《函数的最大（小）值》教学设计
内容与内容解析
1、内容 函数的最大（小）值的概念，通过导数求解函数的最值，解决实际生活中的最值问题
2、内容解析: 高中数学人教A版选择性必修第二册， 第五章， 一元函数的导数及其应用 5.3.2 函数的极值与最大（小）值(第二课时)
第一课时学习了函数的极值，极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是整个定义域上的性质。但是，在解决实际问题或研究函数的性质时，我们往往关心函数在定义域内或指定的区间上，哪个值最大，哪个值最小，所以本节课的学习具有更进一步的意义。
目标和目标解析:
1、目标
（1）了解函数的最大（小）值的概念，能够区分极值与最值。
（2）能利用导数求某些函数给定闭区间上不超过三次的多项式的最大(小)值。
（3）掌握导数在解决实际问题中的应用。
2、目标解析
（1）对于给定的函数，能利用导数求出函数的最大（小）值。
（2）对于生活中的实际问题，能合理建模，建立函数关系，利用导数解决实际问题中的最值。
（3）通过求导与最值的探求，培养学生的数学核心素养——直观想象、数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算等。
三、教学问题诊断分析:
应用导数求函数的最值以及解决应用题中的最值问题是本课时应重点关注的问题，而函数图象简图的描绘过程中的细节处理（如极限思想的应用），应用题中的数学建模思想的应用以及对现实最值问题体现的实际意义的理解，都值得我们花大力气去突破。
教学支持条件分析:
学生必需具备画出函数大致图象的能力，所以教师应该引导学生如何抓住特殊点和增长趋势画出简图。过程分析和画图完毕后最好借助信息技术（例如几何画板）给予学生更为规范的图象展示，并且有意识地培养学生应用信息技术验证自己图象正确与否的能力。
教学过程设计:
（一）情境导入
1.提出生活中遇到的最值问题
某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是分，其中r（单位：cm）是瓶子的半径，已知每出售1mL的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6 cm.
（1）瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？
（2）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？
【设计意图】用实际问题来激发学生的学习兴趣，突出数学的实用价值
回顾"函数的极值"
若函数y＝f(x) 的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；
而且在点x＝a附近的左侧图象单调递减，右侧图象单调递增. 则f(a)叫做y＝f(x)的极小值．
若函数y＝f(x) 的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；
而且在点x＝b附近的左侧图象单调递增，右侧图象单调递减. 则f(b)叫做y＝f(x)的极大值．
【设计意图】温故而知新，为即将学习函数的最值奠定知识层面上的基础。
3.导入”函数的最值”
在社会生活实践中，为了发挥最大的经济效益，常常遇到如何能使用料最省、产量最高、效益最大等问题，这些问题的解决常常涉及到求一个函数的最大值和最小值问题.
极值是一个局部概念，只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.
【设计意图】自然过渡到本节课函数的最大值和最小值问题的学习，阐述进一步学习的实际意义。
（二）定义新知
如果是某个区间上函数的最大（小）值点，那么不小（大）于函数在此区间上的所有函数值.
如图，根据函数，的图象，可知，，是函数的极小值，是函数的极大值.函数在区间上的最小值是，最大值是.
提问:函数极值与最值的关系
1.在定义域内, 最值唯一,极值不唯一。
2.最大值一定比最小值大,极大值不一定比极小值大.
3.最值可能是极值，也可能不是极值。
(学生活动:分组讨论总结)
【设计意图】帮助学生厘清极值与最值的区别与联系
（三）例题讲解
例1 求函数在区间上的最大值与最小值.
(教师活动:板书过程)
【设计意图】为规范答题做好示范。
解：因为，所以.
令，解得或.
当x变化时，，的变化情况如表所示.
x 2
＋ 0 － 0 ＋
单调递增 单调递减 单调递增
因此，当时，有极大值，并且极大值为；
当时，有极小值，并且极小值为.
故在区间上，当时，函数有极小值，为.
又由于，，
所以函数在区间上的最大值是4，最小值是.
提问:总结求函数在区间上的最大值与最小值的步骤
(学生活动:分组讨论总结)
【设计意图】让学生自己总结，理解更深，为解决例2提供方法指导。
一般的，求函数在区间上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求函数在区间上的极值；
（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
例2 给定函数.
（1）判断函数的单调性，并求出的极值；
（2）画出函数的大致图象；
（3）求出方程的解的个数.
(教师活动:分析，提示，巡堂查看，及时纠错)
(学生活动:学生独立完成，分组讨论，投影最佳解答)
【设计意图】让学生亲自实践求极值和最值的过程，摸索画图的方法，与同伴交流找出错误，实现知识完善和思维严谨上的飞跃。
解：（1）函数的定义域为.
.令，解得.
，的变化情况如表所示.
x
－ 0 ＋
单调递减 单调递增
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增.
当时，有极小值.
（2）令，解得.
当时，；当时，.
所以的图象经过特殊点，，.
当时，与一次函数相比，指数函数呈爆炸性增长，从而；
当时，，.
根据以上信息，画出的大致图象如图所示.
（3）方程的解的个数为函数的图象与直线的交点个数.
由（1）及上图可得，当时，有最小值.
所以关于方程的解的个数有如下结论：
当时，解为0个；当或时，解为1个；当时，解为2个.
思考:画出函数f(x)的大致图象的步骤 (学生活动:分组讨论总结)
画出函数f(x)的大致图象的步骤如下:
（1）求出函数的定义域；
（2）求导数及函数的零点；
（3）用的零点将的定义域划分为若干个区间，列表给出
在各区间上的正负，并得出的单调性与极值；
（4）确定的图象所经过的一些特殊点，以及图象的变化趋势；
（5）画出的大致图象.
（四）巩固训练
已知对任意恒成立，则实数a的最大值为( )
A.0 B.1 C. D.
(学生活动:思考，板演)
(教师活动:巡堂查看，及时纠错)
解析：由题意，知对任意恒成立，令，则，令，得，当时，，当时，，所以函数在
上单调递增，在上单调递减，所以最小值为，
所以，故选C。
（五）导数的实际应用
例3 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是分，其中r（单位：cm）是瓶子的半径，已知每出售1mL的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6 cm.
（1）瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？
（2）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？
解：由题意知，每瓶饮料的利润是，.
所以，令，解得.
当时，；当时，.
因此，当半径时，，单调递增，即半径越大，利润越高；
当半径时，，单调递减，即半径越大，利润越低.
（1）半经为6 cm时，利润最大.
（2）半经为2 cm时，利润最小，这时，表示此种瓶内饮料的利润
还不够瓶子的成本，此时利润是负值.
(学生活动:思考函数表达式的建立，定义域的确定，简图的获得，最值的实际意义)
(教师活动:分析，提示，PPT展示过程)
【设计意图】引导学生理性地分析和理解最值的实际意义，为未来生活或生产决策奠定数学建模的意识与基础。
（六）课堂小结
函数最值问题：一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.只要把函数的所有极值连同端点的函数值进行比较，就可以求出函数的最大值与最小值；
导数的实际应用：通过数学建模的思想找到相关变量的函数，应用导数可以求出函数的最大值或最小值，更好地为生产或生活服务。
（七）作业布置 教科书习题5.3第6，8，10题
板书设计:
目标检测设计:5.3.2函数的极值与最大（小）值
第一课时 函数的极值
一、内容与内容解析
1. 内容：极值的概念，了解函数的极值与导数的关系，运用导数方法求函数极值。
2. 内容解析：
（1）极值的概念：函数的极值本质反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质。教学时可以用高台跳水实例引入函数极值的讨论，先让学生结合实际经验，通过观察图形直观形象的得到“局部最值"的初步想法，通过对比函数的最值，引发学生的认知冲突,使学生认识到“局部最值”不同于函数最值，是一个全新的概念，从而生成函数极值的概念。需要注意的是，“在附近”的含义实际上指的是一个非常小的区间，这个区间的左端点比小，右端点比大。这个区间要多小就可以有多小，这里我们用的是自然语言来进行表述。在高等数学里我们还会用符号语言精确刻画“在附近”的含义。
（2）函数的极值与导数的关系：学生对函数的极值有了初步的了解后，学生就会面临难题，如何利用导数求函数的极值呢？这一部分主要是探究求极值的算法，虽然没有新知识和新概念的生成，但教师在教学中依然要符合学生的认知规律，要让学生认识到利用导数来求极值是通过探究自然而然形成的。先让学生观察函数极值附近两侧的图像变化，认识到函数极值点左右两侧图像变化趋势是相反的。学生知道图象的上升与下降是用单调性来刻画的，而函数单调性又可以用导数来刻画的。因此，学生自然而然地就明白函数的极值可以借助导数来求解。
（3）运用导数方法求函数极值：学生通过观察图象可以自己总结求函数极值的一般步骤，但是还是会忽略定义域，因此要强调学生注意这一点，通过例题的变式可以达到这一目标。为了能够更加简捷地求极值，教师要示范利用表格完整的书写求极值的过程。需要强调的是，在高中研究的函数都是处处可导的函数。再启发学生得出函数在一点的导数值为0是函数在这点处取得极值的必要条件，而非充分条件。并举出反例加以说明。
3. 教学重点：极大值、极小值概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤。
目标与目标解析
1. 目标：
结合函数图像，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；理解函数极值的概念，
会用导数求函数的极大值与极小值。
通过观察具体的函数图像，学生直观感知极值这一概念的生成过程，并积极主动地参与探索函
数的极值与导数值变化之间的关系的活动，亲身经历用导数研究极值方法的过程。
通过学习，学生体会导数在研究函数性质中的工具性和优越性，掌握极值是函数的局部性质，
增强数形结合的意识；通过体会成功，形成学习数学知识、了解数学文化的积极态度；通过规范地表达求函数极值的过程，养成缜密的思维习惯。
2. 目标解析：
达成上述目标的标志分别是：
（1）能够通过函数图象判断函数的极值点和极值。
（2）能够通过导函数的图象判断函数的极值点。
（3）能够利用导数求解一元三次函数的极值。
教学问题诊断解析
问题诊断
为何可以利用导数直接判断极值是第一个教学问题，也是教学难点。导数理论从产生到完备经历了几个世纪，凝聚了数学家的心血。如今学生“再创造”学习时，在没有教师的引导下，导数介入函数的极值中是很难理解。这样的''突然一跳"作为学生的探究起点，难度很大，不免给学生造成此内容好像是“帽子里跳出的兔子”。因此，探究的起点应从学生熟悉的公式或概念开始。学生对函数的极值有了初步的了解后，那么困惑产生了：如何求函数的极值呢 这一部分主要是探究求极值的算法，虽然没有新知识和新概念的生成，但依然要符合学生的认知规律。要让学生认识到利用导数来求极值是通过探究自然而然形成的。先引导学生观察函数极值附近两侧的图像变化如何？学生就能联系单调性进行想到函数的极值可以用导数来刻画。再引导学生从图象中观察得出如何区分极大值和极小值，进而得到求极值的一般步骤。 值得注意的是，中学主要探讨可导函数的极值，高等数学中极值点处导数可以不存在，如 是该函数的极小值点，但 不存在。
（2）函数在某点处的导数值为0是可导函数取得极值的必要条件，而非充分条件。这个第二个教学问题，也是教学难点。学生通过例1的讲解以及求极值的基本步骤，可以更加清楚的认识到，函数在处取得极值的充分条件是：①；②在的左右两侧导数值是异号的。然后再安排教科书上的思考导数值为0的点一定是函数的极值点吗？在学生认识到函数在某点取得极值的充分条件后，学生容易想到特例，进而得出结论：“导数值为0的点不一定是函数的极值点”。
教学难点
函数在某点取得极值的必要条件与充分条件，求可导函数的极值的步骤。
教学支持条件分析
为了理解极值的概念，只需要学生借助图象直观，进行数学抽象即可。当t=a时，运动员距水面的高
度h最大。为了让学生从图象上直观地看到t=a附近函数导数值的正负性变化，教学时可以采用信息技术工具，放大函数在t=a附近的图象。因此可以借助几何画板作为教学支持条件。先作出函数图象在t=a的左侧某点处的切线，当切点沿函数图象从t=a的左侧移动至右侧时，切线斜率由正数变到为0，再由0变到负数。
教学过程设计
情境引入
问题1 观察庐山连绵起伏的图片，思考庐山的山势有什么特点？
图1
师生活动：学生间激烈地争论着这个问题，教师再给出这节课要研究的角度，结合苏轼在《题西林壁》中的诗句“横看成岭侧成峰,远近高低各不同”，描述的是庐山的连绵起伏。由此联想庐山的连绵起伏形成好多的"峰点" 与''谷点"，这就象数学上要研究的函数的极值。
[设计意图]将学生从"要我学"被动学习情绪激发到“我要学”的积极主动的学习欲望上来，学生能够自觉地参与课堂教学的过程中来。
合作探究
问题2 观察图2和图3，函数在点处的函数值与它附近的函数值之间有什么关系？
图2 图3
师生活动：学生观察分析后发表自己的见解。教师在前面活动的基础上进行点评，函数在
点的函数值比它在点附近其他点的函数值都大，它是一个局部的概念，不同于函数的最值，为了区分函数的最值，我们要加以新的定义。然后给出极大值的概念：
函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都大，我们把叫做函数的极大值点，叫做函数的极大值。
类似地，学生给出极小值的概念：
函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都小，我们把叫做函数的极小值点，叫做函数的极小值。
教师再强调：（1）极小值点、极大值点统称为极值点, 极小值、极大值统称为极值；（2）极值点是横坐标, 极值是纵坐标。（3）“在附近”的含义实际上指的是一个非常小的区间，这个区间的左端点比小，右端点比大。这个区间要多小就可以有多小，这里我们用的是自然语言来进行表述。在高等数学里我们还会用符号语言精确刻画“在附近”的含义。
[设计意图]让学生将观察分析得到的结论用科学严谨的数学语言表达出来，有利于学生思维从感性层面提升到理性层面，培养归纳概括能力。
问题3 观察图4，找出图中的极值点，并说明哪些为极大值点，哪些为极小值点？
图 4
追问1 函数在其定义域内的极大值点和极小值点唯一吗？
追问2 区间的端点能成为极值点吗？
追问3 极大值一定大于极小值吗？
师生活动：小组讨论交流并展示后，教师再加以点评，极值刻画的是函数的局部性质，而最值刻画的是函数的整体性质，是两个不同的概念。
[设计意图]对问题进行递进式分解，有利于学生思维的有序展开。追问的设置有利于学生对概念的辨析和理解。
问题4 回到图象2、图象3，函数在极值点附近的图象变化如何？
图 2 图 3
追问1 函数图象的上升与下降可以用什么来刻画？
追问2 函数单调性可以用什么来刻画呢？
师生活动：学生观察认识到函数极值点左右两侧图像变化趋势是相反的。而图象的上升与下降是用单调性来刻画的，函数单调性又可以用导数来刻画的。接着教师利用几何画板进行演示，先作出函数图象在t=a的左侧某点处的切线，当切点沿函数图象从t=a的左侧移动至右侧时，切线斜率由正数变到为0，再由0变到负数。
追问3 如何区分极大值与极小值呢？
师生活动：放大附近函数的图像，请学生观察几何画板展示的动态过程，得到当时，函数单调递增，；当时，函数单调递减，。这样，当在的附近从小到大经过时，先正后负，且连续变化，于是有。再由学生总结求函数极值的步骤：（1）先求的零点；（2）再利用口诀：先正后负是极大值；先负后正是极小值。
[设计意图]让学生经历可以利用导数求极值这一知识的自主建构过程，借助图象直观，进行数学抽 象形成极值口诀，乘势而上，让学生自己总结求极值的基本步骤，培养学生的直观想象、数学抽象和逻辑推理等核心素养。
学以致用
例题1 求函数的极值。
师生活动：教师启发学生思考，并示范解答问题。在此基础上，引导学生归纳用导数求函数y=f (x)极值的步骤：
第1步，求出函数的定义域；
第2步，求出导数f ′(x)的零点；
第3步，用f ′(x)的零点将函数f (x)的定义域划分成若干个开区间，列表给出f ′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y=f (x)在定义域内的单调性，进而求出函数的极值。
追问：导数值为0的点一定是函数的极值点吗？
师生活动：学生在前面例题的基础上，容易想到如果导数值在这个根左右两侧同号，那么这个根不是极值点。如f (x)＝x3，f ′(0)＝0， 但x＝0不是f (x)＝x3的极值点．所以，当f ′(x0)＝0时，要判断x＝x0是否为f (x)的极值点，还要看f ′(x)在x0两侧的符号是否相反。
[设计意图]此问题是教科书第93页例6，教师通过例题解答向学生示范如何利用导数求函数的极值。让学生养成规范表达的良好习惯，学会探索利用列表法简洁明了的表达方式的方法。并让学生体会到函数在一点的导数值为0是函数在这点取极值的必要条件，而非充分条件。
例题2 函数f (x)的导函数y= f ′(x)的图象如图所示，试找出函数f (x)的极值点，并指出哪些是极大值点，哪些是极小值点。
追问：函数y= f ′(x)的极大值点和极小值点分别是什么？
师生活动：教师引导学生利用求极值的三步曲来进行判断。对于函数y= f ′(x)的极大值点和极小值点，教师要特别强调导函数也是一个函数，它也可以有极大值点和极小值点。
[设计意图]通过该例题，让学生能够通过观察导函数的图象，利用求极值的三步曲，判断出极值点的位置。也让学生明白还可以根据极值点的定义来进行判断。
当堂检测 求下列函数的极值：
(1);
(2).
【设计意图】通过习题的训练，学生进一步体会用表格的形式解题的优势。
课堂小结
请学生总结一下本节课的主要内容和思想方法。
师生活动：教师引导学生自行总结本节课的主要内容和思想方法，在此基础上，结合学生总结的情况
及时进行补充完善。
[设计意图]回顾本节课的学习内容，总结用导数求函数极值的步骤，使学生进一步体会导数在研究
函数极值中的作用，感受算法思想。
目标检测设计
检测1 函数的定义域为，导函数的图象如图所示，则函数f (x) ( )
A．无极大值点，有四个极小值点
B．有三个极大值点，两个极小值点
C．有两个极大值点，两个极小值点
D．有四个极大值点，无极小值点
[设计意图]考查学生对利用导函数的图象判断函数极值的认识。
检测2 (多选题)下列四个函数中，在x＝0处取得极值的函数是( )
A．y＝x3 B．y＝x2＋1 C．y＝|x| D．y＝2x
[设计意图]考查学生对利用函数图象判断函数极值的掌握程度。
检测3 求下列函数的极值:
(1) ;
(2) .
[设计意图]考查学生对利用导数求函数极值的步骤的掌握程度。
检测4 已知f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有极大值和极小值,求实数a的取值范围.
[设计意图]考查学生对用导数刻画函数极值的认识。
1.C [设y＝f ′(x)的图象与x轴的交点从左到右横坐标依次为x1，x2，x3，x4，则f (x)在x＝x1，x＝x3处取得极大值，在x＝x2，x＝x4处取得极小值．]
2.BC [对于A，y′＝3x2≥0，∴y＝x3单调递增，无极值；对于B，y′＝2x，x＞0时y′＞0，x＜0时y′＜0，∴x＝0为极值点；对于C，根据图象，在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减，∴C符合；对于D，y＝2x单调递增，无极值．故选BC．]
