7.1.2 复数的几何意义 课后训练（含解析）-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第七章　7.1　7.1.2 复数的几何意义
A级——基础过关练
1．已知复数z＝a＋a2i(a＜0)，则复数z在复平面内对应的点在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2．已知i是虚数单位，在复平面内，复数－2＋i和1－3i对应的点之间的距离是(　　)
A． B．
C．5 D．25
3．设(2＋i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则|x＋yi|＝(　　)
A．　　　 B．　　　
C．1　　　 D．
4．已知复数z满足|z|2－2|z|－3＝0，则复数z对应的点Z的集合表示的图形是(　　)
A．一个圆 B．线段
C．两点 D．两个圆
5．在复平面内，复数z对应的点在第四象限，对应的向量的模为3，且实部为，则复数z＝(　　)
A．3－i B．－3i
C．2－i D．－2i
6．(多选)(2024年威海一中月考)已知m∈R，复数z1＝m＋3i，z2＝z1＋4－2i，且z2为纯虚数，复数z1的共轭复数为1，则(　　)
A．m＝－4 B．|z2|＝2
C．1＝－4－3i D．复数1的虚部为－3i
7．若复数z1＝2＋bi与复数z2＝a－4i(a，b∈R)互为共轭复数，则a＝________，b＝________．
8．若复数z对应的点在直线y＝2x上，且|z|＝，则复数z＝________．
9．已知复数z＝1－2mi(m∈R)，且|z|≤2，则实数m的取值范围是________．
10．实数m分别取什么数值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i满足下列条件？
(1)对应点在实轴上方；
(2)对应点在直线y＝－x－5上．
B级——综合运用练
11．(2024年西安碑林区月考)设A，B为锐角三角形的两个内角，则复数z＝(cos B－sin A)＋itan B对应的点位于复平面的(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
12．已知复数z＝ln(m2＋2m－14)＋(m2－m－6)i(i为虚数单位)，若复数z是实数，则实数m＝________；若复数z对应的点位于复平面的第二象限，则实数m的取值范围为________．
13．已知复数z＝(1＋2m)＋(3＋m)i(m∈R)．
(1)若m＝1，且||＝|x＋(x－1)i|，求实数x的值；
(2)求当m为何值时，||最小，并求||的最小值．
C级——创新拓展练
14．已知x为实数，复数z＝x－2＋(x＋2)i．
(1)当x为何值时，复数z的模最小？
(2)当复数z的模最小时，复数z在复平面内对应的点Z位于函数y＝－mx＋n的图象上，其中mn＞0，求＋的最小值及取得最小值时m，n的值．
参考答案
【A级——基础过关练】
1.【答案】B
【解析】因为a＜0，所以复数z＝a＋a2i对应的点(a，a2)位于第二象限．
2.【答案】C
【解析】由于复数－2＋i和1－3i对应的点分别为(－2,1)，(1，－3)，因此由两点间的距离公式，得这两点间的距离为＝5．故选C．
3.【答案】B
【解析】因为x，y∈R，(2＋i)x＝2x＋xi＝1＋yi，所以x＝y＝，|x＋yi|＝|＋i|＝＝，故选B．
4.【答案】A
【解析】∵|z|2－2|z|－3＝0，∴(|z|－3)(|z|＋1)＝0，∴|z|＝3，∴复数z对应的点Z的集合是以原点O为圆心，3为半径的一个圆．
5.【答案】D
【解析】由题意可设复数z＝＋yi(y∈R，y＜0)，则＝3，所以y＝－2，复数z＝－2i．故选D．
6.【答案】AC
【解析】由题可知z2＝m＋3i＋4－2i＝(4＋m)＋i，对于A，因为z2为纯虚数，所以m＝－4，故A正确；对于B，|z2|＝1，故B错误；对于C，1＝－4－3i，故C正确；对于D，复数1的虚部为－3，故D错误．故选AC．
7.【答案】2　4
【解析】因为z1与z2互为共轭复数，所以a＝2，b＝4．
8.【答案】1＋2i或－1－2i
【解析】依题意可设复数z＝a＋2ai(a∈R)，由|z|＝，得＝，解得a＝±1，故z＝1＋2i或z＝－1－2i．
9.【答案】
【解析】|z|＝≤2，解得－≤m≤．
10.解：(1)由m2－2m－15＞0，得当m＜－3或m＞5时，z的对应点在实轴上方．
(2)由(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)＋5＝0，得当m＝或m＝时，z的对应点在直线y＝－x－5上．
【B级——能力提升练】
11.【答案】B
【解析】因为A，B为锐角三角形的两个内角，所以0＜A＜，0＜B＜，A＋B＞，则＞A＞－B＞0，故sin A＞sin＝cos B，故cos B－sin A＜0，又tan B＞0，则复数z＝(cos B－sin A)＋itan B对应的点位于第二象限．故选B．
12.【答案】3　(－5，－1－)
【解析】若复数z是实数，则解得m＝3．若复数z对应的点位于复平面的第二象限，则即
即
解得－5＜m＜－1－．
13.解：(1)由m＝1，得z＝3＋4i，＝3－4i，
则由||＝|x＋(x－1)i|，
得＝，整理得x2－x－12＝0，解得x＝4或x＝－3．
(2)||＝＝
＝≥，
当且仅当m＝－1时，||取得最小值，最小值为．
【C级——创新拓展练】
14.解：(1)|z|＝＝≥2，当且仅当x＝0时，复数z的模最小，为2．
(2)当复数z的模最小时，Z(－2,2)．
又因为点Z位于函数y＝－mx＋n的图象上，
所以2m＋n＝2．
又因为mn＞0，所以＋＝＝＋＋≥＋，当且仅当n2＝2m2时等号成立．
又因为2m＋n＝2，
所以m＝2－，n＝2－2．
所以＋的最小值为＋，此时m＝2－，n＝2－2．