的最小值，就是需要转换成同一直线上求解，即求关于的对称点，作．构建平行四边形，作于，交于．利用平行四边形和对称图形的性质，找出线段之间的关系．
【详解】解：如图，过C作AB的对称点C1，连接CC1，交AB于N；过C1作C1C2∥AB，且C1C2＝，过C2作C2F⊥AC于F，交AB于E，C2F的长度即为所求最小值，
∵C1C2∥DE，C1C2＝DE，
∴四边形C1DEC2是平行四边形，
∴C1D＝C2E，
又∵CC1关于AB对称，
∴CD＝C1D，
∴CD+EF＝C2F，
∵∠A＝30°，∠ACB＝90°，
∴AC＝BC＝2，
∴CN＝，AN＝3，
过C2作C2M⊥AB，则C2M＝C1N＝CN＝，
∴C2M∥C1N，C1C2∥MN，
∴MN＝C1C2＝，
∵∠MEC2＝∠AEF，∠AFE＝∠C2ME＝90°，
∴∠MC2E＝∠A＝30°，
在Rt△C2ME中，ME＝，C2M＝1，C2E＝2，
∴AE＝AN﹣MN﹣ME＝3﹣﹣1＝2﹣，
∴EF，
∴C2F．
故选：B．
【点睛】本题主要考查动点构成的线段中最小值问题，转换成三点共线，并在垂直的时候最小，找到对称点，构建最短路径是解题的关键．
9．D
【分析】根据多边形内角和公式可直接进行排除选项．
【详解】解：A、是一个三角形，其内角和为180°；
B、是一个四边形，其内角和为360°；
C、是一个五边形，其内角和为540°；
D、是一个六边形，其内角和为720°；
∴内角和最大的是六边形；
故选D．
【点睛】本题主要考查多边形内角和，熟练掌握多边形内角和公式是解题的关键．
10．B
【分析】从n边形的一个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，形成的三角形个数为，据此求解即可．
【详解】∵一个多边形最少可分割成五个三角形，
∴这个多边形的边数为，
那么它是七边形．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了多边形的性质，从n边形的一个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，形成的三角形个数为．
11．B
【详解】图中的全等三角形共4对，≌，≌，≌，
≌，
理由是：
∵AD∥BC，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，
在△ABD和△CDB中，
AB=CD，AD=BC，BD=BD，
∴≌，
同理 ≌，
∵AD∥BC，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵∠AOB=∠COD，
∴△AOB≌△COD，
同理△AOD≌△COB，
故选：B.
12．A
【分析】根据平行四边形的性质结合全等三角形的判定，逐项进行判断即可.
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABD=∠BDC，
∵∠ABE+∠ABD=∠BDC+∠CDF，
∴∠ABE=∠CDF，
A.若添加，则无法证明，故A错误；
B.若添加，运用AAS可以证明，故选项B正确；
C.若添加，运用ASA可以证明，故选项C正确；
D.若添加，运用SAS可以证明，故选项D正确．
故选：A．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
13．
【分析】根据平行四边形的性质得ADBC，ABCD，可证出∠CAE=45°，∠ADC=60°，根据翻折可得∠ACB′=∠ACB=45°，∠AB′C=∠B=60°，进而可得∠AEC=90°，从而可得AE=CE=3，再根据含30°角的直角三角形的性质求出B′E=DE=，根据勾股定理即可得B′D的长．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ADBC，ABCD，∠ADC=60°，
∴∠CAE=∠ACB=45°，
∵将△ABC沿AC翻折至△AB′C，
∴∠ACB′=∠ACB=45°，∠AB′C=∠B=60°，
∴∠AEC=180°-∠CAE-∠ACB′=90°，
∴AE=CE=AC=×6=3，
∵∠AEC=90°，∠AB′C=60°，∠ADC=60°，
∴∠B′AD=30°，∠DCE=30°，
∴B′E=AE=×3=，DE=CE=×3=，
∴B′D=．
故答案为：．
【点睛】本题考查平行四边形中的翻折问题，解题的关键是掌握翻折的性质，能熟练应用含30°，45°角的直角三角形三边关系．
14．
【分析】设这个多边形是n边形，剩余的内角度数为x，根据题意得
变形 为，由n是正整数，求出x的值即可得到答案．
【详解】设这个多边形是n边形，剩余的内角度数为x，由题意得
∴，
∵n是正整数，，
∴x=，
∴这个多边形的内角和为，
故答案为：．
【点睛】此题考查多边形的内角和公式，多边形内角大于0度小于180度的性质，熟记多边形的内角和公式是解题的关键．
15．
【分析】分析作图痕迹，可知△ABE是等边三角形，从而可求其面积，继而求得△ABC的面积，再分析求得平行四边形的面积．
【详解】过点A作AF⊥BC，垂足为点F，连接AC，
由题意知：△ABE是等边三角形，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝2，
∵∠B＝60°，
∴在Rt△ABF中，BF=1，AF==，
△ABE的面积为：，
∵BE∶EC＝2∶1
∴△ABC与△ABE的底之比为3：2，而它们等高，
∴△ABC的面积为：，
∴平行四边形ABCD的面积为：．
【点睛】考查垂直平分线的性质、等边三角形的判定、勾股定理、平行四边形的性质等，比较综合，但难度不大．
16．3
【分析】本题考查三角形中位线定理；等腰三角形的判定与性质．
延长交于点F．通过证明，根据全等三角形的性质得到，进一步得到，再根据三角形中位线定理即可求解．
【详解】解：延长交于点F．
∵平分，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
又∵D是中点，
∴，
∴是的中位线，
∴．
故答案为3．
17．1.5
【分析】延长CM交AB于E，根据ASA证△EAM≌△CAM，推出CM=ME，AE=AC=7，根据三角形的中位线定理求出MN=BE，代入求出即可．
【详解】解：延长CM交AB于E，
∵AM⊥CM，AD是∠BAC的角平分线，
∴∠AME=∠AMC=90°，∠EAM=∠CAM，
∵在△EAM和△CAM中
∴△EAM≌△CAM（ASA），
∴CM=ME，AE=AC=7，
∵N是BC的中点，
∴MN=BE=（AB-AE）=×（10-7）=1.5．
故答案为：1.5．
【点睛】本题主要考查对三角形的中位线定理，全等三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能求出MN是三角形CEB的中位线是解此题的关键．
18．证明见解析
【分析】首先根据平行线的性质可得∠BEC=∠DFA，再加上条件∠ADF=∠CBE，AF=CE，可证明△ADF≌△CBE，再根据全等三角形的性质可得BE=DF，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进行判定即可.
【详解】证明：∵BE∥DF，∴∠BEC=∠DFA
∵在△ADF和△CBE中，，
∴△ADF≌△CBE（AAS）
∴BE=DF，
又∵BE∥DF，
∴四边形DEBF是平行四边形
【点睛】本题考查平行四边形的判定.
19．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）利用SAS可以直接证明；
（2）由可得，由内错角相等，两直线平行，得出，结合已知条件即可证明四边形为平行四边形．
【详解】（1）证明：∵与是对顶角，
∴，
在与中，
，
∴
（2）证明：由（1）知，
∴，
∴，
∵点在的延长线上，
∴，
又∵，
∴四边形为平行四边形．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，平行线的判定和平行四边形的判定，难度较小，熟练掌握全等三角形、平行线及平行四边形的判定方法是解题的关键．
20．（1）BE∥CF(2)见解析
【分析】（1）根据全等三角形的判定方法，可得出当EH=FH，BE∥CF，∠EBH=∠FCH时，都可以证明△BEH≌△CFH；
（2）由（1）可得出四边形BFCE是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形为矩形可得出BH=EH时，四边形BFCE是矩形．
【详解】解：（1）添加：BE∥CF，
∵BE//CF，
∴∠BEH=∠F，
又∵∠BHE=∠CHF，BH=CH，
∴△BEH≌△CFH（ASA）；
（2）BH=EH时，四边形BFCE是矩形，证明如下：
∵△BEH≌△CFH，
∴BE=CF，
∵BE∥CF，
∴四边形BECF为平行四边形，
∵△BEH≌△CFH，
∴BH=CH，EH=FH，
∵BH=EH，
∴BH=CH=EH=FH，
∴BC=EF，
∴四边形BFCE是矩形.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质以及平行四边形的判定，是基础题，难度不大．
21．180°或360°或540°
【详解】试题分析：长方形木板据掉一个角以后可能是：三角形或四边形或五边形，根据多边形的内角和定理即可解决．
试题解析：解：长方形木板据掉一个角以后可能是：三角形或四边形或五边形，因而剩下的多边形的内角和是180°或360°或540°．
点睛：正确理解一个长方形据掉一个角以后得到的多边形的形状是解决本题的关键．
22．(1)见解析
(2)四边形是平行四边形，见解析
(3)成立，理由见解析
【分析】（1）根据等边三角形的性质可得AB=AC，AF=AD，∠BAC=∠FAD=60°，然后求出∠BAF=∠CAD，再利用“边角边”证明△AFB和△ADC全等；
（2）四边形BCEF是平行四边形，因为△AFB≌△ADC，所以可得∠ABF=∠C=60°，进而证明∠ABF=∠BAC，则可得到FB∥EC，又EF∥BC，所以四边形BCEF是平行四边形；
（3）根据（1）的思路可得△AFB≌△ADC；根据“SAS”可得△AFB≌△ADC；可得CD=BF，∠ABF=∠ACD=120°，根据平行线判应可得BF∥AE，根据平行四边形的判应可得四边形BCEF是平行因边形．
【详解】（1）证明：∵和都是等边三角形，
∴，，．
又∵，，
∴，
在和中，
∴．
（2）解：由（1）得，
∴．
又∵，
∴，
∴．
又∵，
∴四边形是平行四边形．
（3）解：成立，理由如下：
∵和都是等边三角形，
∴，，．
又∵，，
∴，
在和中，
∴，
∴．
又∵，，
∴，
∴，
∴．
又∵，
∴四边形是平行四边形．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形判定和性质，等边三角形的性质，平行四边形的判定，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键．
23．（1）60°；90°；108°；120°；；（2）正三角形、正四边形，正六边形能够铺满地面，（3）正八边形和正四边形；正三角形和正十二边形．理由见解析．
【分析】（1）根据正多边形的性质、多边形的内角和即可求解；
（2）根据正多边形的几个内角加在一起能否等于360°即可得；
（4）选正方形和正八边形；然后根据“几个正多边形的内角加在一起恰好组成一个周角”列出方程，根据其整数解的个数即可得出答案．
【详解】解：（1）当正多边形的边数为3时，正三角形每个内角的度数为=60°，
当正多边形的边数为4时，正四边形每个内角的度数为=90°，
当正多边形的边数为5时，正五边形每个内角的度数为=108°，
当正多边形的边数为6时，正六边形每个内角的度数为=120°，
当正多边形的边数为n时，正n边形每个内角的度数为，
故答案为：60°；90°；108°；120°；；
（2）正三角形、正四边形，正六边形能够铺满地面，正三角形:6×60°＝360°；
正四边形:4×90°＝360°；六边形:3×120°＝360°．
（3）计算出另外几个正多边形的每个内角，
七边形:
八边形:
九边形:
十边形:
十二边形:
∴可以选择:正八边形和正四边形；正三角形和正十二边形．
【点睛】本题考查了正多边形的内角和及应用，较难的是题（3），读懂新定义，正确列出方程是解题关键．
24．(1)①见解析；②∠AEB=60°；
(2)∠ADB=60°，2DM+BD=AD，理由见解析；
(3)α=60°，证明见解析
【分析】（1）①由△ACB和△DCE是等边三角形知AC=BC，CD=CE，∠ACD=60°-∠DCB=∠BCE，据此即可得证；
②由△ACD≌△BCE知∠ADC=∠BEC=120°，结合∠CED=60°可得∠AEB=60°；
（2）证△ACD≌△BCE得∠CDA=∠CED=60°，由∠ADB+∠CDA=∠DCE+∠CED知∠ADB=60°，根据CM⊥BE，且△CDE为等边三角形可得DE=2DM，DE+BD=BE=AD；
（3）同理知△ACD≌△BCE，据此得∠BEC=∠ADC，继而知∠CDF+∠CEF=180°，即∠ECD+∠DFE=180°，从而得出答案．
【详解】（1）①证明：∵△ACB和△DCE是等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACD=60°-∠DCB=∠BCE，
∴△ACD≌△BCE（SAS）；
②∵△ACD≌△BCE，
∴∠ADC=∠BEC=180°-∠CDE=120°，
又∵∠CED=60°，
∴∠AEB=60°；
（2）解：∠ADB=60°，2DM +BD=AD，理由如下；
∵AC=BC，CD=CE，∠ACD=60°+∠DCB=∠BCE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠CDA=∠CED=60°；
∵∠ADB+∠CDA=∠DCE+∠CED，
∴∠ADB=60°；
又∵CM⊥BE，且△CDE为等边三角形，
∴DE=2DM，
∴2DM +BD=BE=AD；
（3）解：α=60°，理由如下：
同理可证△ACD≌△BCE，
∴∠BEC=∠ADC，
∴∠CDF+∠CEF=180°，
∴∠ECD+∠DFE=180°，而α+∠DFE=180°，
∴α=∠ECD=60°．
【点睛】本题是三角形的综合问题，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质等知识点．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)