7.1.1 数系的扩充和复数的概念 课后训练（含解析）-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第七章　7.1　7.1.1 数系的扩充和复数的概念
A级——基础过关练
1．(多选)对于复数a＋bi(a，b∈R)，下列说法错误的有(　　)
A．若a＝0，则a＋bi为纯虚数
B．若a＋(b－1)i＝3－2i，则a＝3，b＝－2
C．若b＝0，则a＋bi为实数
D．i的平方等于1
2．已知a为实数，若复数z＝(a2－9)＋(a＋3)i为纯虚数，则复数z的虚部为(　　)
A．3　　 B．6i　　
C．±3　　 D．6
3．若(x＋y)i＝x－1(x，y∈R，i为虚数单位)，则2xy的值为(　　)
A． B．2
C．0 D．1
4．复数a＋1＋(a－1)i是实数，其中i为虚数单位，则实数a等于(　　)
A．－1　　 B．1　　
C．0　　 D．2
5．已知关于x的方程(x2＋mx)＋2xi＝－2－2i(m∈R)有实数根n，且z＝m＋ni，则复数z＝(　　)
A．3＋i B．3－i
C．－3－i D．－3＋i
6．复数z＝a2－b2＋(a＋|a|)i(a，b∈R)为实数的充要条件是(　　)
A．|a|＝|b| B．a＜0且a＝－b
C．a＞0且a≠b D．a≤0
7．(2024年天津河西区模拟)已知a，b∈R，a＋3i＝(b＋i)i(i为虚数单位)，则a＋b＝________．
8．(2024年四平期中)已知复数z＝(m2－3m＋2)＋(m2＋3m－10)i是纯虚数，其中i为虚数单位，则实数m的值为________．
9．已知z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i，m∈R，z2＝3－2i，则m＝1是z1＝z2的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)
10．实数m为何值时，复数z＝＋(m2＋2m－3)i分别是下列数？
(1)实数；
(2)虚数；
(3)纯虚数．
B级——综合运用练
11．(多选)(2024年南京鼓楼区期中)已知复数z＝cos α＋icos 2α(0＜α＜2π)的实部与虚部互为相反数，则α的取值可能为(　　)
A． B．
C．π D．
12．定义运算＝ad－bc，如果(x＋y)＋(x＋3)i＝，那么x＝______，y＝________．
13．(2024年新乡凤泉区月考)(1)复平面内，若z＝m2(1＋i)－m(4＋i)－6i是纯虚数，求m的值；
(2)1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并提出以下公式eix＝cos x＋isin x，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．根据此公式，求eiπ＋1的值．
C级——创新拓展练
14．(2024年武汉月考)已知复数z1＝3－m2＋(m－)i，z2＝μ＋sin θ＋(cos θ－)i，其中i是虚数单位，m，μ，θ∈R．
(1)若z1为纯虚数，求m的值；
(2)若z1＝z2，求μ的取值范围．
参考答案
【A级——基础过关练】
1.【答案】ABD
【解析】对于A，当a＝0时，a＋bi也可能为实数；对于B，若a＋(b－1)i＝3－2i，则a＝3，b＝－1；对于D，i的平方为－1．故选ABD．
2.【答案】D
【解析】∵z＝(a2－9)＋(a＋3)i为纯虚数，
∴解得a＝3．∴z＝6i，则复数z的虚部为6．故选D．
3.【答案】A
【解析】由复数相等的充要条件知，解得∴xy＝－1．
∴2xy＝2－1＝．
4.【答案】B
【解析】∵复数a＋1＋(a－1)i是实数，∴a－1＝0，解得a＝1．故选B．
5.【答案】B
【解析】由题意知(n2＋mn)＋2ni＝－2－2i，n∈R，即解得∴z＝3－i．
6.【答案】D
【解析】复数z为实数的充要条件是a＋|a|＝0，即|a|＝－a，得a≤0．故选D．
7.【答案】2
【解析】a＋3i＝(b＋i)i＝－1＋bi，所以a＝－1，b＝3，故a＋b＝2．
8.【答案】1
【解析】由已知可得解得m＝1．
9.【答案】充分不必要
【解析】当z1＝z2时，必有m2＋m＋1＝3，m2＋m－4＝－2，解得m＝－2或m＝1，显然m＝1是z1＝z2的充分不必要条件．
10.解：(1)要使z是实数，m需满足m2＋2m－3＝0，且有意义，即m－1≠0，解得m＝－3．
(2)要使z是虚数，m需满足m2＋2m－3≠0，且有意义，即m－1≠0，解得m≠1且m≠－3．
(3)要使z是纯虚数，m需满足＝0，m－1≠0且m2＋2m－3≠0，解得m＝0或m＝－2．
【B级——能力提升练】
11.【答案】ACD
【解析】因为复数z＝cos α＋icos 2α(0＜α＜2π)的实部与虚部互为相反数，所以cos α＝－cos 2α，则有2cos2α＋cos α－1＝0，解得cos α＝－1或cos α＝．因为0＜α＜2π，所以α＝π或或．
12.【答案】－1　2
【解析】由定义运算＝ad－bc，得＝3x＋2y＋yi，故有(x＋y)＋(x＋3)i＝3x＋2y＋yi．因为x，y为实数，所以有得解得
13.解：(1)∵z＝m2(1＋i)－m(4＋i)－6i，∴z＝m2－4m＋(m2－m－6)i．∵z为纯虚数，
∴解得m＝0或m＝4．
(2)∵eix＝cos x＋isin x，∴eiπ＋1＝cos π＋isin π＋1＝0．
【C级——创新拓展练】
14.解：(1)∵z1为纯虚数，∴
∴m＝－．
(2)∵z1＝z2，∴
∴μ＝－cos2θ－sin θ＋3＝sin2θ－sin θ＋2＝2＋．
∵sin θ∈[－1,1]，当sin θ＝时，μmin＝；
当sin θ＝－1时，μmax＝4．∴μ∈．