8.2.1、8.2.2 一元线性回归模型及其参数的最小二乘估计-课后提升训练（含解析）-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

第八章　8.2　8.2.2　 一元线性回归模型及其参数的最小二乘估计
A级——基础过关练
1．(多选)随机误差的主要来源有(　　)
A．线性回归模型与真实情况引起的误差
B．省略了一些因素的影响产生的误差
C．观测产生的误差
D．估算产生的误差
2．已知x与y之间的一组数据：
x 0 1 2 3
y m 3 5.5 7
已求得关于y与x的经验回归方程为＝2.2x＋0.7，则m的值为(　　)
A．1 B．0.85
C．0.7 D．0.5
3．已知变量x，y之间具有线性相关关系，其散点图如图所示，则其经验回归方程可能为(　　)
A．＝x＋2 B．＝x－2
C．＝－x＋2 D．＝－x－2
4．根据如下样本数据得到的经验回归方程为＝x＋，则(　　)
x 3 4 5 6 7 8
y 4.0 2.5 －0.5 0.5 －2.0 －3.0
A．＞0，＞0 B．＞0，＜0
C．＜0，＞0 D．＜0，＜0
5．已知x与y之间的一组数据：
x 0 1 2 3
y 1 3 5 7
若y与x线性相关，则y与x的经验回归直线＝x＋必过点(　　)
A．(2，2) B．(1.5，0)
C．(1，2) D．(1.5，4)
6．(多选)已知某产品的单价x(单位：元)以及销量y(单位：件)情况统计如表所示，由表中数据求得经验回归方程＝－4x＋，则下列说法正确的是(　　)
单价x/元 4 5 6 7 8 9
销量y/件 90 84 83 80 75 68
A．销量的平均数为80件
B．根据经验回归方程可以测得，单价每上升1元，销量就平均减少4件
C．＝26
D．根据经验回归方程可以预测，当单价为10元时，销量为66件
7．某工厂对某产品的产量与成本的资料分析后有如下数据：
产量x/千件 2 3 5 6
成本y/万元 7 8 9 12
由表中数据得到的经验回归方程＝x＋中＝1.1，预测当产量为9千件时，成本约为________万元．
8．期中考试后，某校高三(9)班对全班65名学生的成绩进行分析，得到数学成绩y(单位：分)对总成绩x(单位：分)的经验回归方程为＝6＋0.4x.由此可以估计：若两个同学的总成绩相差50分，则他们的数学成绩大约相差________分．
9．某种细胞的存活率y(%)与存放温度x(℃)之间具有线性相关关系，其样本数据如下表所示：
存放温度x/℃ 20 15 10 5 0 －5 －10
存活率y/% 6 14 26 33 43 60 63
计算得＝5，＝35，xiyi＝－175，x＝875，并求得经验回归方程为＝－2x＋45，但实验人员发现表中数据x＝－5的对应值y＝60录入有误，更正为y＝53，则更正后经验的回归方程为___________．
10．一项关于16艘轮船的研究中，船的吨位区间为[192，3 246](单位：吨)，船员的人数为5～32，船员人数y关于吨位x的经验回归方程为＝9.5＋0.006 2x．
(1)若两艘船的吨位相差1 000，求船员平均相差的人数；
(2)估计吨位最大的船和最小的船的船员人数．
B级——能力提升练
11．为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x(单位：h)与当天投篮命中率y之间的关系：
时间x 1 2 3 4 5
命中率y 0.4 0.5 0.6 0.6 0.4
小李这5天的平均投篮命中率为________；用经验回归分析的方法，预测小李该月6号打6 h篮球的投篮命中率为________．
12．(2023年黄冈期末)某公司的生产部门调研发现，该公司第二、三季度的月用电量Y与月份x线性相关，且数据统计如下表所示：
月份 4 5 6 7 8 9
月用电量/千瓦时 6 16 27 55 46 56
但核对电费报表时发现一组数据统计有误．
(1)请指出哪组数据有误，并说明理由；
(2)在排除有误数据后，求月用电量与月份之间的经验回归方程＝x＋，并预测统计有误那个月份的用电量．(结果精确到0.1)
C级——创新拓展练
13．(多选)已知由样本数据点集合{(xi，yi)|i＝1，2，3，…，n}，求得的回归直线方程为＝1.5x＋0.5，且＝3，现发现两个数据点(1.2，2.2)和(4.8，7.8)的误差较大，去除后重新求得的回归直线 l 的斜率为1.2，则下列说法正确的是(　　)
A．变量x与y呈正相关关系
B．去除后y的估计值增加速度变快
C．去除后与去除前样本点的中心不变
D．去除后的回归直线方程为＝1.2x＋1.4
参考答案
【A级——基础过关练】
1.【答案】ABC
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】D　【解析】∵＝＝1.5，＝＝4，∴经验回归直线必过点(1.5，4).
6.【答案】ABD　【解析】＝(4＋5＋6＋7＋8＋9)＝6.5，＝(90＋84＋83＋80＋75＋68)＝80，故A正确；将(6.5，80)代入经验回归方程得＝106，故经验回归方程为＝－4x＋106，由于经验回归方程的斜率为－4，故B正确，C错误；根据经验回归方程可以预测，当单价为10元时，销量为－40＋106＝66(件)，故D正确．
7.【答案】14.5　【解析】由表中数据得＝4，＝9，代入经验回归方程得＝4.6，∴当x＝9时，＝1.1×9＋4.6＝14.5(万元).
8.【答案】20　【解析】令两人的总成绩分别为x1，x2，则对应的数学成绩估计为1＝6＋0.4x1，2＝6＋0.4x2，所以|1－2|＝|0.4(x1－x2)|＝0.4×50＝20.
9.【答案】＝－1.9x＋43.5　【解析】由题意知，更正后＝5，＝(35×7－60＋53)＝34，xiyi＝－175＋5×60－5×53＝－140，x＝875，∴＝＝＝－1.9，＝－＝34－(－1.9)×5＝43.5，∴更正后的经验回归方程为＝－1.9x＋43.5．
10.解：(1)设两艘船的吨位分别为x1，x2，
则1－2＝9.5＋0.006 2x1－(9.5＋0.006 2x2)＝0.006 2×1 000≈6，即船员平均相差6人．
(2)当x＝192时，＝9.5＋0.006 2×192≈11；
当x＝3 246时，＝9.5＋0.006 2×3 246≈30．
故估计吨位最大和最小的船的船员数分别为30和11．
【B级——能力提升练】
11.【答案】0.5　0.53　【解析】＝＝＝0.5，＝＝3.由公式，得＝0.01，从而＝－＝0.5－0.01×3＝0.47．所以经验回归方程为＝0.47＋0.01x．所以当x＝6时，＝0.47＋0.01×6＝0.53．
12.解：(1)作散点图如图所示．因为用电量与月份之间线性相关，所以散点图的样本点分布在经验回归直线附近比较窄的带状区域内，而点(7，55)离其他点所在区域较远，故(7，55)这组数据有误．
(2)排除(7，55)这一组有误数据后，计算得＝6.4，＝30.2，x＝222，xiyi＝1 138，
所以＝≈9.98，
＝－≈－33.67.
所以经验回归方程为＝9.98x－33.67，
当x＝7时，≈36.2，
即7月份的用电量大约为36.2千瓦时．
【C级——创新拓展练】
13.【答案】ACD　【解析】因为回归直线方程为＝1.5x＋0.5，1.5>0，所以变量x与y呈正相关关系，A正确；因为1.5>1.2，所以去除后y的估计值增加速度变慢，B错误；当＝3时，＝3×1.5＋0.5＝5，所以去除前样本点的中心为(3，5)，又因为＝3，＝5，所以去掉两个数据点(1.2，2.2)和(4.8，7.8)后，样本点的中心还是(3，5)，C正确；因为去除后重新求得的回归直线l的斜率为1.2，所以可设l：＝1.2x＋，将点(3，5)代入直线l，得5＝1.2×3＋，解得＝1.4，所以去除后的回归直线方程为＝1.2x＋1.4，D正确．