5.2.3 简单复合函数的导数 教案

《简单复合函数的导数》教学设计
内容与内容解析
内容：复合函数的概念，简单复合函数的求导法则
内容解析：
引入简单复合函数求导法则的必要性：之前所学的简单基本函数求导法则无法满足学习需要，无法通过之前所学解决复合函数求导问题，因此，探寻解决方法，同时，在之前的认知基础上进行进一步深入
复合函数的概念：一般地，对于两个函数 和 ，如果通过中间变量可以表示成的函数，那么称这个函数为函数和 的重合函数(composite function)， 记作 ，它可以由几个基本初等函数复合而成，与基本初等函数紧密联系起来。
教学重点：简单复合函数的求导法则；
目标与目标解析
目标：
理解复合函数的概念；
掌握简单复合函数的求导法则；
会用简单复合函数的求导法则求复合函数导数
目标解析：
达成上述目标的标志分别是：
能够判断出构成复合函数的几个基本初等函数；
能够运用简单复合函数的求导法则解决问题；
会用简单复合函数的求导法则求复合函数导数
教学问题诊断解析
问题诊断
让学生体会简单复合函数的求导法则的必要性，之前所学的基本初等函数的求导已经不能够满足学习需要，因此找到探究复合函数导数的方法
教学难点：
（1）复合函数的分解，求复合函数导数
（2）利用简单复合函数求导法则解决实际问题
教学过程设计
（一）复习引入
我们之前已经学习了基本初等函数的导数和导数的四则运算法则，我们先来回顾一下：
1.基本初等函数的导数：
若
若;
若
特别地，若;
若;
特别地，若.
2.导数的四则运算法则；
1.
2.
3.
【设计意图】引导学生回顾基本初等函数的导数，为本节课作铺垫
（二）生成概念
有了以上基础后，我们来思考这样一个问题：
思考：如何求函数的导数？
我们可以发现：这个函数它与我们之前所学过的函数不同，它不能用定义求出极限，也不能够由基本初等函数通过加减乘除，因此我们就要来找寻解决该问题的方法，思考一下是否能够把它转化成我们熟悉的问题来求解。我们先来分析一下这个函数，在这个函数中，我们可以找到“熟悉的身影”，比如括号内的“”，它是一个基本初等函数，我们现在将其看作一个整体，记作，即，此时，我们就可以将整个函数看作是,我们把可以这样用中间变量表示的函数称为函数和的复合函数，记作。那么，函数就可以看作是由基本初等函数，和基本初等函数复合而成的复合函数。
【设计意图】引导学生发现复合函数与基本初等函数的联系，让学生主题发现问题，找到解决方法
那么如何去求复合函数的导数就是我们所要探究的问题：现在我们给定一个复合函数：，根据定义，，因为，，由此推得，，所以，，根据导数定义（展示导数定义），我们可以发现如果给这个分式配一个分母，有，那么，=，又因为时，，所以=f’(u)g’(x)
这样，我们就得到了简单复合函数的求导法则：
【师生活动：教师引导学生推导复合函数求导法则】
【设计意图】让学生体会简单复合函数的求导法则的推导过程，经历主动探索的过程
（三）课堂巩固
例1：求函数的导数
这样，我们可以得到求函数导数的方法，因为函数可以看作是由基本初等函数，和基本初等函数复合而成的复合函数，所以， ，这个式子可否作为结果？只是我们所设的中间量，函数对进行求导，因此，我们应当将代回，
练习1：1、（2021·全国·高二课时练习）将下列复合函数分解成基本初等函数并求其导数：
①
②
③；
④
⑤
⑥．
【分析】直接利用导数的运算法则、基本初等函数的导数公式以及简单复合函数的导数计算法则求解．
（1）解：，；
（2）解：因为，所以
（3）解：因为，所以
（4）解：因为，所以
（5）解：因为，所以
（6）解：因为，所以
【学生活动】：总结求复合函数的一般步骤：
观察复合函数，判断构成复合函数的几个基本初等函数；
利用中间变量对复合函数进行求导；
将中间变量代回，得到关于自变量的导数。
2、（2021·广东·东莞市光明中学高二阶段练习）下列函数在定义域上为增函数的有（ ）
A． B． C． D．
【分析】
通过求导可知选项A、B的导函数分别为、，利用导数的性质可以分析其在整个定义域上不单调.然后根据选项C、D的导函数分别判断得出、，其在整个定义域上是单调的，故可选出答案.
【详解】
A．函数定义域为，，当时，，当时，，所以在定义域为不是增函数，故A错误.
B．函数定义域为，，当时，，当时，，所以在定义域为不是增函数，故B错误.
C．函数定义域为，，所以在定义域为是增函数，故C正确.
D．函数定义域为，，当且仅当，即时，等号成立，所以在定义域为是增函数，故D正确.
故选：CD
3、（2021·全国·高二单元测试）已知函数，则（ ）
A． B．3 C． D．2
【设计意图】引导学生掌握复合函数求导方法，总结复合函数求导的一般规律、过程
【分析】
先求函数的导函数，然后求出，再求值即可.
【详解】
解：由，求导可得，
则，
则函数的解析式为，
所以，，
则，
故选：B.
例题2：（2021·北京育才学校高三阶段练习）曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【分析】
求出导数，求得切线的斜率，即可求得答案.
【详解】
∵，
∴，
∴，
又，
∴曲线在点处的切线方程为.
故选：D.
练习2：
1、（2021·全国·高二课时练习）函数在处的导数是______．
【分析】
将函数解析式展开，再求导，之后代入即可得到结果.
【详解】
将函数解析式展开得到：，求导得，
所以．
故答案为：6.
【设计意图】让学生学会运用简单复合函数的求导法则
2、（2019·湖南·高二期末（理））已知函数，则过原点且与曲线相切的直线方程为____________.
【分析】
设切点坐标为，利用导数求出曲线在切点的切线方程，将原点代入切线方程，求出的值，于此可得出所求的切线方程．
【详解】
设切点坐标为，，，，
则曲线在点处的切线方程为，
由于该直线过原点，则，得，
因此，则过原点且与曲线相切的直线方程为，故答案为．
【学生活动】总结：过点作函数图象的切线方程求解思路：
（1）先设切点坐标，并利用导数求出切线方程；
（2）将所过点的坐标代入切线方程，求出参数的值，可得出切点的坐标；
（3）将参数的值代入切线方程，可得出切线的方程．
（四）总结提升
回顾本堂课，我们是怎么推导简单复合函数的求导法则的？
求复合函数的一般步骤是什么？
利用简单复合函数的求导法则可以解决怎样的问题？
【学生活动】学生回顾本节课内容，思考以上问题
【设计意图】引导学生梳理本节课的研究问题和研究思路