第七章　复数 章末检测（含解析）-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

复数
章末检测
(时间：120分钟，满分150分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知z＝3－5i，则1－2i－z等于(　　)
A．z－1 B．z＋1
C．2－3i D．－2＋3i
2．(2024年佛山月考)若复数z＝(i为虚数单位)，则复数z＋1在复平面内对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．(2024年攀枝花三模)已知复数z＝(a＋1)－ai(a∈R)，则|z|＝1是a＝0的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．(2024年成都青羊区模拟)已知复数z满足z(1＋i)＝2i，则z的共轭复数等于(　　)
A．1＋i B．1－i
C．－1＋i D．－1－i
5．(2024年浠水四模)已知i为虚数单位，(1－i)(2－i)＋i＝a＋bi(a，b∈R)，则ab＝(　　)
A．1 B．2
C．－2 D．－1
6．已知i是虚数单位，复数m＋1＋(2－m)i在复平面内对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1)　　 B．(－1,2)
C．(2，＋∞)　　 D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
7．(2024年中山模拟)在复数范围内，z1，z2是方程z3＋z2＋z＋1＝0的两个不同的复数根，则|z1－z2|的值为(　　)
A．1 B．
C．2 D．或2
8．(2024年西安莲湖区模拟)已知i为虚数单位，且＝cos θ＋isin θ，θ∈(0,2π)，则θ＝(　　)
A． B．
C． D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．
9．给出下列复平面内的点，这些点中对应的复数为虚数的为(　　)
A．(－2,0) B．(3,1)
C．(0,4) D．(－1，－5)
10．(2024年肇庆期末)已知复数z＝2－3i，则下列命题为真命题的有(　　)
A．z的虚部为－3
B．|z|＝
C．z·i10＝
D．若z是关于x的方程x2＋px＋q＝0(p，q∈R)的一个根，则p＋q＝9
11．(2024年泉州模拟)若|z－1|＝|z－i|，则(　　)
A．|z＋1|＝|z＋i| B．|－1|＝|＋i|
C．z＋＝0　　 D．z2是纯虚数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．(2024年开平期中)若z是复数，z＝，则＝________．
13．已知复数z＝，i为虚数单位，则z的共轭复数＝________．
14．(2024年长沙岳麓区模拟)已知复数z满足1≤|z|≤2，则z在复平面内对应的点形成区域的面积为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)(2024年临汾期中)已知复数z1＝a2＋(2－a)i，z2＝－1＋(3－2a)i，z3＝2－mi(a，m∈R)，且1＋z2是纯虚数．
(1)求a的值；
(2)若复数z1，z2，z3在复平面内对应的点分别为A，B，C，且A，B，C三点共线，求m的值．
16．(15分)实数m取什么数值时，复数z＝＋(m2－1)i分别是下列数？
(1)实数；
(2)纯虚数．
17．(15分)(2024年高州月考)已知复数z＝＋(2＋i)2(i是虚数单位)．
(1)求复数z的共轭复数和模；
(2)若2－az＝3＋6i＋b(a，b∈R)，求a，b的值．
18．(17分)(2024年西安碑林区期中)已知复数z＝m2－4m＋3＋(m2－3m＋2)i(i为虚数单位，m∈R)．
(1)若z为实数，求m的值；
(2)若z为纯虚数，z是关于x的方程x2－(3＋2i)x＋6i＝0的一个根，求方程的另一根．
19．(17分)(2024年广州期中)已知a∈R，复数z1＝a－1＋i，z2＝1－i，z3＝－1在复平面上对应的点分别为A，B，C，O为坐标原点．
(1)求|z1＋z2|的取值范围；
(2)当A，B，C三点共线时，求三角形AOB的面积．
参考答案
选择题
1.【答案】D
【解析】1－2i－z＝1－2i－(3－5i)＝－2＋3i．
2.【答案】A
【解析】依题意得z＝＝＝＋i，则z＋1＝＋i，所以复数z＋1在复平面内对应的点，位于第一象限．故选A．
3.【答案】B
【解析】∵z＝(a＋1)－ai(a∈R)，|z|＝1，∴(1＋a)2＋a2＝1，解得a＝0或a＝－1．故|z|＝1是a＝0的必要不充分条件．故选B．
4.【答案】B
【解析】由z(1＋i)＝2i，得z＝＝＝1＋i，则z的共轭复数＝1－i．故选B．
5.【答案】C
【解析】依题意，a＋bi＝1－3i＋i＝1－2i，而a，b∈R，则a＝1，b＝－2，所以ab＝－2．故选C．
6.【答案】A
【解析】∵复数m＋1＋(2－m)i在复平面内对应的点在第二象限，∴解得m＜－1．∴实数m的取值范围是(－∞，－1)．故选A．
7.【答案】D
【解析】由z3＋z2＋z＋1＝0，得z2(z＋1)＋z＋1＝(z2＋1)(z＋1)＝0，因为i2＝－1，所以z＝±i或－1，所以|z1－z2|的值为或2．故选D．
8.【答案】C
【解析】由＝＝＝－－i，且＝cos θ＋isin θ，θ∈(0,2π)，∴θ∈(0,2π)，得θ＝．故选C．
多项选择题
9.【答案】BCD
【解析】易知选项A，B，C，D中的点对应的复数分别为－2,3＋i,4i，－1－5i，因此B，C，D中的点对应的复数为虚数．
10.【答案】ABD
【解析】z＝2－3i，z的虚部为－3，故A正确；|z|＝＝，故B正确；z·i10＝(2－3i)·(－1)＝－2＋3i，＝2＋3i，故C错误；若z是关于x的方程x2＋px＋q＝0(p，q∈R)的一个根，则也是关于x的方程x2＋px＋q＝0(p，q∈R)的另一个根，∴解得∴p＋q＝9，故D正确．故选ABD．
11.【答案】AB
【解析】设z＝a＋bi(a，b∈R)，|z－1|＝|z－i|，则|a－1＋bi|＝|a＋(b－1)i|，即(a－1)2＋b2＝a2＋(b－1)2，化简整理可得a＝b，|z＋1|＝|a＋1＋bi|＝(a＋1)2＋b2，|z＋i|＝|a＋(b＋1)i|＝a2＋(b＋1)2，又a＝b，故|z＋1|＝|z＋i|，故A正确；|－1|＝|a－1－bi|＝，|＋i|＝|a＋(1－b)i|＝，a＝b，故|－1|＝|＋i|，故B正确；z＋＝a＋bi＋a－bi＝2a，故C错误；当z＝0时，满足|z－1|＝|z－i|，但z2＝0不为纯虚数，故D错误．故选AB．
填空题
12.【答案】－＋i
【解析】∵z＝＝＝＝－－i，∴＝－＋i．
13.【答案】－i
【解析】(方法一)z＝＝＝i，所以z的共轭复数为－i．
(方法二)z＝＝＝＝i，所以z的共轭复数为－i．
14.【答案】3π
【解析】1≤|z|≤2的几何意义为z对应的点到原点的距离d∈[1,2]，形成区域为以原点为圆心，以1和2为半径的圆所围成的圆环，故所求区域面积S＝(22－12)π＝3π．
解答题
15.解：(1)复数z1＝a2＋(2－a)i，z2＝－1＋(3－2a)i(a∈R)，
可得1＋z2＝a2＋(a－2)i－1＋(3－2a)i＝a2－1＋(1－a)i，
由题意得解得a＝－1．
(2)由(1)可得z1＝1＋3i，z2＝－1＋5i，z3＝2－mi，
则A(1,3)，B(－1,5)，C(2，－m)，
∴＝(－2,2)，＝(1，－m－3)．
∵A，B，C三点共线，∴∥．
∴(－2)×(－m－3)＝1×2，解得m＝－2．
16.解：(1)由m2－1＝0且m＋1≠0，得m＝1，
∴当m＝1时，z是实数．
(2)由解得m＝－2．
∴当m＝－2时，z是纯虚数．
17.解：(1)z＝＋(2＋i)2＝＋4＋4i＋i2＝＋3＋4i＝4＋6i，
则复数z的共轭复数＝4－6i，|z|＝＝2．
(2)因为2－az＝3＋6i＋b，
即2－a(4＋6i)＝3＋6i＋b，
即－5－4(12＋6a)i＝3＋b＋6i，
所以－5－4a＝3＋b且－12－6a＝6，解得a＝－3，b＝4．
18.解：(1)z＝m2－4m＋3＋(m2－3m＋2)i，则m2－3m＋2＝0，解得m＝1或2．
(2)若z为纯虚数，
则解得m＝3，
故z＝2i，z是关于x的方程x2－(3＋2i)x＋6i＝0的一个根，则方程的另一根为＝3．
19.解：(1)因为z1＋z2＝a－i，a∈R，
所以|z1＋z2|＝≥＝2，当且仅当a＝±时等号成立，
故|z1＋z2|的取值范围是[2，＋∞)．
(2)由题意有A(a－1,1)，B，C(－1,0)三点共线，
∴kAC＝kBC，即＝，解得a＝－4．
∴A(－5,1)，B，即＝(－5,1)，＝．
∴cos∠AOB＝＝＝－．
∴sin∠AOB＝．
∴S△AOB＝||||sin∠AOB＝×××＝．