6.3三角形的中位线随堂练习 北师大版数学八年级下册（含解析）

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6.3三角形的中位线
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，在中，，，，分别是，的中点，的平分线交于点，则（ ）
A．0.5 B．1 C．2 D．4
2．如图，在中，，是边的中点，是边上一点，连接，．若平分的周长，则的长为（ ）
A． B． C．4 D．
3．如图所示，A，B两点被池塘隔开，A，B，C三点不共线，设的中点分别为点M，N，测得米，可求出A，B两点之间的距为（ ）
A．32米 B．24米 C．20米 D．18米
4．如图，点、、分别是的边、、的中点，连接、、得，如果的周长是，那么的周长是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，在四边形ABCD中，，，且，垂足为O，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形，再顺次连接四边形各边中点，得到四边形…，如此进行下去，得到四边形．下列结论正确的有（ ）
①是△ABD的中位线；②是△ABO的中位线；③四边形是菱形；④四边形的面积是．
A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③④
6．如图，ABC中，AB＝AC＝12，BC＝10，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则CDE的周长为（ ）
A．11 B．17 C．18 D．16
7．如图，在平行四边形ABCD纸片中，∠BAD=45°，AB=10．将纸片折叠，使得点A的对应点A＇落在BC边上，折痕EF交AB、AD、AA＇分别于点E、F、G． 继续折叠纸片，使得点C的对应点C＇落在A＇F上．连接GC＇，则GC＇的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，的中线、交于点O，连接，点G、F分别为、的中点，，，则四边形的周长为( )

A．6 B．7 C．8 D．12
9．如图，在四边形ABCD 中，AB=CD，M，N，P分别AD，BC，BD的中点，若∠MPN=130°，则∠NMP=（ ）
A．25° B．30° C．35° D．50°
10．如图，在△ABC中，点D、E、F分别是边AB，BC，CA上的中点，且AB=6cm，AC=8cm，则四边形ADEF的周长等于（ ）cm
A．12 B．7 C．28 D．14
11．如图，在中，平分交AC于点D，且，F在BC上，E为AF的中点，连接DE，若，，，则AB的长为（ ）
A． B． C． D．9
12．如图，小棒家有一块三角形的空地，测量三边AB=6米，BC=8米，AC=9米，且E、F分别是AB、AC边的中点，小棒妈妈想把四边形BCFE用木栅栏围一圈放养鹌鹑，则需要木栅栏的长是（ ）
A．18.5米 B．19.5米 C．19米 D．20米
二、填空题
13．如图，中，对角线交于点O，E为边的中点，连结，若，则OE= ．
14．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，点E是AD的中点，△BCD的周长为18，则△DEO的周长是 ．
15．如图，在中，D，E，F分别是边，，的中点，则线段是的 ，线段是的 ．

16．如图，在中，点为上一动点，为的中点，若，则点从运动到时，点的运动路径长为 ．
17．如图，△ABC的周长是32，以它的三边中点为顶点组成第2个三角形，再以第2个三角形的三边中点为顶点组成第3个三角形，…，则第n个三角形的周长为 ．
三、解答题
18．如图，点B、E、F、C在一条直线上，AB=DE=10，AC=DF，BE=CF=CE．
（1）求证：AB∥DE；
（2）求EG的长．
19．如图，在中，，D为外一点，使，E为的中点，，求的度数．
20．如图，在△ABC中，BD，CE分别是边AC，AB上的中线，BD与CE相交于点O．BO与OD的长度有什么关系？BC边上的中线是否一定过点O？为什么？（提示：分别作BO，CO的中点M，N，连接ED，EM，MN，ND．）
21．如图，的三边长分别为a，b，c，以它的三边中点为顶点组成一个新三角形，再以这个新三角形三边中点为顶点又组成一个小三角形．求这个小三角形的周长．
22．已知：如图，在等边三角形中，D，E，F分别为各边的中点．求证：四边形是平行四边形．
23．如图，在△ABC中，AB=BC=26cm，∠ABC=84°，BD是∠ABC的平分线，DE∥BC．
(1)求∠EDB的度数；
(2)求DE的长.
24．（1）【问题探究】如图1，已知是的中线，延长至点E，使，连结，可得四边形，求证：四边形是平行四边形．请你完善以下证明过程：
∵是的中线，
∴_______ ______．
，
∴四边形是平行四边形．
（2）【拓展提升】如图2，在的中线上任取一点M（不与点A重合），过点M、点C分别作，，连结．
求证：四边形是平行四边形．
（3）【灵活应用】如图3，在中，，，，点D是的中点，点M是直线上的动点，且，，当取最小值时，求线段的长．

《6.3三角形的中位线》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C A B C B B B A D
题号 11 12
答案 A B
1．B
【分析】本题考查了三角形的中位线和角平分线．熟练掌握三角形中位线的判定和性质，角平分线性质；等腰三角形的判定和性质，是解决问题的关键．
根据中点性质得到，，根据的中位线性质得到，，，得到，根据角平分线定义得到，得到，得到，即得．
【详解】解：，分别是，的中点，
为的中位线，
，，，
．
的平分线交于点，
，
，
，
．
故选：B．
2．C
【分析】延长至，使得，连接，构造等边三角形，根据题意可得是的中位线，即可求解．
【详解】解：如图，延长至，使得，连接，
，
,
又，
是等边三角形，
，
是边的中点，是边上一点，平分的周长，
，，
，
，
，
即，
是的中位线，，
．
故选C．
【点睛】本题考查了三角形中位线的性质与判定，等边三角形的性质，三角形中线的定义，构造等边三角形是解题的关键．
3．A
【分析】本题考查三角形的中位线的应用，根据三角形的中位线性质得到，进而求解即可．
【详解】解：∵的中点分别为点M，N，
∴，
∵米，
∴米，
故选：A．
4．B
【分析】由于D、E分别是AB、BC的中点，则DE是△ABC的中位线，那么DE=AC，同理有EF=AB，DF=BC，于是易求△DEF的周长．
【详解】、分别是的边、的中点，
，
同理，，，
．
故选B．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理．解题的关键是根据中位线定理得出边之间的数量关系．
5．C
【分析】根据题意找出变化后的四边形的边长与四边形ABCD中各边长的长度关系，再逐一对四个选项作出分析与判断：①根据中位线的定义分析解答；②根据中位线的定义分析解答；③根据菱形的判定定理推断；④根据四边形的面积与四边形ABCD的面积间数量关系解答．
【详解】解：是的中点，是AD的中点，
是的中位线，故①正确；
不在的边上（即不是边的中点），
不是的中位线，故②错误；
分别是边AB，AD，BC，CD的中点
四边形是平行四边形，
同理四边形是平行四边形，
四边形是矩形
分别是边的中点
四边形是菱形
同理可得四边形是矩形，四边形是菱形，故③正确；
四边形ABCD中，AC=a，BD=b，且
由三角形的中位线定理可知，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半
即四边形的面积是，故④正确，
综上所述，正确的有①③④
故选：C．
【点睛】本题考查三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边一半是解题关键．
6．B
【分析】根据等腰三角形的性质得到BD=DC，根据三角形中位线定理求出DE，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【详解】解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴，
∵点E为AC的中点，
∴，
∴△CDE的周长=CD+CE+DE=17，
故选：B．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
7．B
【分析】如图，作GH⊥AD，BR⊥AD，，，利用角平分线和中位线的性质求得的长度，根据垂线段最短，即可求解．
【详解】解：如图，作GH⊥AD，BR⊥AD，GP⊥A＇F，A＇Q⊥AD，
∵∠BAD=45°，AB=10
∴为等腰直角三角形，
由题意可得，垂直平分，，
∴，
∴，
在中，，当、两点重合时，
即的最小值为
故选：B．
【点睛】此题考查了轴对称的性质，角平分线的性质，等腰直角三角形的性质，中位线的性质，垂线段最短，解题的关键是作出合适的辅助线，灵活运用相关性质进行求解．
8．B
【分析】利用三角形中位线的性质定理可得：，，从而得解．
【详解】解：∵，是的中线，
∴，
∵是的中点，是的中点，
∴，
∴，
同理，
∴四边形的周长为．
故选B．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理，掌握三角形中位线定理是解题的关键．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．三角形中位线的性质定理，为证明线段相等和平行提供了依据．
9．A
【详解】∵在四边形ABCD中，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，
∴PN，PM分别是△CDB与△DAB的中位线，
∴PM=AB，PN=DC，
∵AB=CD，
∴PM=PN，
∴△PMN是等腰三角形，
∵∠MPN=130°，
∴∠PMN=（180°-∠MPN）÷2=25°，
故选A．
10．D
【分析】由三角形中位线的性质可得DE=AC，EF=AB，即可求出四边形ADEF的周长.
【详解】∵点D、E、F分别是边AB，BC，CA上的中点
∴AD=AB=3cm，AF=AC=4cm，DE，EF是△ABC的中位线
∴DE=AC=4cm，EF=AB=3cm
∴四边形ADEF的周长=AD+DE+EF+AF=3+4+3+4=14cm，
故选D.
【点睛】本题考查三角形中位线的性质，掌握三角形中位线等于第三边的一半是关键.
11．A
【分析】证明，推出，，得到，设，求得，在中，利用勾股定理求得，据此即可求解．
【详解】解：∵BD平分交AC于点D，且，
∴，，
又，
∴，
∴，，
∵E为AF的中点，
∴，
设，则，，，
∴，
在中，，
解得，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形中位线的判定和性质，勾股定理，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键．
12．B
【分析】根据三角形中位线定理求出EF，根据三角形的中点的概念分别求出BE、CF，计算即可．
【详解】解：∵E，F分别是边AB，AC的中点，AB=6m，BC=8m，AC=9m，
∴EF=BC=4m，BE=AB=3m，CF=AC=4.5m，
∴需要篱笆的长=4+3+4.5+8=19.5m．
故选 B．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
13．2
【分析】根据平行四边形的对角线互相平分，可得点O为AC的中点，从而得到OE是△ABC的中位线，即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，即点O为AC的中点，
∵E为边的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴ ，
∵，
∴．
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，平行四边形的性质，根据平行四边形的对角线互相平分，得到点O为AC的中点是解题的关键．
14．9
【分析】首先根据平行四边形的性质得到DE=AD=BC，然后根据三角形中位线的性质得到OE=CD，最后利用整体思想代入求解即可．
【详解】解：∵E为AD中点，四边形ABCD是平行四边形，
∴DE=AD=BC，DO=BD，AO=CO，
∴OE=CD，
∵△BCD的周长为18，
∴BD+DC+BC=18，
∴△DEO的周长是DE+OE+DO=（BC+DC+BD）=×18=9，
故答案为：9．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质和三角形中位线定理，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质和三角形中位线定理．
15． 中线 中位线
【分析】本题考查了三角形的中线，以及三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．熟练掌握中线和中位线的定义是解答本题的关键．根据中线和中位线的定义的定义解答即可．
【详解】解：∵F是的中点，
∴线段是的中线．
∵D，E分别是边，的中点，
∴线段是的中位线．
故答案为：中线，中位线．
16．2
【分析】本题考查了点的运动轨迹，熟练掌握三角形的中位线定理，是解决本题的关键．
先确定当点E在点B时点E是在中点，运动到点C时点E是的中点，得到线段是的中位线，然后根据三角形的中位线定理可得的长．
【详解】如图，当点从运动到时，点从运动到，
∵为的中点，
∴，分别为，的中点，
∴为的中位线，
∴．
故答案为：2．
17．
【分析】根据三角形中位线定理建立周长之间的关系，分析可得出规律为：第n个三角形的周长为．
【详解】解：寻找规律：由已知△ABC的周长是32，以它的三边中点为顶点组成第2个三角形，根据三角形中位线定理，第2个三角形的周长为32×；
同理，第3个三角形的周长为32××=32×；
第4个三角形的周长为32××=32×；
…
∴第n个三角形的周长为=32×．
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理，规律探究，解决问题的关键是利用三角形中位线得出第n个三角形的周长与第一个三角形周长的关系．
18．（1）详见解析；（2）5
【分析】（1）由BE=CF，利用等式的性质得到BC=EF，利用SSS得到三角形ABC与三角形DEF全等，利用全等三角形对应角相等得到一对同位角相等，利用同位角相等两直线平行即可得证；
（2）由BE=CE得到E为BC中点，再由GE与AB平行，得到GE为中位线，利用中位线定理得到AB=2EG，即可求出EG的长．
【详解】解：（1）∵BE=CF，
∴BE+EC=CF+EC，即BC=EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS），
∴∠B=∠DEF，
∴AB∥DE；
（2）∵GE∥AB，E为BC中点，
∴G为AC中点，即GE为△ABC的中位线，
∴EG=AB=5．
【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质，解题关键在于掌握判定定理，利用中位线定理进行解答.
19．
【分析】延长、交于F，证明，可得，，求得，根据三角形中位线定理可得，再根据平行线的性质求解即可．
【详解】解：延长、交于F，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，，
∴，
∵E为的中点，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理、平行线的性质、直角三角形的性质，正确构造全等三角形证明是解题的关键．
20．BO=2OD，BC边上的中线一定过点O，见解析
【分析】分别作BO，CO的中点M，N，连接ED，EM，MN，ND，根据三角形中位线定理、平行四边形的判定定理得到四边形EMND为平行四边形，根据平行四边形的性质得到OM=OD，得到OB=2OD；同理可得BC边上的中线一定过点O．
【详解】解：BO=2OD，
理由如下：分别作BO，CO的中点M，N，连接ED，EM，MN，ND，
∵点D，E分别是边AC，AB上的中点，
∴DE=BC，DE∥BC，
∵点M，N分别是BO，CO的中点，
∴MN=BC，MN∥BC，
∴DE=MN，DE∥MN，
∴四边形EMND为平行四边形，
∴OM=OD，
∵OM=MB，
∴OB=2OD；
BC边上的中线一定过点O，
理由如下：作BC边上的中线AG交BD于O′，
由以上解答过程可知，O′B=2O′D，
∴点O与点O′重合，
∴BC边上的中线一定过点O．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
21．
【分析】根据三角形中位线定理依次可求得第二个三角形和第三个三角形的周长，可找出规律，进而可求得第3个三角形的周长．
【详解】如图，、F分别为AB、AC的中点，
，同理可得，，
，
即的周长的周长，
第二个三角形的周长是原三角形周长的，
同理可得的周长的周长的周长的周长，
第三个三角形的周长是原三角形周长的，
的三边长分别为a，b，c，
第三个三角形的周长是
【点睛】本题考查三角形中位线定理，掌握三角形中位线平行第三边且等于第三边的一半是解题的关键．
22．见解析
【分析】由已知条件得出，为的中位线，由三角形中位线定理得出，，得出，即可得出结论．
【详解】证明： ∵分别为各边的中点，
∴，为的中位线，，
∴，，
即，，
∴四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定方法、三角形中位线定理；熟练掌握平行四边形的判定方法，证明三角形中位线是解决问题的关键．
23．（1）42o;（2）13cm
【分析】（1）根据平行线及角平分线的性质可求出∠EDB的度数；
（2）根据三角形中位线定理可求出DE的长．
【详解】（1）∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠CBD=∠ABC，
∵DE∥BC，
∴∠EDB=∠DBC=∠ABC=40°．
（2）∵AB=BC，BD是∠ABC的平分线，
∴D为AC的中点，
∵DE∥BC，
∴E为AB的中点，
∴DE=AB=6cm．
【点晴】考查的是平行线，角平分线，及三角形中位线的判定与性质，需同学们熟练掌握．
24．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．
【分析】（1）由对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明；
（2）延长到点F，使，连接，利用证明，得，，可说明四边形是平行四边形，得，即可证明结论；
（3）延长到点F，使，连接，由（2）知，, ,则 取最小值时，最小，故时，最小，利用等面积法求出的长，再利用勾股定理即可求得答案．
【详解】（1）证明：∵是的中线，
，
，
∴四边形是平行四边形．
故答案为：；
（2）证明：延长到点F，使，连接，

∵是的中线，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
∴四边形是平行四边形，
，
，
∴四边形是平行四边形；
（3）解：延长到点F，使，连接，
由（2）知，, ，
则取最小值时，最小，故时，最小，如图，

∵是的中线，
，
由勾股定理得，
利用等面积法得，
解得，
在中，由勾股定理得，，
．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，倍长中线构造全等三角形及运用等面积法是解题的关键．
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