第五章分式与分式方程随堂练习 北师大版数学八年级下册（含解析）

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第五章分式与分式方程
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
2．已知，则的值是（ ）
A． B． C． D．
3．若分式的值为0，则的值是（ ）
A．0 B．6 C． D．
4．当时，对于分式的说法正确的是（ ）
A．分式的值为 B．分式的值为 C．分式无意义 D．分式有意义
5．要使分式有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．化简的结果为（ ）
A．1 B． C． D．2
7．把分式中的和的值都扩大为原来的2022倍，那么该分式的值（　　）
A．扩大为原来的2022倍 B．扩大为原来的4044倍
C．不变 D．缩小为原来的
8．公式，，的最简公分母为（ ）
A． B． C． D．
9．分式的最简公分母是（ ）
A． B． C． D．
10．化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
11．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
12．为了弘扬雷锋精神，某中学准备在校园内建造一座高2m的雷锋人体雕像，向全体师生征集设计方案，小兵同学查阅了有关资料，了解到黄金分割数常用于人体雕像的设计中，小兵同学根据黄金分割数设计了雷锋人体雕像的方案，其中雷锋人体雕像下部的设计高度（精确到0.01m）是（参考数据：，，）（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
13．要使分式有意义，则x应满足的条件是 ．
14．分式的值恒为正，则x的取值范围是 ．
15．已知，，则 ．
16．若最简二次根式能与合并，则使有意义的条件为 ．
17．对于正数x，规定f（x）＝，例如：f（3）＝，f（），计算：f（）+ f（）+ f（）+ …f（）+ f（）+ f（1）+ f（1）+ f（2）+ f（3）+ … + f（2004）+ f（2005）+ f（2006）＝ ．
三、解答题
18．求下列各式的最简公分母，并通分．
(1)，，；
(2)，，．
19．解下列方程：
(1)；
(2)．
20．解方程：
(1)；
(2)．
21．已知的解为正数，求m的取值范围.
关于这道题，有位同学作出如下解答：
解：去分母得，，化简，得，故 .
欲使方程的根为正数，必须 ，得m<6.
所以，当m<6时，方程 的解是正数.
上述解法是否有误？若有错误请说明错误的原因，并写出正确解答.
22．用A、B两种机器人搬运大米，A型机器人比B型机器人每小时多搬运20袋大米，A型机器人搬运700袋大米与B型机器人搬运500袋大米所用时间相等．求A、B型机器人每小时分别搬运多少袋大米．
23．先化简，再求值：
．其中．
24．已知分式：及一组数据﹣1，0，1．请先将已知分式化简，再从已知数据中选取一个合适的数代入a并求值．
《第五章分式与分式方程》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C B C A D C B D A
题号 11 12
答案 C C
1．A
【分析】同分母分式相减，再化简即可得出答案．
【详解】解：，
=，
=，
=，
=x-1．
故选：A．
【点睛】本题考查了同分母分式的加减和分式的化简以及对完全平方公式的运用，解题关键是掌握分式的运算及化简过程．
2．C
【分析】对进行等价变形得到，再整体代入待求的代数式中计算即可．
【详解】解：∵，
∴．
∴．
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，正确进行变形是解题关键．
3．B
【分析】本题考查了分式值为零的条件，掌握分子等于零且分母不等于零是解题的关键．根据分式值为零的条件可得：，且，解答即可．
【详解】解：分式的值为0
，且
时，原分式值为0
故选：B．
4．C
【分析】由题意，当时，分式的分母，根据分式有意义的条件即可解答．
【详解】解：由题意，当时，分式的分母，
分式无意义，
故选：．
【点睛】本题主要考查了分式的值，分式有意义的条件，分式的值为零的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解答本题的关键．
5．A
【分析】分式有意义时，分母，据此求的取值范围即可．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
故选：A．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不等于零；分式无意义的条件是分母等于零．
6．D
【分析】先对式子的分子和分母因式分解，再将括号里的除号变为乘号运算，最后同样进行除法运算化简即可．
【详解】解：原式
．
故选：D．
【点睛】本题主要考查分式的化简运算，属于基础题，注意计算的细节即可，熟练掌握运算法则是解题的关键．
7．C
【分析】本题考查分式的基本性质，根据分式的基本性质即可求出答案．
【详解】解：当与的值都扩大为原来的2022倍时，
分子变为，分子的值扩大为原来的2022倍，
分母变为，分母的值也扩大为原来的2022倍，
此时分式变为，
约去公因数2022得，
即分式的值不变，
故选：C．
8．B
【分析】根据确定最简公分母的方法是：
（1）取各分母系数的最小公倍数；
（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；
（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母，解答即可．
【详解】可以化为，
∴分式、、的最简公分母是（x﹣1）3．
故选B．
【点睛】本题考查了最简公分母的确定．掌握确定最简公分母的方法是解题的关键．
9．D
【分析】本题考查了最简公分母的定义，熟练掌握最简公分母的定义是解答本题的关键．确定最简公分母的方法是：①取各分母系数的最小公倍数；②凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；③同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．
【详解】解：分式的最简公分母是．
故选D．
10．A
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．
【详解】原式．
故选：A
【点睛】此题考查了分式的混合运算，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式．
11．C
【分析】本题考查分式的乘法，根据分式的乘法法则运算即可．
【详解】解：，
故选：C．
12．C
【分析】如果设雷锋人体雕像下部的设计高度为xm，那么雕像上部的高度为(2-x)m，根据雕像上部与下部的高度之比等于下部与全部的高度比，列出方程，求解即.
【详解】设雷锋人体雕像下部的设计高度为xm，那么雕像上部的高度为（2-x）m，
依题意得:，即x +2x-4=0，
利用求根公式解得：≈1.24,（不合题意，舍去），
经检验，x=1+是原方程的根，
∴雷锋人体雕像下部的设计高度为1.
故选C.
【点睛】本题考查了学生对黄金分割的应用和解分式方程的掌握程度，利用题中的信息找出黄金分割中成比例的对应线段并列出等式是解决问题的关键.
13．且
【分析】根据分式有意义，分母不等于0列式计算即可得解．
【详解】由题意得，(x+1)(x-2)≠0，
解得x≠-1且x≠2，
故答案为x≠-1且x≠2．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，熟知分母不为0时分式有意义是解题的关键.
14．且
【分析】根据分式的值恒为正，可得，，求解即可．
【详解】解：∵分式的值恒为正，
∴，，
解得：且，
故答案为：且．
【点睛】本题考查了分式的值，解题的关键是正确列出不等式，本题属于基础题型．
15．-8
【分析】利用分式的加法的法则对所求的式子进行运算，再代入相应的值求解即可．
【详解】解：原式=
=
=
∵，，
∴原式=
【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
16．
【分析】根据二次根式的性质，合并同类二次根式，算出的值，代入式子，再结合分式的性质，即可求解．
【详解】解：∵，且最简二次根式能与合并，
∴，解得，，把代入得，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查二次根式，分式有意义的综合，掌握二次根式的性质，分式有意义的条件是解题的关键．
17．2006
【分析】首先根据可以得到，分别把，以及表示出来，其余的用表示即可求解．
【详解】∵
∴
原式
故答案是：2006．
【点睛】本题主要考查分式的计算以及分式的代数求值，准确的根据已知条件表示出是求解本题的关键．
18．(1)最简公分母为；通分后为，，
(2)最简公分母为，通分后为，，
【详解】（1）∵，，的最简公分母是
∴通分后为，，
故答案为：最简公分母为；通分后为，，
（2）∵，，
∴，，，最简公分母为，通分后为，，
【点睛】本题考查分式的通分，正确进行因式分解和找到最简公分母是解题的关键
19．(1)
(2)无解
【分析】本题考查了分式方程的解法，注意结果要检验，
（1）先去分母，化为整式方程，再求解；
（2）先去分母方程两边乘，化为整式方程，再求解，结果要检验．
【详解】（1）解：原方程可化为，
去分母，得，
解得，
检验：时，，
故是原方程的解；
（2）解：原方程可化为，
去分母方程两边乘，得，
去括号，得
解得
检验：时，，
故原方程无解．
20．(1)x＝3
(2)原方程无解
【分析】(1)方程两边同时乘以x(x-1)，转化为整式方程求解，注意验根．
（2）变2-y=-(y-2)，方程两边同时乘以(y-2)，转化为整式方程求解，注意验根．
【详解】（1）因为，
去分母，两边同乘以x(x-1)，得
3（x﹣1）=2x，
解得：x=3，
检验：当x=3时，x（x﹣1）≠0，
∴x=3是原方程的根．
（2）因为，
所以，
去分母，两边同乘以(y-2)，得
1=y﹣1﹣3（y﹣2），
解得：y=2，
检验：当y＝2时，y﹣2=0，
∴y=2是原方程的增根，
∴原方程无解．
【点睛】本题考查了分式方程的解法，熟练掌握解分式方程的基本步骤是解题的关键．
21．有错误,理由见解析.
【详解】试题分析：
∵分式方程有解的前提是“未知数的值不能使去分母时，方程两边同乘的最简公分母的值为0”，而这位同学在求m的取值范围时，没有没有考虑x-3≠0，即-m+6-3≠0.
∴他的解法有错.
试题解析：
这位同学的解法有错，理由见试题分析，正确解答如下：
去分母得，，解得：，
∵原分式方程有正数解，
∴ ，解得：m<6且m≠3.
点睛：解这类题时，我们需注意：分式方程有正数解（或负数解）的前提是方程要有解，即待定系数的取值首先不能使去分母时方程两边同乘的“最简公分母”的值为0，然后再考虑未知数的值是正数（或负数）.
22．A型机器人每小时搬大米70袋，则B型机器人每小时搬运50袋．
【分析】设A型机器人每小时搬大米x袋，则B型机器人每小时搬运（x﹣20）袋，由所用时间相等，建立等量关系．
【详解】设A型机器人每小时搬大米x袋，则B型机器人每小时搬运（x﹣20）袋，
依题意得：，
解这个方程得：x=70，
经检验x=70是方程的解，所以x﹣20=50．
答：A型机器人每小时搬大米70袋，则B型机器人每小时搬运50袋．
23．；2
【分析】分式的混合运算，先做除法，然后做减法，能进行因式分解的先进行因式分解，进行化简后将进行变形后整体代入求值．
【详解】解：
=
=
=
∵
∴，即
∴原式=2
【点睛】本题考查了分式的化简求值．掌握运算顺序及法则正确化简计算，结合整体代入思想求值是解题关键．
24．，当时，原式
【分析】先根据分式的混合计算法则化简，然后根据分式有意义的条件确定a的值，最后代值计算即可．
【详解】解：
，
∵分式要有意义，
∴，
∴且且，
∴当时，原式．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，正确计算是解题的关键．
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