第8章 成对数据的统计分析 章末检测（含解析）-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

成对数据的统计分析
章末检测
(时间：120分钟，满分：150分)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．(2024年汕尾月考)下列说法错误的是(　　)
A．正方体的体积与棱长之间的关系是函数关系
B．人的身高与视力之间的关系是相关关系
C．汽车的重量与汽车每消耗1升汽油所行驶的平均路程负相关
D．体重与学习成绩之间不具有相关关系
2．(2024年陕西月考)设变量X和变量Y的样本相关系数为r1，变量U和变量V的样本相关系数为r2，且r1＝－0.734，r2＝0.984，则(　　)
A．X和Y之间呈正线性相关关系，且X和Y的线性相关程度强于U和V的线性相关程度
B．X和Y之间呈负线性相关关系，且X和Y的线性相关程度强于U和V的线性相关程度
C．U和V之间呈负线性相关关系，且X和Y的线性相关程度弱于U和V的线性相关程度
D．U和V之间呈正线性相关关系，且X和Y的线性相关程度弱于U和V的线性相关程度
3．(2024年上海月考)对四组数据进行统计，获得如下散点图，关于其相关系数的比较，说法正确的是(　　)
A．r4C．r24．(2024年南阳月考)某同学在研究变量x，y之间的相关关系时，得到以下数据，并采用最小二乘法得到了线性回归方程＝x＋，则(　　)
x 4.8 5.8 7 8.3 9.1
y 2.8 4.1 7.2 9.1 11.8
A．>0，>0 B．>0，<0
C．<0，<0 D．<0，>0
5．(2024年辽宁月考)已知具有线性相关的两个变量x，y之间的一组数据如表：
x －2 －1 1 2 3
y 24 36 40 48 56
且回归方程为＝5.5x＋，则当x＝4时，y的预测值为(　　)
A．59.5 B．60.5
C．61.5 D．62.5
6．(2024年长春月考)用模型y＝aekx拟合一组数(xi，yi)(i＝1，2，…，2 024)，若x1＋x2＋…＋x2 024＝2 024，y1y2…y2 024＝e20 240，设z＝ln y，得变换后的线性回归方程为＝bx＋6，则ak＝(　　)
A．20 240 B．6e4
C．4e6 D．2 024
7．(2024年德州期中)利用独立性检验考察两个变量X与Y是否有关系，通过2×2列联表进行独立性检验．经计算χ2＝4.964，那么认为X与Y是有关系，这个结论错误的可能性不超过(　　)
P(χ2≥k0) 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001
k0 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
A．0.001 B．0.005
C．0.05 D．0.01
8．(2024年宝鸡月考)通过随机调查140名性别不同的社区居民是否喜欢看电视剧，得到如下的列联表：
项目 男 女 总计
喜欢 50 40 90
不喜欢 20 30 50
总计 70 70 140
由公式算得χ2≈3.11，附：χ2＝，
P(χ2≥k0) 0.10 0.05 0.010 0.001
k0 2.706 3.841 6.635 10.828
其中n＝a＋b＋c＋d参照附表，得到的正确结论是(　　)
A．有99%的把握认为“居民是否喜欢看电视剧”与性别有关
B．有99.9%的把握认为“居民是否喜欢看电视剧”与性别有关
C．有90%的把握认为“居民是否喜欢看电视剧”与性别有关
D．有95%的把握认为“居民是否喜欢看电视剧”与性别有关
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．
9．(2024年长沙月考)下列命题正确的是(　　)
A．若A，B两组成对数据的样本相关系数分别为rA＝0.97，rB＝－0.99，则A组数据比B组数据的相关性较强
B．决定系数R2越大的模型，拟合的效果越好
C．回归直线至少会经过其中一个样本点(xi，yi)
D．以y＝aebx模型去拟合某组数据时，为了求出回归方程，设z＝ln y，将其变换后得到线性方程z＝6x＋ln 2，则a，b的值分别为2，6
10．(2024年辽宁月考)下列有关回归分析的结论中，正确的是(　　)
A．若回归方程为＝6－2.5x，则变量y与x负相关
B．运用最小二乘法求得的经验回归直线一定经过样本点的中心(，)
C．若线性相关系数|r|越小，说明两个变量之间的线性相关性越强
D．若散点图中所有点都在直线y＝0.92x－4.21上，则相关系数r＝0.92
11．(2024年南阳月考)如表，在两个变量X与Y的2×2列联表中，已知χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d，下列结论正确的是(　　)
项目 y1 y2 总计
x1 a b a＋b
x2 c d c＋d
总计 a＋c a＋d a＋b＋c＋d
A．若每个数据a，b，c，d均变为原来的2倍，则χ2的值不变
B．|ad－bc|越大，两个变量有关联的可能性越大
C．对于独立性检验，随机变量χ2的值越小，判定“两变量有关系”犯错误的概率越大
D．若计算得到χ2＝5.012，则有95%的把握认为X与Y有关
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．(2024年宜春期中)已知成对样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥3)中x1，x2，…，xn互不相等，且所有样本点(xi，yi)(i＝1，2，…，n)都在直线y＝－x＋1上，则这组成对样本数据的样本相关系数r＝________．
13．(2024年内蒙古月考)在研究两个变量的相关关系时，观察散点图发现样本点集中于某一条指数曲线y＝ebx＋a的周围．令＝ln y，求得线性回归方程为令＝0.25x－2.58，则该模型的非线性回归方程为________．
14．(2024年宜春期中)为了调查学生对网络课程是否喜爱，研究人员随机调查了相同人数的男、女学生，发现男生中有80%喜欢网络课程，女生中有40%不喜欢网络课程，且有95%的把握认为喜欢网络课程与性别有关，但没有99%的把握认为喜欢网络课程与性别有关．已知被调查的男、女学生的总人数为20k(k∈N*)，则k＝________．
附：χ2＝.临界值表：
P(χ2≥x0) 0.050 0.010 0.005 0.001
x0 3.841 6.635 7.879 10.828
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：
新生 饮食习惯 合计
喜欢甜品 不喜欢甜品
南方学生 60 20 80
北方学生 10 10 20
合计 70 30 100
根据表中数据，依据α＝0.05的独立性检验，能否认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”？
16．(15分)(2024年遵义月考)在2023年春节期间，某商场对销售的某商品一天的投放量x及其销量y进行调查，发现投放量x和销售量y之间的一组数据如下表所示：
投放量x 6 8 10 12
销售量y 2 3 5 6
通过分析，发现销售量y对投放量x具有线性相关关系．
(1)求销售量y对投放量x的回归直线方程；
(2)欲使销售量为8，则投放量应定为多少．(保留小数点后一位数)
附：＝，＝－．
17．(15分)(2024年滨州期末)为了加快实现我国高水平科技自立自强，某科技公司逐年加大高科技研发投入．图1是该公司2013年至2022年的年份代码x和年研发投入y(单位：亿元)的散点图，其中年份代码1－10分别对应年份2013－2022．
根据散点图，分别用模型①y＝bx＋a，②y＝c＋d作为年研发投入y关于年份代码x的经验回归方程模型，并进行残差分析，得到图2所示的残差图．结合数据，计算得到如下表所示的一些统计量的值：
(xi－)2 (ti－)2 (yi－)(xi－) (yi－)(ti－)
75 2.25 82.5 4.5 120 28.35
表中ti＝，＝ti．
(1)根据残差图，判断模型①和模型②哪一个更适宜作为年研发投入y关于年份代码x的经验回归方程模型？并说明理由；
(2)根据(1)中所选模型，求出y关于x的经验回归方程，并预测该公司2028年的高科技研发投入．
附：对于一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其经验回归直线＝＋x的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝－．
18．(17分)(2024年河南月考)某剧场的座位数量是固定的，管理人员统计了最近在该剧场举办的五场表演的票价xi(单位：元)和上座率yi(上座人数与总座位数的比值)的数据，其中i＝1，2，3，4，5，并根据统计数据得到如下的散点图：
(1)由散点图判断y＝bx＋a与y＝c ln x＋d哪个模型能更好地对y与x的关系进行拟合(给出判断即可，不必说明理由)，并根据你的判断结果求回归方程．
(2)根据(1)所求的回归方程，预测票价为多少时，剧场的门票收入最多．
参考公式：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线＝＋u的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝＝，＝－．参考数据：＝240，＝0.5，x＝365 000，xiyi＝457.5，设zi＝ln xi，则zi≈27，z≈147.4，ziyi≈12.7；e5.2≈180，e5.4≈220，e6.4≈600．
19．(17分)(2024年长春月考)2024年1月4日，教育部在京召开全国“双减”工作视频调度会，会议要求进一步提高双减政治站位，将“双减”工作作为重中之重，坚定不移推进，成为受老师和家长关注的重要话题．某学校为了解家长对双减工作的满意程度进行问卷调查(评价结果仅有“满意”、“不满意”)，从所有参与评价的对象中随机抽取120人进行调查，部分数据如表所示(单位：人)：
项目 满意 不满意 合计
男性 10 50
女性 60
合计 120
(1)请将2×2列联表补充完整，试根据小概率值α＝0.10的独立性检验，能否认为“对双减工作满意程度的评价与性别有关”？
(2)若将频率视为概率，从所有给出“满意”的家长中随机抽取3人，用随机变量X表示被抽到的男性家长的人数，求X的分布列；
(3)在抽出的120人中，从给出“满意”的家长中利用分层随机抽样的方法抽取10人，从给出“不满意”的对象中抽取m(m∈N*)人．现从这(10＋m)人中，随机抽出2人，用随机变量Y表示被抽到的给出“满意”的女性家长的人数．若随机变量Y的数学期望不小于1，求m的最大值．
参考公式：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d．
参考数据：
P(χ2≥x0) 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
x0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
参考答案
单项选择题
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】B
4.【答案】D
5.【答案】A
6.【答案】C
7.【答案】C　【解析】根据χ2检验结果，可知3.841<χ2＝4.964<5.024，所以这个结论错误的可能性不超过0.050，即可知C正确．故选C．
8.【答案】C　【解析】由题意知，χ2≈3.11，因为2.706<3.11<3.841，所以有90%的把握认为“居民是否喜欢看电视剧”与性别有关．故选C．
二、多项选择题
9.【答案】BD　【解析】对于A，因为|rA|＝0.97<|rB|＝0.99，即A组数据比B组数据的相关性较弱，故A错误；对于B，决定系数R2越大，则其拟合的效果越好，故B正确；对于C，回归直线一定经过样本中心，但不一定经过其中一个样本点，故C错误；对于D，由z＝6x＋ln 2＝ln y，得y＝e6x＋ln 2＝e6x·eln 2＝2·e6x，a＝2，b＝6，故D正确．故选BD．
10.【答案】AB　【解析】对于A，由于回归方程为＝6－2.5x，有＝－2.5<0，故变量y与x负相关，A正确；对于B，运用最小二乘法求得的经验回归直线一定经过样本点的中心(，)，B正确；对于C，线性相关系数|r|越小，说明两个变量之间的线性相关性越弱，C错误；对于D，散点图中所有点都在直线y＝0.92x－4.21上，则相关系数r＝1，D错误．故选AB．
11.【答案】BCD　【解析】对于A，若2×2列联表中的每个数字均变成原来的2倍，则χ2＝＝2×，此时χ2的值变为原来的2倍，故A错误；对于B，同一个样本中，|ad－bc|越小，说明两个变量的关系越弱，|ad－bc|越大，说明两个变量有关的关系越强，故B正确；对于C，独立性检验中，随机变量χ2的值越小，判定“两变量有关系”犯错误的概率越大，故C正确；对于D，根据独立性检验的意义可知χ2＝5.012>3.841，所以有95%的把握认为X与Y有关，故D正确．故选BCD．
三、填空题
12.【答案】－1　【解析】因为所有样本点(xi，yi)(i＝1，2，…，n)都在直线y＝－x＋1上，显然直线y＝－x＋1的斜率－<0，所以样本数据成负相关，样本相关系数为－1．
13.【答案】＝e0.25x-2.58　【解析】由回归直线方程＝0.25x－2.58，＝ln y得ln y＝0.25x－2.58，整理得y＝e0.25x-2.58，所以该模型的回归方程为＝e0.25x-2.58．
14.【答案】5或6　【解析】设男、女学生的总人数为2n，则2n＝20k(k∈N*)，所以χ2＝＝.又因为有95%的把握认为喜欢网络课程与性别有关，但没有99%的把握认为喜欢网络课程与性别有关，所以3.841<≤6.635 80.661<2n≤139.335.又2n＝20k(k∈N*)，所以4.033四、解答题
15.解：零假设为H0：南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面无差异．
χ2＝＝＝≈4.762.
由于4.762＞3.841＝x0.05，依据α＝0.05的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”．
16.解：(1)xiyi＝6×2＋8×3＋10×5＋12×6＝158，
＝＝9，＝＝4，
x＝36＋64＋100＋144＝344，
＝＝0.7，＝4－0.7×9＝－2.3，
故回归直线方程为＝0.7x－2.3．
(2)由题意知8＝0.7x－2.3，解得x≈14.7．
所以销售量为8，则投放量应定为14.7．
17.解：(1)根据图2可知，模型①的残差波动性很大，说明拟合关系较差；
模型②的残差波动性很小，基本分布在0的附近，说明拟合关系很好，所以选择模型②更适宜．
(2)设t＝，所以y＝c＋dt，
所以＝＝＝6.3，＝－＝60.825，
所以y关于x的经验回归方程为＝60.825＋6.3，
令x＝16，则＝60.825＋6.3×4＝86.025，
即预测该公司2028年的高科技研发投入86.025亿元．
18.解：(1)由散点图知，散点趋向于递减的某条曲线附近，
所以y＝c ln x＋d能更好地对y与x的关系进行拟合．
设z＝ln x，先求y关于z的线性回归方程．
由已知得＝zi≈＝5.4，
∴＝＝＝＝＝－0.5，
＝－c＝0.5－(－0.5)×5.4＝3.2．
所以y关于z的线性回归方程为＝－0.5z＋3.2，
所以y关于x的回归方程为＝－0.5ln x＋3.2．
(2)设剧场的总座位数为M，由题意得门票收入为M(－0.5x ln x＋3.2x)，
设函数f(x)＝－0.5x ln x＋3.2x，则f′(x)＝－0.5ln x＋2.7，
当f′(x)<0，即x>e5.4时，函数单调递减，
当f′(x)>0，即0所以f(x)在x＝e5.4≈220处取最大值，
所以剧场票价为220元时，剧场的门票收入最多．
19.解：(1)根据题意，得到2×2列联表如下：
满意 不满意 合计
男性 40 10 50
女性 60 10 70
合计 100 20 120
零假设：“对双减工作满意程度的评价与性别无关”，
χ2＝≈0.686<2.706，
所以没有充分证据证明零假设不成立，
所以没有90%的把握认为“对双减工作满意程度的评价与性别有关”．
(2)从所有给出“满意”的家长中随机抽取1人为男性的概率为＝，
且各次抽取之间相互独立，所以随机变量X～B，
所以P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝C××＝，
P(X＝2)＝C××＝，P(X＝3)＝＝，
故随机变量X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
(3)从给出“满意”的观众中利用分层随机抽样的方法抽取10人，
其中男性有10×＝4人，女性有10×＝6人，所以随机变量Y的取值为0，1，2，
可得P(Y＝0)＝，P(Y＝1)＝，P(Y＝2)＝，
则随机变量Y的数学期望E(Y)＝0×＋1×＋2×＝，
则≥1，解得m≤2．又因为m∈N*，故m的最大值为2．