8.3.2 独立性检验-课后提升训练（含解析）-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册
文档属性
| 名称 | 8.3.2 独立性检验-课后提升训练（含解析）-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 109.3KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-03-14 09:49:14 | ||
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文档简介
第八章 8.2 8.3.2 独立性检验
A级——基础过关练
1．想要检验是否喜欢参加体育活动是不是与性别有关，应该检验( )
A．零假设H0：男性喜欢参加体育活动
B．零假设H0：女性不喜欢参加体育活动
C．零假设H0：喜欢参加体育活动与性别有关
D．零假设H0：喜欢参加体育活动与性别无关
2．(2024年汕头期中)利用独立性检验对两个随机事件是否有关系进行研究时，若根据α＝0.005的独立性检验认为“X与Y有关系”，则具体计算出的数据应该是( )
A．χ2≥6.635 B．χ2<6.635
C．χ2≥7.879 D．χ2<7.879
3．为了考察某种中成药预防流感的效果，抽样调查40人，得到如下数据：
药物 流感
患流感 未患流感
服用 2 18
未服用 8 12
根据表中数据，计算χ2的值为( )
A．2.4 B．4.8
C．24 D．48
4．考察棉花种子是否经过处理跟生病之间的关系得到有关数据，根据数据计算得χ2＝0.164，则根据小概率值α＝0.1的独立性检验，下列判断正确的是( )
A．种子是否经过处理跟是否生病有关
B．种子是否经过处理跟是否生病无关
C．种子是否经过处理决定是否生病
D．以上都是错误的
5．为加强高三学生的素质教育，促进学生全面发展，某校对高三学生文化课与体育课的成绩进行了调查统计，结果如下：
文化课 体育课 合计
不及格 及格
及格 57 221 278
不及格 16 43 59
合计 73 264 337
在探究体育课成绩和文化课成绩是否相关时，根据以上数据可得到χ2约为( )
A．0.004 B．1.255
C．2.058 D．38.214
6．(2024年滨州期末)(多选)为考查某种营养品对儿童身高增长的影响，选取部分儿童进行试验，根据100个有放回简单随机样本的数据，得到如下列联表，由表可知下列说法正确的有( )
营养品 身高 合计
有明显增长 无明显增长
食用 a 10 50
未食用 b 30 50
合计 60 40 100
A．a＝40
B．b＝20
C．χ2≈12.667
D．根据小概率值α＝0.001的独立性检验，可以认为该营养品对儿童身高增长有影响
7．根据分类变量x与y的观察数据，计算得到χ2＝2.974，根据小概率值α＝0.05的独立性检验，分析变量x与y__________(填“相互独立”或“不相互独立”)．
8．(2024年烟台期末)已知P(χ2≥6.635)＝0.01，P(χ2≥10.828)＝0.001．在检验喜欢某项体育运动与性别是否有关的过程中，某研究员搜集数据并计算得到χ2＝7.235，则根据小概率值α＝________的χ2独立性检验，分析喜欢该项体育运动与性别有关．
9．(2024年长春期中)针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查，其中女生人数是男生人数的，男生追星的人数占男生人数的，女生追星的人数占女生人数的，若根据小概率值α＝0.05的独立性检验，判断中学生追星与性别有关，则男生至少有______人．
参考数据及公式如下：
α 0.050 0.010 0.001
xα 3.841 6.635 10.828
参考公式：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
10．(2024年潮州期末)人的性格可以大体分为“外向型”和“内向型”两种，树人中学为了了解这两种性格特征与人的性别是否存在关联，采用简单随机抽样的方法抽取90名学生，得到如下数据：
性别 外向型 内向型
男性 45 15
女性 20 10
(1)以上述统计结果的频率估计概率，从该校男生中随机抽取2人、女生中随机抽取1人担任志愿者．设这三人中性格外向型的人数为X，求X的数学期望．
(2)对表格中的数据，依据α＝0.1的独立性检验，可以得出独立性检验的结论是这两种性格特征与人的性别没有关联．如果将表格中的所有数据都扩大为原来10倍，在相同的检验标准下，再用独立性检验推断这两种性格特征与人的性别之间的关联性，得到的结论是否一致？请说明理由．
附：参考公式：
χ2＝.
α 0.1 0.05 0.01
xα 2.706 3.841 6.635
B级——能力提升练
11．(多选)有两个分类变量X，Y，其列联表如下：
X Y 合计
Y＝y1 Y＝y2
X＝x1 a 20－a 20
X＝x2 15－a 30＋a 45
合计 15 50 65
其中a，15－a均为大于5的整数，若依据α＝0.05的独立性检验可以认为Y与X有关，则a的可能取值为( )
A．6 B．7
C．8 D．9
12．(2024年海南期末)某制药公司为了验证一种药物对治疗“抑郁症”是否有效，随机选取了100名抑郁症患者进行试验，并根据试验数据得到下列2×2列联表：
项目 用药 未用药
症状明显减轻 37 33
症状没有减轻 8 22
根据表中数据，计算可得χ2＝________(结果精确到0.001)，依据小概率值α＝________ (填临界值表中符合条件的最小值)的独立性检验，可以认为该药物对治疗“抑郁症”是有效的．
附：χ2＝．
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
13．(2024年深圳期末)某花圃为提高某品种花苗质量，开展技术创新活动，A，B在实验地分别用甲、乙方法培育该品种花苗．为观测其生长情况，分别在实验地随机抽取各50株，对每株进行综合评分，将每株所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图．记综合评分为80 及以上的花苗为优质花苗．
(1)求图中a的值，并求综合评分的中位数；
(2)填写下面的2×2列联表，并根据小概率值α＝0.005的独立性检验，分析优质花苗与培育方法是否有关，请说明理由．
项目 优质花苗 非优质花苗 合计
甲培育法 20
乙培育法 10
合计
C级——创新拓展练
14．(2024年济南模拟)直播带货是助农的一种新模式，这种模式是利用主流媒体的公信力，聚合销售主播的力量助力打通农产品产销链条，切实助力边远地区农民增收．某边远地区有统计数据显示，2023年该地利用网络直播形式销售农产品的销售主播年龄等级分布如图1所示，一周内使用直播销售的频率分布扇形图如图2所示，若将销售主播按照年龄分为年轻人(20岁～39岁)和非年轻人(19岁及以下或者40岁及以上)两类，将一周内使用的次数为6次或6次以上的称为经常使用直播销售用户，使用次数为5次或不足5次的称为不常使用直播销售用户，且经常使用直播销售用户中有是年轻人．
图1 图2
现对该地相关居民进行“经常使用直播销售与年龄关系”的调查，采用随机抽样的方法，抽取一个容量为200的样本，请你根据图表中的数据，完成下列2×2列联表，根据α＝0.1的独立性检验，能否认为经常使用直播销售与年龄有关？
项目 年轻人 非年轻人 合计
经常使用直播销售用户
不常使用直播销售用户
合计
参考答案
【A级——基础过关练】
1.【答案】D
2.【答案】C
3.【答案】B
4.【答案】B 【解析】由χ2＝0.164＜2.706＝x0.1，即没有充分证据认为种子是否经过处理跟是否生病有关．
5.【答案】B 【解析】由题中数据，知χ2＝≈1.255．故选B．
6.【答案】ABD 【解析】a＝50－10＝40，A正确；b＝60－a＝60－40＝20，B正确；零假设为H0：该营养品对儿童身高增长无影响，因为χ2＝≈16.667＞10.828＝x0.001，所以根据小概率值α＝0.001的独立性检验，推断H0不成立，即可以认为该营养品对儿童身高增长有影响，C错误，D正确．
7.【答案】相互独立 【解析】χ2＝2.974<3.841＝x0.05，所以分析变量x与y相互独立．
8.【答案】0.01 【解析】因为6.635<7.235<10.828，所以根据小概率值α＝0.01的χ2独立性检验，分析喜欢该项体育运动与性别有关．
9.【答案】30 【解析】设男生人数为x，依题意可得列联表如下：
类别 喜欢追星 不喜欢追星 合计
男生 x
女生
合计
根据小概率值α＝0.05的独立性检验，判断中学生追星与性别有关，则χ2>3.841，由χ2＝＝x>3.841，解得x>25.61，由题知x应为6的整数倍，∴根据小概率值α＝0.05的独立性检验，判断中学生追星与性别有关，则男生至少有30人．
10.解：(1)由统计结果可知，外向型男生在所有男生中占比为，外向型女生在所有女生中占比为，
故从该校男生中随机抽取一人为外向型男生的概率是，从该校女生中随机抽取一人为外向型女生的概率是.
(方法一)X的所有可能取值为0，1，2，3，
则P(X＝0)＝×＝，P(X＝1)＝C×××＋×＝，
P(X＝2)＝×＋C×××＝，P(X＝3)＝×＝，
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
(方法二)从该校男生中随机抽取2人，抽到性格外向型的人数记为Y1，
从该校女生中随机抽取1人，抽到性格外向型的人数记为Y2，则Y1～B，Y2～B，
所以E(Y1)＝2×＝，E(Y2)＝1×＝.
所以E(X)＝E(Y1＋Y2)＝E(Y1)＋E(Y2)＝＋＝.
(2)零假设为H0：这两种性格特征与人的性别无关联．
由所获得的所有数据都扩大为原来10倍，
可知χ2＝＝≈6.923>2.706＝x0.1，
依据α＝0.1的独立性检验，可以推断这两种性格特征与人的性别有关联，与原来的结论不一致，
原因是每个数据扩大为原来的10倍，相当于样本量变大为原来的10倍，导致推断结论发生了变化．
【B级——能力提升练】
11.【答案】CD 【解析】根据a>5且15－a>5，a∈Z，知a可取6，7，8，9，由表中数据及题意，得χ2＝≥3.841＝x0.05，知a可能取值为8，9.
12.【答案】5.820 0.05 【解析】由2×2列联表中数据得χ2＝＝≈5.820，因为5.820>3.841＝x0.05，所以α＝0.05．
13.解：(1)由直方图的性质，得0.005×10＋0.010×10＋0.025×10＋10a＋0.020×10＝1，解得a＝0.040．
因为(0.02＋0.04)×10＝0.6>0.5，所以中位数位于[80，90)内，
设中位数为x，则有0.020×10＋0.040×(90－x)＝0.5，解得x＝82.5．
故综合评分的中位数为82.5．
(2)由(1)得优质花苗的频率为0.6，
所以样本中优质花苗的数量为60，
得如下列联表：
项目 优质花苗 非优质花苗 合计
甲培育法 20 30 50
乙培育法 40 10 50
合计 60 40 100
零假设为H0：优质花苗与培育方法无关，
χ2＝≈16.667>7.879＝x0.005，
所以根据小概率值α＝0.005的独立性检验，推断H0不成立，即认为优质花苗与培育方法有关．
【C级——创新拓展练】
14.解：由题图1知年轻人有200×(45.5%＋34.5%)＝160(人)，
非年轻人有200－160＝40(人)．
由题图2知经常使用直播销售用户有200×(30.1%＋19.2%＋10.7%)＝120(人)，
不常使用直播销售用户有200－120＝80(人)，
经常使用直播销售用户中的年轻人有120×＝100(人)，
经常使用直播销售用户中的非年轻人有120－100＝20(人)．
补全列联表如下：
项目 年轻人 非年轻人 合计
经常使用直播销售用户 100 20 120
不常使用直播销售用户 60 20 80
合计 160 40 200
零假设为H0：经常使用直播销售与年龄无关．
χ2＝＝≈2.083<2.706＝x0.1．
根据小概率值α＝0.1的独立性检验，无充分证据认为H0不成立，我们推断H0成立，即认为经常使用直播销售与年龄无关．
A级——基础过关练
1．想要检验是否喜欢参加体育活动是不是与性别有关，应该检验( )
A．零假设H0：男性喜欢参加体育活动
B．零假设H0：女性不喜欢参加体育活动
C．零假设H0：喜欢参加体育活动与性别有关
D．零假设H0：喜欢参加体育活动与性别无关
2．(2024年汕头期中)利用独立性检验对两个随机事件是否有关系进行研究时，若根据α＝0.005的独立性检验认为“X与Y有关系”，则具体计算出的数据应该是( )
A．χ2≥6.635 B．χ2<6.635
C．χ2≥7.879 D．χ2<7.879
3．为了考察某种中成药预防流感的效果，抽样调查40人，得到如下数据：
药物 流感
患流感 未患流感
服用 2 18
未服用 8 12
根据表中数据，计算χ2的值为( )
A．2.4 B．4.8
C．24 D．48
4．考察棉花种子是否经过处理跟生病之间的关系得到有关数据，根据数据计算得χ2＝0.164，则根据小概率值α＝0.1的独立性检验，下列判断正确的是( )
A．种子是否经过处理跟是否生病有关
B．种子是否经过处理跟是否生病无关
C．种子是否经过处理决定是否生病
D．以上都是错误的
5．为加强高三学生的素质教育，促进学生全面发展，某校对高三学生文化课与体育课的成绩进行了调查统计，结果如下：
文化课 体育课 合计
不及格 及格
及格 57 221 278
不及格 16 43 59
合计 73 264 337
在探究体育课成绩和文化课成绩是否相关时，根据以上数据可得到χ2约为( )
A．0.004 B．1.255
C．2.058 D．38.214
6．(2024年滨州期末)(多选)为考查某种营养品对儿童身高增长的影响，选取部分儿童进行试验，根据100个有放回简单随机样本的数据，得到如下列联表，由表可知下列说法正确的有( )
营养品 身高 合计
有明显增长 无明显增长
食用 a 10 50
未食用 b 30 50
合计 60 40 100
A．a＝40
B．b＝20
C．χ2≈12.667
D．根据小概率值α＝0.001的独立性检验，可以认为该营养品对儿童身高增长有影响
7．根据分类变量x与y的观察数据，计算得到χ2＝2.974，根据小概率值α＝0.05的独立性检验，分析变量x与y__________(填“相互独立”或“不相互独立”)．
8．(2024年烟台期末)已知P(χ2≥6.635)＝0.01，P(χ2≥10.828)＝0.001．在检验喜欢某项体育运动与性别是否有关的过程中，某研究员搜集数据并计算得到χ2＝7.235，则根据小概率值α＝________的χ2独立性检验，分析喜欢该项体育运动与性别有关．
9．(2024年长春期中)针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查，其中女生人数是男生人数的，男生追星的人数占男生人数的，女生追星的人数占女生人数的，若根据小概率值α＝0.05的独立性检验，判断中学生追星与性别有关，则男生至少有______人．
参考数据及公式如下：
α 0.050 0.010 0.001
xα 3.841 6.635 10.828
参考公式：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
10．(2024年潮州期末)人的性格可以大体分为“外向型”和“内向型”两种，树人中学为了了解这两种性格特征与人的性别是否存在关联，采用简单随机抽样的方法抽取90名学生，得到如下数据：
性别 外向型 内向型
男性 45 15
女性 20 10
(1)以上述统计结果的频率估计概率，从该校男生中随机抽取2人、女生中随机抽取1人担任志愿者．设这三人中性格外向型的人数为X，求X的数学期望．
(2)对表格中的数据，依据α＝0.1的独立性检验，可以得出独立性检验的结论是这两种性格特征与人的性别没有关联．如果将表格中的所有数据都扩大为原来10倍，在相同的检验标准下，再用独立性检验推断这两种性格特征与人的性别之间的关联性，得到的结论是否一致？请说明理由．
附：参考公式：
χ2＝.
α 0.1 0.05 0.01
xα 2.706 3.841 6.635
B级——能力提升练
11．(多选)有两个分类变量X，Y，其列联表如下：
X Y 合计
Y＝y1 Y＝y2
X＝x1 a 20－a 20
X＝x2 15－a 30＋a 45
合计 15 50 65
其中a，15－a均为大于5的整数，若依据α＝0.05的独立性检验可以认为Y与X有关，则a的可能取值为( )
A．6 B．7
C．8 D．9
12．(2024年海南期末)某制药公司为了验证一种药物对治疗“抑郁症”是否有效，随机选取了100名抑郁症患者进行试验，并根据试验数据得到下列2×2列联表：
项目 用药 未用药
症状明显减轻 37 33
症状没有减轻 8 22
根据表中数据，计算可得χ2＝________(结果精确到0.001)，依据小概率值α＝________ (填临界值表中符合条件的最小值)的独立性检验，可以认为该药物对治疗“抑郁症”是有效的．
附：χ2＝．
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
13．(2024年深圳期末)某花圃为提高某品种花苗质量，开展技术创新活动，A，B在实验地分别用甲、乙方法培育该品种花苗．为观测其生长情况，分别在实验地随机抽取各50株，对每株进行综合评分，将每株所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图．记综合评分为80 及以上的花苗为优质花苗．
(1)求图中a的值，并求综合评分的中位数；
(2)填写下面的2×2列联表，并根据小概率值α＝0.005的独立性检验，分析优质花苗与培育方法是否有关，请说明理由．
项目 优质花苗 非优质花苗 合计
甲培育法 20
乙培育法 10
合计
C级——创新拓展练
14．(2024年济南模拟)直播带货是助农的一种新模式，这种模式是利用主流媒体的公信力，聚合销售主播的力量助力打通农产品产销链条，切实助力边远地区农民增收．某边远地区有统计数据显示，2023年该地利用网络直播形式销售农产品的销售主播年龄等级分布如图1所示，一周内使用直播销售的频率分布扇形图如图2所示，若将销售主播按照年龄分为年轻人(20岁～39岁)和非年轻人(19岁及以下或者40岁及以上)两类，将一周内使用的次数为6次或6次以上的称为经常使用直播销售用户，使用次数为5次或不足5次的称为不常使用直播销售用户，且经常使用直播销售用户中有是年轻人．
图1 图2
现对该地相关居民进行“经常使用直播销售与年龄关系”的调查，采用随机抽样的方法，抽取一个容量为200的样本，请你根据图表中的数据，完成下列2×2列联表，根据α＝0.1的独立性检验，能否认为经常使用直播销售与年龄有关？
项目 年轻人 非年轻人 合计
经常使用直播销售用户
不常使用直播销售用户
合计
参考答案
【A级——基础过关练】
1.【答案】D
2.【答案】C
3.【答案】B
4.【答案】B 【解析】由χ2＝0.164＜2.706＝x0.1，即没有充分证据认为种子是否经过处理跟是否生病有关．
5.【答案】B 【解析】由题中数据，知χ2＝≈1.255．故选B．
6.【答案】ABD 【解析】a＝50－10＝40，A正确；b＝60－a＝60－40＝20，B正确；零假设为H0：该营养品对儿童身高增长无影响，因为χ2＝≈16.667＞10.828＝x0.001，所以根据小概率值α＝0.001的独立性检验，推断H0不成立，即可以认为该营养品对儿童身高增长有影响，C错误，D正确．
7.【答案】相互独立 【解析】χ2＝2.974<3.841＝x0.05，所以分析变量x与y相互独立．
8.【答案】0.01 【解析】因为6.635<7.235<10.828，所以根据小概率值α＝0.01的χ2独立性检验，分析喜欢该项体育运动与性别有关．
9.【答案】30 【解析】设男生人数为x，依题意可得列联表如下：
类别 喜欢追星 不喜欢追星 合计
男生 x
女生
合计
根据小概率值α＝0.05的独立性检验，判断中学生追星与性别有关，则χ2>3.841，由χ2＝＝x>3.841，解得x>25.61，由题知x应为6的整数倍，∴根据小概率值α＝0.05的独立性检验，判断中学生追星与性别有关，则男生至少有30人．
10.解：(1)由统计结果可知，外向型男生在所有男生中占比为，外向型女生在所有女生中占比为，
故从该校男生中随机抽取一人为外向型男生的概率是，从该校女生中随机抽取一人为外向型女生的概率是.
(方法一)X的所有可能取值为0，1，2，3，
则P(X＝0)＝×＝，P(X＝1)＝C×××＋×＝，
P(X＝2)＝×＋C×××＝，P(X＝3)＝×＝，
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
(方法二)从该校男生中随机抽取2人，抽到性格外向型的人数记为Y1，
从该校女生中随机抽取1人，抽到性格外向型的人数记为Y2，则Y1～B，Y2～B，
所以E(Y1)＝2×＝，E(Y2)＝1×＝.
所以E(X)＝E(Y1＋Y2)＝E(Y1)＋E(Y2)＝＋＝.
(2)零假设为H0：这两种性格特征与人的性别无关联．
由所获得的所有数据都扩大为原来10倍，
可知χ2＝＝≈6.923>2.706＝x0.1，
依据α＝0.1的独立性检验，可以推断这两种性格特征与人的性别有关联，与原来的结论不一致，
原因是每个数据扩大为原来的10倍，相当于样本量变大为原来的10倍，导致推断结论发生了变化．
【B级——能力提升练】
11.【答案】CD 【解析】根据a>5且15－a>5，a∈Z，知a可取6，7，8，9，由表中数据及题意，得χ2＝≥3.841＝x0.05，知a可能取值为8，9.
12.【答案】5.820 0.05 【解析】由2×2列联表中数据得χ2＝＝≈5.820，因为5.820>3.841＝x0.05，所以α＝0.05．
13.解：(1)由直方图的性质，得0.005×10＋0.010×10＋0.025×10＋10a＋0.020×10＝1，解得a＝0.040．
因为(0.02＋0.04)×10＝0.6>0.5，所以中位数位于[80，90)内，
设中位数为x，则有0.020×10＋0.040×(90－x)＝0.5，解得x＝82.5．
故综合评分的中位数为82.5．
(2)由(1)得优质花苗的频率为0.6，
所以样本中优质花苗的数量为60，
得如下列联表：
项目 优质花苗 非优质花苗 合计
甲培育法 20 30 50
乙培育法 40 10 50
合计 60 40 100
零假设为H0：优质花苗与培育方法无关，
χ2＝≈16.667>7.879＝x0.005，
所以根据小概率值α＝0.005的独立性检验，推断H0不成立，即认为优质花苗与培育方法有关．
【C级——创新拓展练】
14.解：由题图1知年轻人有200×(45.5%＋34.5%)＝160(人)，
非年轻人有200－160＝40(人)．
由题图2知经常使用直播销售用户有200×(30.1%＋19.2%＋10.7%)＝120(人)，
不常使用直播销售用户有200－120＝80(人)，
经常使用直播销售用户中的年轻人有120×＝100(人)，
经常使用直播销售用户中的非年轻人有120－100＝20(人)．
补全列联表如下：
项目 年轻人 非年轻人 合计
经常使用直播销售用户 100 20 120
不常使用直播销售用户 60 20 80
合计 160 40 200
零假设为H0：经常使用直播销售与年龄无关．
χ2＝＝≈2.083<2.706＝x0.1．
根据小概率值α＝0.1的独立性检验，无充分证据认为H0不成立，我们推断H0成立，即认为经常使用直播销售与年龄无关．