8.2 立体图形的直观图 课后训练（含解析）-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第八章　8.2 立体图形的直观图　
A级——基础过关练
1．如图，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，其中A′B′＝A′C′，A′B′∥x′轴，A′C′∥y′轴，则△ABC是(　　)
A．等腰三角形　　 B．直角三角形
C．等边三角形　　 D．钝角三角形
2．(2024年大庆让胡路区期中)如图所示的是水平放置的△ABC的直观图，其中A′O′＝B′O′＝C′O′＝1，则原△ABC是一个(　　)
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
3．(多选)(2024年六安一中期中)如图所示的是水平放置的三角形的直观图，D′是△A′B′C′中B′C′边上的一点，且D′C′＜D′B′．如果A′D′∥y′轴，那么原△ABC中AB，AD，AC这三条线段中(　　)
A．最长的是AB B．最长的是AC
C．最短的是AC D．最短的是AD
4．如图，某四边形的直观图是上底为2，下底为4，高为1的等腰梯形，则原四边形的面积为(　　)
A．4　　 B．4
C．6　　 D．6
5．已知△ABC的平面直观图△A′B′C′是斜边长为4的等腰直角三角形，那么△ABC的面积为(　　)
A．8　　　 B．8
C．16　　 D．16
6．(2024年邯郸期中)如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形O′A′B′C′，且O′A′∥B′C′，O′A′＝2B′C′＝4，A′B′＝2，则该平面图形的高为(　　)
A．2　 B．2
C．4　 D．
7．(2024年深圳龙岗区期中)如图，水平放置的△ABC的斜二测直观图是图中的△A′B′C′，若A′C′＝3，B′C′＝2，则边AB的实际长度为________．
8．有一个长为4 cm，宽为3 cm的矩形，则其直观图的面积为________cm2．
9．如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6，O′C′＝3，B′C′∥x′轴，则原平面图形的面积为________．
10．如图，已知水平放置的平面图形的直观图是一等腰直角三角形ABC，且AB＝BC＝1，试画出它的原图形，并求出直观图和原图形的面积．
B级——综合运用练
11．(2024年重庆九龙坡区期中)如图，△A′B′C′是水平放置的△ABC斜二测画法的直观图，△A′B′C′的边A′C′＝6，B′C′＝4，则原△ABC中∠A的平分线长度是(　　)
A．2　 B．3
C．4　 D．3
12．如图所示的水平放置的三角形的直观图，D′是△A′B′C′中B′C′边的中点，且A′D′平行于y′轴，那么A′B′，A′D′，A′C′三条线段对应原图形中的线段AB，AD，AC中，最长的是________，最短的是________．
13．(2024年宜昌一中月考)在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB∥CD，∠DAB＝90°，AB＝2，CD＝1，AD＝3，AA1＝4．
(1)画出四棱柱ABCD－A1B1C1D1的直观图；
(2)将四棱柱ABCD－A1B1C1D1补成一个长方体，并说出补上的几何体的名称．
C级——创新拓展练
14．(2024年唐山期中)如图，中国人民银行发行的直径为8 cm的圆形龙年黄金纪念币，背面设计中，以一个硕大的龙首居中作为主图案，龙首形象生动俊俏，目光清澈笃定．整个修长俊秀的形象中少了些森严，平添几分硬朗与锐利．龙角与龙须延展至币面之外，向外的张力满含蓄势待发的力量感；深浅蓝色搭配的龙睛，炯炯有神．整体造型展现出炎黄子孙人才辈出，敢为人先的拼搏与进取的精神面貌．该纪念币用斜二测画法后，所得直观图的面积为(　　)
A．4π cm2 B．8π cm2
C．16π cm2 D．16π cm2
参考答案
【A级——基础过关练】
1.【答案】B
【解析】∵A′B′∥x′轴，A′C′∥y′轴，∴AB⊥AC．又AC＝2A′C′＝2AB，∴△ABC是直角三角形，不是等腰三角形．故选B．
2.【答案】C
【解析】根据题意，将直观图还原为原图，如图，其中OB＝OC＝B′O′＝C′O′＝1，OA＝2A′O′＝2，则BC＝2，AB＝AC＝＝，则原△ABC是一个等腰三角形．故选C．
3.【答案】AD
【解析】由题意得到原△ABC如图所示．其中，AD⊥BC，BD＞DC，所以AB＞AC＞AD，所以△ABC中AB，AD，AC这三条线段中最长的是AB，最短的是AD．故选AD．
4.【答案】D
【解析】原图形的面积等于“斜二测图形”面积乘2，由该四边形的“斜二测图形”的面积为×(2＋4)×1＝3，所以原图形的面积为3×2＝6．故选D．
5.【答案】B
【解析】△A′B′C′是斜边长为4的等腰直角三角形，则直角边的长为2，故面积为×2×2＝4．所以△ABC的面积为4×2＝8．故选B．
6.【答案】C
【解析】在直角梯形O′A′B′C′中，O′A′∥B′C′，O′A′＝2B′C′＝4，A′B′＝2，显然∠A′O′C′＝45°，于是O′C′＝＝＝2，直角梯形O′A′B′C′对应的原平面图形为如图中直角梯形OABC，BC∥OA，OC⊥OA，OA＝2BC＝4，OC＝2O′C′＝4，所以该平面图形的高为4．故选C．
7.【答案】5
【解析】将直观图还原为原图形，如图所示，则AC＝A′C′＝3，BC＝2B′C′＝4，
所以AB＝＝＝5．
8.【答案】3
【解析】该矩形的面积为S＝4×3＝12(cm2)，由平面图形的面积与直观图的面积间的关系，可得直观图的面积为S′＝S＝3(cm2)．
9.【答案】36
【解析】在直观图中，设B′C′与y′轴的交点为D′，则易得O′D′＝3，所以原平面图形为一边长为6，高为6的平行四边形，所以其面积为6×6＝36．
10.解：根据题意，直观图为等腰直角三角形，且AB＝BC＝1，则AC＝，其面积S′＝×1×1＝．
(1)在如图所示的图形中画相应的x轴、y轴，使∠xOy＝90°(O与A′重合)；
(2)在x轴上取C′，使A′C′＝AC，在y轴上取B′，使A′B′＝2AB；
(3)连接B′C′，则△A′B′C′就是原图形，
原图的面积S＝×A′B′×A′C′＝×2×＝．
【B级——能力提升练】
11.【答案】D
【解析】易知△ABC为直角三角形，AC＝6，BC＝8，AB＝10，∠A的平分线交BC于点D，根据角平分线的性质知CD∶DB＝AC∶AB＝6∶10，又因为BC＝8，所以CD＝3，DB＝5，所以AD＝＝＝3．故选D．
12.【答案】AB和AC　AD
【解析】因为A′D′∥y′轴，所以在△ABC中，AD⊥BC，又因为D′是B′C′的中点，所以D是BC的中点，所以AB＝AC＞AD．
13.解：(1)由题意，结合直观图的画法，即可得到直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的直观图，如图1．
(2)由题意，结合长方体的几何特征，可得补成的长方体，如图2，即补上的几何体是三棱柱BCE－B1C1E1．
【C级——创新拓展练】
14.
参考答案
【A级——基础过关练】
1.【答案】B
【解析】∵A′B′∥x′轴，A′C′∥y′轴，∴AB⊥AC．又AC＝2A′C′＝2AB，∴△ABC是直角三角形，不是等腰三角形．故选B．
2.【答案】C
【解析】根据题意，将直观图还原为原图，如图，其中OB＝OC＝B′O′＝C′O′＝1，OA＝2A′O′＝2，则BC＝2，AB＝AC＝＝，则原△ABC是一个等腰三角形．故选C．
3.【答案】AD
【解析】由题意得到原△ABC如图所示．其中，AD⊥BC，BD＞DC，所以AB＞AC＞AD，所以△ABC中AB，AD，AC这三条线段中最长的是AB，最短的是AD．故选AD．
4.【答案】D
【解析】原图形的面积等于“斜二测图形”面积乘2，由该四边形的“斜二测图形”的面积为×(2＋4)×1＝3，所以原图形的面积为3×2＝6．故选D．
5.【答案】B
【解析】△A′B′C′是斜边长为4的等腰直角三角形，则直角边的长为2，故面积为×2×2＝4．所以△ABC的面积为4×2＝8．故选B．
6.【答案】C
【解析】在直角梯形O′A′B′C′中，O′A′∥B′C′，O′A′＝2B′C′＝4，A′B′＝2，显然∠A′O′C′＝45°，于是O′C′＝＝＝2，直角梯形O′A′B′C′对应的原平面图形为如图中直角梯形OABC，BC∥OA，OC⊥OA，OA＝2BC＝4，OC＝2O′C′＝4，所以该平面图形的高为4．故选C．
7.【答案】5
【解析】将直观图还原为原图形，如图所示，则AC＝A′C′＝3，BC＝2B′C′＝4，
所以AB＝＝＝5．
8.【答案】3
【解析】该矩形的面积为S＝4×3＝12(cm2)，由平面图形的面积与直观图的面积间的关系，可得直观图的面积为S′＝S＝3(cm2)．
9.【答案】36
【解析】在直观图中，设B′C′与y′轴的交点为D′，则易得O′D′＝3，所以原平面图形为一边长为6，高为6的平行四边形，所以其面积为6×6＝36．
10.解：根据题意，直观图为等腰直角三角形，且AB＝BC＝1，则AC＝，其面积S′＝×1×1＝．
(1)在如图所示的图形中画相应的x轴、y轴，使∠xOy＝90°(O与A′重合)；
(2)在x轴上取C′，使A′C′＝AC，在y轴上取B′，使A′B′＝2AB；
(3)连接B′C′，则△A′B′C′就是原图形，
原图的面积S＝×A′B′×A′C′＝×2×＝．
【B级——能力提升练】
11.【答案】D
【解析】易知△ABC为直角三角形，AC＝6，BC＝8，AB＝10，∠A的平分线交BC于点D，根据角平分线的性质知CD∶DB＝AC∶AB＝6∶10，又因为BC＝8，所以CD＝3，DB＝5，所以AD＝＝＝3．故选D．
12.【答案】AB和AC　AD
【解析】因为A′D′∥y′轴，所以在△ABC中，AD⊥BC，又因为D′是B′C′的中点，所以D是BC的中点，所以AB＝AC＞AD．
13.解：(1)由题意，结合直观图的画法，即可得到直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的直观图，如图1．
(2)由题意，结合长方体的几何特征，可得补成的长方体，如图2，即补上的几何体是三棱柱BCE－B1C1E1．
【C级——创新拓展练】
14.【答案】A
【解析】根据题意，原图为直径为8 cm的圆，其面积S＝π＝16π(cm2)，则其直观图的面积S′＝S＝4π(cm2)．故选A．