7.2.2 复数的乘、除运算 课后训练（含解析）-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第七章　7.2　7.2.2 复数的乘、除运算
A级——基础过关练
1．若复数z满足＝i，其中i为虚数单位，则z＝(　　)
A．1－i　　　 B．1＋i
C．－1－i　　　 D．－1＋i
2．(2024年浏阳模拟)已知复数z＝2＋i，则＝(　　)
A．－ B．－－
C．＋　 D．－＋
3．(2024年惠州月考)设复数z＝(i为虚数单位)，则在复平面内对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
4．(2024年常州天宁区月考)若z(1＋i)＝2＋3i，则复数z的共轭复数的虚部是(　　)
A．－i B．－
C．i D．
5．(多选)下面是关于复数z＝(i为虚数单位)的命题，其中真命题有(　　)
A．|z|＝2 B．z2＝2i
C．z的共轭复数为1＋i D．z的虚部为－1
6．(2024年荆州模拟)在复数范围内，方程z2＝3＋2i的解有(　　)
A．0个 B．1个
C．2个 D．无数个
7．(2024年成都青羊区模拟)设z＝2－i，则的虚部为________．
8．已知i为虚数单位，若复数z＝，z的共轭复数为，则z·＝________．
9．(2024年上海浦东新区四模)已知方程x2－2x＋p＝0(p∈R)的一个根是1＋i(i是虚数单位)，则p＝________．
10．计算：
(1)(2－i)(3＋i)；
(2)．
B级——综合运用练
11．(多选)(2024年成都青羊区期中)已知复数z满足z(1＋i)＝4－2i(i为虚数单位)，下列说法正确的有(　　)
A．复数z在复平面内对应的点在第四象限
B．＝－1－3i
C．|z|＝
D．i2 024＝－1
12．(2024年南阳一中月考)已知复数z1＝a(a－3i)，z2＝－a＋(a2＋2)i(a∈Z)，且|z1＋z2|＝2，则a＝________．
13．(2024年文昌校级期中)已知复数z1＝4＋mi(m∈R)，且1·(1－2i)为纯虚数．
(1)求复数z1；
(2)若z2＝，求复数2及|z2|．
C级——创新拓展练
14．若虚数z同时满足下列两个条件：
①z＋是实数；
②z＋3的实部与虚部互为相反数．
这样的虚数是否存在？若存在，求出z；若不存在，请说明理由．
参考答案
【A级——基础过关练】
1.【答案】A
【解析】由题意＝i(1－i)＝1＋i，所以z＝1－i．故选A．
2.【答案】D
【解析】因为z＝2＋i，所以＝2－i，所以＝＝＝＝－＋i．故选D．
3.【答案】B
【解析】z＝＝＝＝－2－i，则＝－2＋i，可得对应点的坐标为
(－2,1)，位于第二象限．故选B．
4.【答案】B
【解析】因为z(1＋i)＝2＋3i，所以z＝＝＝＝＋i，所以复数z的共轭复数＝－i，它的虚部是－．故选B．
5.【答案】BD
【解析】∵z＝＝＝－1－i，∴|z|＝，A错误；z2＝2i，B正确；z的共轭复数为－1＋i，C错误；z的虚部为－1，D正确．故选BD．
6.【答案】C
【解析】设z＝a＋bi(a，b都是实数)，则z2＝3＋2i＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi，所以a2－b2＝3，ab＝1，联立得，a2＝，即a的值有两个，对应的b也有两个．故选C．
7.【答案】
【解析】z＝2－i，则|z|2＝22＋(－1)2＝5，z2＝3－4i，故＝＝＝＋i，其虚部为．
8.【答案】1
【解析】依题意，得z＝＝i，所以＝－i．所以z·＝i·(－i)＝1．
9.【答案】4
【解析】因为方程x2－2x＋p＝0(p∈R)的一个根是1＋i，所以另一个根为1－i，根据方程的根与系数关系可得，p＝(1＋i)(1－i)＝4．
10.解：(1)(2－i)(3＋i)＝(7－i)＝＋i．
(2)＝＝＝＝＝－2－2i．
【B级——能力提升练】
11.【答案】AC
【解析】因为z(1＋i)＝4－2i，所以z＝＝＝1－3i，所以z对应点(1，－3)在第四象限，故A正确；＝1＋3i，故B错误；|z|＝＝，故C正确；i2 024＝(i4)506＝1，故D错误．故选AC．
12.【答案】－1或3
【解析】复数z1＝a(a－3i)＝a2－3ai，z2＝－a＋(a2＋2)i(a∈Z)，可得z1＋z2＝a2－a＋(a2－3a＋2)i，|z1＋z2|＝＝2，即a2(a－1)2＋(a－2)2(a－1)2＝40，即(a－1)2(2a2－4a＋4)＝40，故(a－1)2[(a－1)2＋1]＝20．因为a∈Z，所以(a－1)2＋1∈Z，(a－1)2∈Z且(a－1)2≥0．因为20＝4×5＝22×(22＋1)，所以(a－1)2＝4，解得a＝－1或a＝3．
13.解：(1)z1＝4＋mi，则1＝4－mi，1·(1－2i)＝(4－mi)·(1－2i)＝4－2m－(8＋m)i．
又因为其为纯虚数，
所以4－2m＝0,8＋m≠0，解得m＝2，故z1＝4＋2i．
(2)z2＝＝＝＝＝＝－1＋2i，
则|z2|＝＝，2＝－1－2i．
【C级——创新拓展练】
14.解：这样的虚数存在，z＝－1－2i或z＝－2－i．
理由如下：
设z＝a＋bi(a，b∈R且b≠0)，
则z＋＝a＋bi＋＝a＋bi＋＝＋i．
∵z＋是实数，∴b－＝0．
又∵b≠0，∴a2＋b2＝5．①
又z＋3＝(a＋3)＋bi的实部与虚部互为相反数，
∴a＋3＋b＝0．②
联立①②得解得或
故存在虚数z，z＝－1－2i或z＝－2－i满足条件．