8.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积 课后训练（含解析）-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第八章　8.3 柱体、锥体、台体的表面积与体积
A级——基础过关练
1．正方体的表面积为96，则正方体的体积为(　　)
A．48 B．64
C．16 D．96
2．已知圆柱OO1及其展开图如图所示，则其体积为(　　)
A．π B．2π
C．3π D．4π
3．将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是(　　)
A．4π　　 B．3π
C．2π　　 D．π
4．若正三棱锥的底面边长等于a，三条侧棱两两垂直，则它的侧面积为(　　)
A．a2 B．a2
C．a2 D．3a2
5．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于(　　)
A．π　　 B．2π
C．4π　　 D．8π
6．(多选)已知某几何体的直观图如图所示，其中底面为长为8，宽为6的长方形，顶点在底面投影为底面中心，高为4．该几何体的体积和侧面积分别用V和S表示，则(　　)
A．V＝64 B．V＝32
C．S＝40＋24 D．S＝40＋12
7．如图，已知正六棱柱的最大对角面的面积为1 m2，互相平行的两个侧面的距离为1 m，则这个六棱柱的体积为________m3，侧面积为________m2．
8．(2024年日照东港区期中)如图，在正四棱台ABCD－A1B1C1D1中，已知AB＝2，A1B1＝1，且棱台的侧面积为6，则该棱台的高为________．
9．圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，若母线长为10，则圆台的表面积为________．
10．若圆锥的表面积是15π，侧面展开图的圆心角是60°，求圆锥的体积．
B级——综合运用练
11．(2024年福清模拟)已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为，且该圆锥的母线是底面半径的倍，若△SAB的面积为5，则该圆锥的表面积为(　　)
A．40π B．(40＋40)π
C．80π D．(40＋80)π
12．已知某几何体是由两个全等的长方体和一个三棱柱组合而成，如图所示，其中长方体的长、宽、高分别为4，3，3，三棱柱底面是直角边分别为4，3的直角三角形，侧棱长为3，则此几何体的体积是________，表面积是________．
13．一个圆锥的底面半径为2 cm，高为6 cm，在其内部有一个高为x cm的内接圆柱．
(1)求圆锥的侧面积；
(2)当x为何值时，圆柱的侧面积最大？并求出侧面积的最大值．
C级——创新拓展练
14．(2024年佛山模拟)木桶效应，也可称为短板效应，是说一只水桶能装多少水取决于它最短的那块木板．如果一只桶的木板中有一块不齐或者某块木板有破洞，这只桶就无法盛满水，此时我们可以倾斜木桶，设法让桶装水更多．如图，棱长为2的正方体容器，在顶点C1和棱AA1的中点M处各有一个小洞(小洞面积忽略不计)，为了保持平衡，以BD为轴转动正方体，则用此容器装水，最多能装水的体积V＝(　　)
A．4 B．
C．6 D．
参考答案
【A级——基础过关练】
1.【答案】B
【解析】设正方体的棱长为a，则6a2＝96，∴a＝4，故V＝a3＝43＝64．
2.【答案】D
【解析】设底面半径为r，高为h，根据展开图得则所以圆柱的体积为πr2h＝π×12×4＝4π．故选D．
3.【答案】C
【解析】底面圆半径为1，高为1，侧面积S＝2πrh＝2π×1×1＝2π．故选C．
4.【答案】A
【解析】因为正三棱锥的底面边长等于a，三条侧棱两两垂直，所以三棱锥的侧棱长为a，则它的侧面3××a×a＝a2．
5.【答案】B
【解析】设圆柱的底面半径为r，则圆柱的母线长为2r，由题意得S圆柱侧＝2πr×2r＝4πr2＝4π，解得r＝1，所以V圆柱＝πr2×2r＝2πr3＝2π．故选B．
6.【答案】AC
【解析】几何体的体积为V＝·S矩形·h＝×6×8×4＝64．正侧面及相对侧面底边上的高为h1＝＝5．左、右侧面的底边上的高为h2＝＝4．故几何体的侧面面积S＝2×＝40＋24．
7.【答案】　3
【解析】设正六棱柱的底面边长为a m，高为h m，则2ah＝1，a＝1，解得a＝，h＝．所以六棱柱的体积V＝××6×＝(m3)，S侧＝6××＝3(m2)．
8.【答案】
【解析】在正四棱台ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，A1B1＝1，如图，设斜高为h′，则侧面积为4××(1＋2)h′＝6，解得h′＝1，所以该棱台的高为h＝＝．
9.【答案】168π
【解析】先画轴截面，再利用上、下底面半径和高的比求解．圆台的轴截面如图所示，设上底面半径为r，下底面半径为R，则它的母线长为l＝＝＝5r＝10，所以r＝2，R＝8．故S侧＝π(R＋r)l＝π(8＋2)×10＝100π，S表＝S侧＋πr2＋πR2＝100π＋4π＋64π＝168π．
10.解：设圆锥的底面半径为r，母线为l，
则2πr＝πl，得l＝6r．
又因为S锥＝πr2＋πr·6r＝7πr2＝15π，解得r＝，
所以圆锥的高h＝＝＝＝5．
所以V＝πr2h＝π××5＝π．
【B级——能力提升练】
11.【答案】B
【解析】设圆锥的底面圆半径为r，则母线长为l＝r，因为母线SA，SB所成角θ的余弦值为，且θ∈(0，π)，所以sin θ＝＝，所以△SAB的面积为×(r)2×＝5，解得r＝2，所以母线长为l＝×2＝4，所以该圆锥的表面积为S＝πr2＋πrl＝π×(2)2＋π×2×4＝(40＋40)π．故选B．
12.【答案】90　138
【解析】该几何体的体积V＝4×6×3＋×4×3×3＝90，表面积S＝2(4×6＋4×3＋6×3)－3×3＋×4×3×2＋×3＋3×4＝138．
13.解：(1)圆锥的母线长为＝2(cm)，
∴圆锥的侧面积S1＝π×2×2＝4π(cm2)．
(2)画出圆锥的轴截面如图所示．
设圆柱的底面半径为r cm，由题意，知＝，
∴r＝，∴圆柱的侧面积S2＝2πrx＝(－x2＋6x)＝－[(x－3)2－9]，∴当x＝3时，圆柱的侧面积取得最大值，且最大值为6π cm2．
【C级——创新拓展练】
14.【答案】C
【解析】如图，以BD为轴转动正方体，要使能装水最多，则水面平行BD且经过MC1，设水面与棱BB1，DD1的交点分别为E，F，即多面体ABCD－MEC1F的体积．∵M为棱AA1的中点，∴B1E＝D1F＝，∴多面体ABCD－MEC1F的体积V＝2×2×1＋×2×2×＋×2××＋××2×2×＝6．故选C．