7.3 复数的三角表示 课后训练（含解析）-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第七章　7.3　复数的三角表示
A级——基础过关练
1．复数－i的三角形式是(　　)
A．cos＋isin B．cos＋isin
C．cos－isin D．cos＋isin
2．复数sin 50°－isin 140°的辐角的主值是(　　)
A．150°　　　 B．40°
C．－40°　　　 D．320°
3．复数sin 4＋icos 4的辐角的主值为(　　)
A．4　　　 B．－4
C．2π－4　　 D．－4
4．若复数cos θ＋isin θ和sin θ＋icos θ相等，则θ的值为(　　)
A．　　 B．或
C．2kπ＋(k∈Z)　 D．kπ＋(k∈Z)
5．如果θ∈，那么复数(1＋i)(cos θ－isin θ)的三角形式是(　　)
A． B．[cos(2π－θ)＋isin(2π－θ)]
C． D．
6．若复数z＝(a＋i)2的辐角的主值是，则实数a的值是(　　)
A．1　　　 B．－1
C．－　　 D．－
7．÷＝________．
8．把复数1＋i对应的向量按顺时针方向旋转，所得到的向量对应的复数是________．
9．设复数z1＝1＋i，z2＝＋i，则的辐角的主值是________．
10．设复数z1＝＋i，复数z2满足|z2|＝2，已知z1z的对应点在虚轴的负半轴上，且arg z2∈(0，π)，求z2的代数形式．
B级——综合运用练
11．设π＜θ＜，则复数的辐角的主值为(　　)
A．2π－3θ　　　 B．3θ－2π
C．3θ　　　 D．3θ－π
12．已知z＝－2i，z1－z2＝0，arg z2＝，若z1，z2在复平面内分别对应点A，B，且|AB|＝，则z1＝________，z2＝________．
13．设O为复平面的原点，A，B为单位圆上两点，A，B所对应的复数分别为z1，z2，z1，z2的辐角的主值分别为α，β．若△AOB的重心G对应的复数为＋i，求tan(α＋β)．
C级——创新拓展练
14．(多选)1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写下公式eix＝cos x＋isin x(x∈R，i为虚数单位)，这个公式在复变函数中有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，据此公式，则有(　　)
A．eiπ＋1＝0 B．2 028＝1
C．|eix＋e－ix|≤2 D．－2≤eix－e－ix≤2
参考答案
【A级——基础过关练】
1.【答案】A
【解析】－i＝cosπ＋isinπ＝cos＋isin＝cos＋isin．
2.【答案】D
【解析】sin 50°－isin 140°＝cos(270°＋50°)＋isin(180°＋140°)＝cos 320°＋isin 320°，故辐角的主值为320°．
3.【答案】D
【解析】sin 4＋icos 4＝cos＋isin．
4.【答案】D
【解析】因为cos θ＋isin θ＝sin θ＋icos θ，所以cos θ＝sin θ，即tan θ＝1．所以θ＝＋kπ(k∈Z)．
5.【答案】A
【解析】因为1＋i＝，cos θ－isin θ＝cos(2π－θ)＋isin(2π－θ)，所以(1＋i)(cos θ－isin θ)＝＝．
6.【答案】B
【解析】因为z＝(a＋i)2＝(a2－1)＋2ai，arg z＝，所以所以a＝－1．故选B．
7.【答案】－＋i
【解析】÷＝÷＝×＝2＝－＋i．
8.【答案】1－i
【解析】(1＋i)·＝·
＝＝
＝1－i．
9.【答案】
【解析】由题知，z1＝2，z2＝2，所以的辐角的主值为－＝．
10.解：因为z1＝2，设z2＝2(cos α＋isin α)，α∈(0，π)，所以z1z＝8．
由题设知2α＋＝2kπ＋(k∈Z)，
所以α＝kπ＋(k∈Z)．又因为α∈(0，π)，所以α＝．
所以z2＝2＝－1＋i．
【B级——能力提升练】
11.【答案】B
【解析】＝＝cos 3θ＋isin 3θ．因为π＜θ＜，所以3π＜3θ＜．所以π＜3θ－2π＜．故选B．
12.【答案】－＋i　＋i
【解析】由题设知z＝1－i，因为|AB|＝，即|z1－z2|＝，所以|z1－z2|＝|z2－z2|＝|(1＋i)z2－z2|＝|iz2|＝|z2|＝．又因为arg z2＝，所以z2＝＝＋i，z1＝z2＝(1＋i)z2＝×＝2＝－＋i．
13.解：由题意可设z1＝cos α＋isin α，z2＝cos β＋isin β．
因为△AOB的重心G对应的复数为＋i，
所以＝＋i，即
所以所以tan＝．故tan(α＋β)＝＝．
【C级——创新拓展练】
14.【答案】ABC
【解析】当x＝π时，因为eiπ＝cos π＋isin π＝－1，所以eiπ＋1＝0，故A项正确；
2 028＝2 028＝2 028＝e676πi＝cos 676π＋isin 676π＝1，故B项正确；由eix＝cos x＋isin x，e－ix＝cos(－x)＋isin(－x)＝cos x－isin x，所以eix＋e－ix＝2cos x，得出|eix＋e－ix|＝|2cos x|≤2，故C项正确；由C项的分析得eix－e－ix＝2isin x，推不出－2≤eix－e－ix≤2，故D项错误．故选ABC．