8.2.2 一元线性回归模型的综合问题-课后提升训练-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册
文档属性
| 名称 | 8.2.2 一元线性回归模型的综合问题-课后提升训练-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 113.2KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-03-14 09:48:07 | ||
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文档简介
第八章 8.2 8.2.2 一元线性回归模型的综合问题
A级——基础过关练
1．在回归分析中，R2的值越大，说明残差平方和( )
A．越大 B．越小
C．可能大也可能小 D．以上均错
2．甲、乙、丙、丁四位同学在建立变量x，y的回归模型时，分别选择了4种不同模型，计算可得它们的决定系数R2分别如下表所示：
学生 甲 乙 丙 丁
R2 0.95 0.50 0.85 0.77
则建立的回归模型拟合效果最好的同学是( )
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
3．在线性回归模型中，变量x与y的一组样本数据对应的点均在直线y＝x＋上，则R2等于( )
A． B．
C．1 D．2
4．甲、乙、丙、丁4位同学各自对A，B两变量进行回归分析，分别得到散点图与残差平方和(yi－i)2如下表所示：
学生 甲 乙 丙 丁
散点图
残差平方和 115 106 124 103
试验结果体现拟合A，B两变量关系的模型拟合精度高的同学是( )
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
5．色差和色度是衡量毛绒玩具质量优劣的重要指标，现抽检一批该产品测得如下数据：
色差x 21 23 25 27 29 31
色度y 15 16 17 21 22 23
已知该产品的色差和色度之间满足线性相关关系，且＝0.25x＋，现有一对测量数据为(32，21.25)，则该组数据的残差(测量值与预测值的差)为( )
A．0.65 B．0.75
C．－0.75 D．0.95
6．(多选)下列说法错误的有( )
A．一组数据的预测值与真实值之间的误差越大，残差越小
B．线性回归方程对应的直线＝x＋至少经过其样本数据点中的一个点
C．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高
D．在回归分析中，决定系数R2为0.98的模型比决定系数R2为0.80的模型拟合的效果差
7．某连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额和利润额资料如下表所示：
商店名称 A B C D E
销售额x/千万元 3 5 6 7 9
利润额y/百万元 2 3 3 4 5
已知y关于x的经验回归方程为＝0.5x＋0.4，则当销售额为5千万元时，残差为________．
8．以模型y＝cekx去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z＝ln y，其变换后得到经验回归方程z＝0.3x＋4，则c＝________．
9．对两个具有非线性相关关系的变量x，y进行回归分析，设μ＝ln y，υ＝(x－4)2，利用二乘法得到μ关于υ的经验回归方程为＝－0.5υ＋2，则的最大值是________．
10．(2024年福州期末)为了让人民享受到更优质的教育服务，我国逐年加大对教育的投入．为了预测2025年全国普通本科招生数，建立了招生数y(单位：万人)与时间变量t的三个回归模型，其中根据2001年至2019年的数据(时间变量t的值依次取1，2，3，…，19)建立模型①：＝166.9e0.058t(决定系数R≈0.88)和模型②：＝152.4＋16.3t(样本相关系数r1≈0.97，决定系数R≈0.94).根据2014年至2019年的数据(时间变量t的值依次取1，2，3，…，6)建立模型③：＝372.8＋9.8t(样本相关系数r2≈0.99，决定系数R≈0.98).
(1)可以根据模型①得到2025年全国普通本科招生数的预测值为597.88万人，请你分别利用模型②③，求2025年全国普通本科招生数的预测值；
(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？说明理由．(写出一个即可)
B级——能力提升练
11．(多选)某电子商务平台每年都会举行“年货节”商业促销狂欢活动，现统计了该平台从2016年到2024年共9年“年货节”期间的销售额(单位：亿元)并作出散点图，将销售额y看成以年份序号x(2016年作为第1年)的函数．运用excel软件，分别选择回归直线和三次函数回归曲线进行拟合，效果如图所示，则下列说法正确的有( )
A．销售额y与年份序号x呈正相关关系
B．三次函数回归模型的残差平方和大于直线回归模型的残差平方和
C．三次函数回归曲线的拟合效果好于回归直线的拟合效果
D．根据三次函数回归曲线可以预测2025年“年货节”期间的销售额约为2 125.78亿元
12．为了研究某种病毒在特定环境下随时间变化的繁殖情况，得到了一些数据，绘制成散点图，发现用模型y＝cekx拟合比较合适．令z＝ln y，得到＝1.3x＋，经计算发现x，z满足下表，则k＝________，c＝________．
天数x 2 3 4 5 6
z 1.5 4.5 5.5 6.5 7
13．某电视厂家准备在元旦举行促销活动，现根据近七年的广告费与销售量的数据确定此次广告费支出．广告费支出x(单位：万元)和销售量y(单位：万台)的数据如下表所示：
年份 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022
广告费支出x 1 2 4 6 11 13 19
销售量y 1.9 3.2 4.0 4.4 5.2 5.3 5.4
(1)若用线性回归模型拟合y与x的关系，求出y关于x的经验回归方程；
(2)若用y＝c＋d模型拟合y与x的关系，可得经验回归方程＝1.63＋0.99，经计算线性回归模型和该模型的R2分别约为0.75和0.88，请用R2说明选择哪个回归模型更好．
C级——创新拓展练
14．(2023年葫芦岛模拟)全球化时代，中国企业靠什么在激烈的竞争中成为世界一流企业？由人民日报社指导，《中国经济周刊》主办的第十八届中国经济论坛在人民日报社举行，就中国企业如何提升全球行业竞争力进行了研讨．数据显示，某企业近年加大了科技研发资金的投入，其科技投入x (单位：百万元)与收益y (单位：百万元)的数据统计如下表所示：
科技投入x 1 2 3 4 5 6 7
收益y 19 20 22 31 40 50 70
根据数据特点，甲认为样本点分布在指数型曲线y＝2bx＋a的周围，据此他对数据进行了一些初步处理．如下表所示：
x xiyi xizi (yi－)2 (yi－)2
5 140 1 239 149 2 134 130
其中zi＝log2yi，＝zi．
(1)请根据表中数据，建立y关于x的非线性回归方程．(系数精确到0.1)
(2)①乙认为样本点分布在直线y＝mx＋n的周围，并计算得经验回归方程为＝8.25x＋3，以及该回归模型的决定系数R＝0.893，试比较甲、乙两人所建立的模型，谁的拟合效果更好？
②由①所得的结论，计算该企业欲使收益达到1亿元，科技投入的费用至少要多少百万元？(精确到0.1)
参考数据：log25≈2.3．
参考答案
【A级——基础过关练】
1.【答案】B
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】D 【解析】根据线性相关的知识，散点图中各样本点条状分布越均匀，同时保持残差平方和越小，则由回归分析建立的线性回归模型的拟合效果越好，由试验结果知丁要好些．
5.【答案】B 【解析】样本中心点坐标为(26，19)，代入经验回归方程得到＝12.5，所以＝0.25x＋12.5．将x＝32代入，求解得到对应的预估值为20.5，因而其残差为21.25－20.5＝0.75．故选B．
6.【答案】ABD 【解析】对于A，一组数据的预测值与真实值之间的误差越大，残差越大，所以A错误；对于B，经验回归方程对应的直线＝x＋可能不过任何一个样本数据点，所以B错误；对于C，残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高，所以C正确；对于D，回归分析中，决定系数R2为0.98的模型比决定系数R2为0.80的模型拟合的效果好，所以D错误．故选ABD．
7.【答案】0.1 【解析】当x＝5时，＝0.5×5＋0.4＝2.9，表格中对应y＝3，于是残差为3－2.9＝0.1.
8.【答案】e4 【解析】由题意，得ln (cekx)＝0.3x＋4，所以ln c＋kx＝0.3x＋4，比较两边系数，得ln c＝4，所以c＝e4.
9.【答案】e2 【解析】将μ＝ln y，υ＝(x－4)2代入经验回归方程＝－0.5υ＋2，得＝e－0.5(x－4)2＋2．当x＝4时，＝e－0.5(4－4)2＋2＝e2，故最大值为e2．
10.解：(1)利用模型②得2025年全国普通本科招生数的预测值为＝152.4＋16.3×25＝559.9(万人)，
利用模型③得2025年全国普通本科招生数的预测值为＝372.8＋9.8×12＝490.4(万人).
(2)利用模型③得到的预测值更可靠，理由如下：
理由一：从计算结果可以看出，模型③的决定系数R≈0.98最大，说明其拟合效果最好，因此利用模型③得到的预测值更可靠．
理由二：模型①的决定系数比模型②③小很多，说明其拟合效果最差．对于模型②③，模型③的样本相关系数r2≈0.99比模型②的样本相关系数r1≈0.97大，说明模型③的两变量的线性相关性比模型②更强，因此利用模型③得到的预测值更可靠．
【B级——能力提升练】
11.【答案】AC 【解析】由散点图的变化趋势可知，销售额y与年份序号x呈正相关关系，故选项A正确；由散点图以及直线回归模型和三次函数回归模型的位置关系可知，三次函数回归模型的残差平方和小于直线回归模型的残差平方和，故选项B错误；因为0.999>0.936，所以三次函数回归曲线的拟合效果好于回归直线的拟合效果，故选项C正确；因为三次函数为y＝0.168x3＋28.141x2－29.027x＋6.889，则当x＝10时，y＝2 698.719亿元，故选项D错误．故选AC．
12.【答案】1.3 e-0.2 【解析】由表知，＝×(2＋3＋4＋5＋6)＝4，＝×(1.5＋4.5＋5.5＋6.5＋7)＝5，由经验回归直线＝1.3x＋恒过点，知5＝1.3×4＋，解得＝－0.2，∴＝1.3x－0.2，即ln y＝1.3x－0.2，∴y＝e1.3x-0.2＝e-0.2·e1.3x，∴k＝1.3，c＝e-0.2．
13.解：(1)∵＝8，＝4.2，xiyi＝279.4，x＝708，
∴＝＝＝0.17，
＝－＝4.2－0.17×8＝2.84，
∴y关于x的经验回归方程为＝0.17x＋2.84.
(2)∵0.75＜0.88且R2越大，反映残差平方和越小，模型的拟合效果越好，∴选用＝1.63＋0.99更好．
【C级——创新拓展练】
14.解：(1)将y＝2bx＋a两边取对数得log2y＝bx＋a，
令z＝log2y，则＝x＋．
∵＝4，
∴＝＝≈0.3，
＝－＝5－0.3×4＝3.8，
∴经验回归方程为＝0.3x＋3.8，即＝20.3x+3.8．
(2)①甲建立的回归模型的R＝1－≈0.939>0.893＝R,
∴甲建立的回归模型拟合效果更好．
②由①知，甲建立的回归模型拟合效果更好．
设20.3x+3.8≥100，得0.3x＋3.8≥log2100＝2＋2log25，解得x≥9.3．
∴科技投入的费用至少要9.3百万元，下一年的收益才能达到1亿元．
A级——基础过关练
1．在回归分析中，R2的值越大，说明残差平方和( )
A．越大 B．越小
C．可能大也可能小 D．以上均错
2．甲、乙、丙、丁四位同学在建立变量x，y的回归模型时，分别选择了4种不同模型，计算可得它们的决定系数R2分别如下表所示：
学生 甲 乙 丙 丁
R2 0.95 0.50 0.85 0.77
则建立的回归模型拟合效果最好的同学是( )
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
3．在线性回归模型中，变量x与y的一组样本数据对应的点均在直线y＝x＋上，则R2等于( )
A． B．
C．1 D．2
4．甲、乙、丙、丁4位同学各自对A，B两变量进行回归分析，分别得到散点图与残差平方和(yi－i)2如下表所示：
学生 甲 乙 丙 丁
散点图
残差平方和 115 106 124 103
试验结果体现拟合A，B两变量关系的模型拟合精度高的同学是( )
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
5．色差和色度是衡量毛绒玩具质量优劣的重要指标，现抽检一批该产品测得如下数据：
色差x 21 23 25 27 29 31
色度y 15 16 17 21 22 23
已知该产品的色差和色度之间满足线性相关关系，且＝0.25x＋，现有一对测量数据为(32，21.25)，则该组数据的残差(测量值与预测值的差)为( )
A．0.65 B．0.75
C．－0.75 D．0.95
6．(多选)下列说法错误的有( )
A．一组数据的预测值与真实值之间的误差越大，残差越小
B．线性回归方程对应的直线＝x＋至少经过其样本数据点中的一个点
C．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高
D．在回归分析中，决定系数R2为0.98的模型比决定系数R2为0.80的模型拟合的效果差
7．某连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额和利润额资料如下表所示：
商店名称 A B C D E
销售额x/千万元 3 5 6 7 9
利润额y/百万元 2 3 3 4 5
已知y关于x的经验回归方程为＝0.5x＋0.4，则当销售额为5千万元时，残差为________．
8．以模型y＝cekx去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z＝ln y，其变换后得到经验回归方程z＝0.3x＋4，则c＝________．
9．对两个具有非线性相关关系的变量x，y进行回归分析，设μ＝ln y，υ＝(x－4)2，利用二乘法得到μ关于υ的经验回归方程为＝－0.5υ＋2，则的最大值是________．
10．(2024年福州期末)为了让人民享受到更优质的教育服务，我国逐年加大对教育的投入．为了预测2025年全国普通本科招生数，建立了招生数y(单位：万人)与时间变量t的三个回归模型，其中根据2001年至2019年的数据(时间变量t的值依次取1，2，3，…，19)建立模型①：＝166.9e0.058t(决定系数R≈0.88)和模型②：＝152.4＋16.3t(样本相关系数r1≈0.97，决定系数R≈0.94).根据2014年至2019年的数据(时间变量t的值依次取1，2，3，…，6)建立模型③：＝372.8＋9.8t(样本相关系数r2≈0.99，决定系数R≈0.98).
(1)可以根据模型①得到2025年全国普通本科招生数的预测值为597.88万人，请你分别利用模型②③，求2025年全国普通本科招生数的预测值；
(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？说明理由．(写出一个即可)
B级——能力提升练
11．(多选)某电子商务平台每年都会举行“年货节”商业促销狂欢活动，现统计了该平台从2016年到2024年共9年“年货节”期间的销售额(单位：亿元)并作出散点图，将销售额y看成以年份序号x(2016年作为第1年)的函数．运用excel软件，分别选择回归直线和三次函数回归曲线进行拟合，效果如图所示，则下列说法正确的有( )
A．销售额y与年份序号x呈正相关关系
B．三次函数回归模型的残差平方和大于直线回归模型的残差平方和
C．三次函数回归曲线的拟合效果好于回归直线的拟合效果
D．根据三次函数回归曲线可以预测2025年“年货节”期间的销售额约为2 125.78亿元
12．为了研究某种病毒在特定环境下随时间变化的繁殖情况，得到了一些数据，绘制成散点图，发现用模型y＝cekx拟合比较合适．令z＝ln y，得到＝1.3x＋，经计算发现x，z满足下表，则k＝________，c＝________．
天数x 2 3 4 5 6
z 1.5 4.5 5.5 6.5 7
13．某电视厂家准备在元旦举行促销活动，现根据近七年的广告费与销售量的数据确定此次广告费支出．广告费支出x(单位：万元)和销售量y(单位：万台)的数据如下表所示：
年份 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022
广告费支出x 1 2 4 6 11 13 19
销售量y 1.9 3.2 4.0 4.4 5.2 5.3 5.4
(1)若用线性回归模型拟合y与x的关系，求出y关于x的经验回归方程；
(2)若用y＝c＋d模型拟合y与x的关系，可得经验回归方程＝1.63＋0.99，经计算线性回归模型和该模型的R2分别约为0.75和0.88，请用R2说明选择哪个回归模型更好．
C级——创新拓展练
14．(2023年葫芦岛模拟)全球化时代，中国企业靠什么在激烈的竞争中成为世界一流企业？由人民日报社指导，《中国经济周刊》主办的第十八届中国经济论坛在人民日报社举行，就中国企业如何提升全球行业竞争力进行了研讨．数据显示，某企业近年加大了科技研发资金的投入，其科技投入x (单位：百万元)与收益y (单位：百万元)的数据统计如下表所示：
科技投入x 1 2 3 4 5 6 7
收益y 19 20 22 31 40 50 70
根据数据特点，甲认为样本点分布在指数型曲线y＝2bx＋a的周围，据此他对数据进行了一些初步处理．如下表所示：
x xiyi xizi (yi－)2 (yi－)2
5 140 1 239 149 2 134 130
其中zi＝log2yi，＝zi．
(1)请根据表中数据，建立y关于x的非线性回归方程．(系数精确到0.1)
(2)①乙认为样本点分布在直线y＝mx＋n的周围，并计算得经验回归方程为＝8.25x＋3，以及该回归模型的决定系数R＝0.893，试比较甲、乙两人所建立的模型，谁的拟合效果更好？
②由①所得的结论，计算该企业欲使收益达到1亿元，科技投入的费用至少要多少百万元？(精确到0.1)
参考数据：log25≈2.3．
参考答案
【A级——基础过关练】
1.【答案】B
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】D 【解析】根据线性相关的知识，散点图中各样本点条状分布越均匀，同时保持残差平方和越小，则由回归分析建立的线性回归模型的拟合效果越好，由试验结果知丁要好些．
5.【答案】B 【解析】样本中心点坐标为(26，19)，代入经验回归方程得到＝12.5，所以＝0.25x＋12.5．将x＝32代入，求解得到对应的预估值为20.5，因而其残差为21.25－20.5＝0.75．故选B．
6.【答案】ABD 【解析】对于A，一组数据的预测值与真实值之间的误差越大，残差越大，所以A错误；对于B，经验回归方程对应的直线＝x＋可能不过任何一个样本数据点，所以B错误；对于C，残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高，所以C正确；对于D，回归分析中，决定系数R2为0.98的模型比决定系数R2为0.80的模型拟合的效果好，所以D错误．故选ABD．
7.【答案】0.1 【解析】当x＝5时，＝0.5×5＋0.4＝2.9，表格中对应y＝3，于是残差为3－2.9＝0.1.
8.【答案】e4 【解析】由题意，得ln (cekx)＝0.3x＋4，所以ln c＋kx＝0.3x＋4，比较两边系数，得ln c＝4，所以c＝e4.
9.【答案】e2 【解析】将μ＝ln y，υ＝(x－4)2代入经验回归方程＝－0.5υ＋2，得＝e－0.5(x－4)2＋2．当x＝4时，＝e－0.5(4－4)2＋2＝e2，故最大值为e2．
10.解：(1)利用模型②得2025年全国普通本科招生数的预测值为＝152.4＋16.3×25＝559.9(万人)，
利用模型③得2025年全国普通本科招生数的预测值为＝372.8＋9.8×12＝490.4(万人).
(2)利用模型③得到的预测值更可靠，理由如下：
理由一：从计算结果可以看出，模型③的决定系数R≈0.98最大，说明其拟合效果最好，因此利用模型③得到的预测值更可靠．
理由二：模型①的决定系数比模型②③小很多，说明其拟合效果最差．对于模型②③，模型③的样本相关系数r2≈0.99比模型②的样本相关系数r1≈0.97大，说明模型③的两变量的线性相关性比模型②更强，因此利用模型③得到的预测值更可靠．
【B级——能力提升练】
11.【答案】AC 【解析】由散点图的变化趋势可知，销售额y与年份序号x呈正相关关系，故选项A正确；由散点图以及直线回归模型和三次函数回归模型的位置关系可知，三次函数回归模型的残差平方和小于直线回归模型的残差平方和，故选项B错误；因为0.999>0.936，所以三次函数回归曲线的拟合效果好于回归直线的拟合效果，故选项C正确；因为三次函数为y＝0.168x3＋28.141x2－29.027x＋6.889，则当x＝10时，y＝2 698.719亿元，故选项D错误．故选AC．
12.【答案】1.3 e-0.2 【解析】由表知，＝×(2＋3＋4＋5＋6)＝4，＝×(1.5＋4.5＋5.5＋6.5＋7)＝5，由经验回归直线＝1.3x＋恒过点，知5＝1.3×4＋，解得＝－0.2，∴＝1.3x－0.2，即ln y＝1.3x－0.2，∴y＝e1.3x-0.2＝e-0.2·e1.3x，∴k＝1.3，c＝e-0.2．
13.解：(1)∵＝8，＝4.2，xiyi＝279.4，x＝708，
∴＝＝＝0.17，
＝－＝4.2－0.17×8＝2.84，
∴y关于x的经验回归方程为＝0.17x＋2.84.
(2)∵0.75＜0.88且R2越大，反映残差平方和越小，模型的拟合效果越好，∴选用＝1.63＋0.99更好．
【C级——创新拓展练】
14.解：(1)将y＝2bx＋a两边取对数得log2y＝bx＋a，
令z＝log2y，则＝x＋．
∵＝4，
∴＝＝≈0.3，
＝－＝5－0.3×4＝3.8，
∴经验回归方程为＝0.3x＋3.8，即＝20.3x+3.8．
(2)①甲建立的回归模型的R＝1－≈0.939>0.893＝R,
∴甲建立的回归模型拟合效果更好．
②由①知，甲建立的回归模型拟合效果更好．
设20.3x+3.8≥100，得0.3x＋3.8≥log2100＝2＋2log25，解得x≥9.3．
∴科技投入的费用至少要9.3百万元，下一年的收益才能达到1亿元．