8.3.2 球的表面积和体积 课后训练（含解析）-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第八章　8.3.2 球的表面积和体积
A级——基础过关练
1．已知球O的表面积为16π，则球O的体积为(　　)
A．π B．π
C．π D．π
2．球的表面积S1与它的内接正方体的表面积S2的比值是(　　)
A． B．
C． D．π
3．用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为π，则球的表面积为(　　)
A． B．
C．8π D．
4．(2024年龙岩三模)已知球的体积为π，且该球的表面积与底面半径为2的圆锥的侧面积相等，则该圆锥的体积为(　　)
A．π B．π
C．4π D．8π
5．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为(　　)
A．π B．
C． D．
6．(2024年唐山二模)已知长方体的一条棱长为2，体积为16，则其外接球表面积的最小值为(　　)
A．5π B．12π
C．20π D．80π
7．(2024年上海闵行区三模)现有一个底面半径为2 cm、高为9 cm的圆柱形铁料，若将其熔铸成一个球形实心工件，则该工件的表面积为________cm2(损耗忽略不计)．
8．已知各顶点都在一个球面上的正四棱锥的高为3，体积为6，则这个球的表面积为________．
9．(2024年安阳二模)一个球的表面积为100π，一个平面截该球得到截面圆直径为6，则球心到这个平面的距离为________．
10．某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱体，左右两端均为半球，若图中r＝1，l＝3，试求该组合体的表面积和体积．
B级——综合运用练
11．(2024年厦门思明区模拟)在圆台O1O2中，圆O2的半径是圆O1半径的2倍，且O2恰为该圆台外接球的球心，则圆台的侧面积与球的表面积之比为(　　)
A．3∶4 B．1∶2
C．3∶8 D．3∶10
12．(2024年汕头潮南区月考)某同学用球形模具自制棒棒糖．现熬制的糖浆恰好装满一圆柱形容器(底面半径为3 cm，高为10 cm)，共做了20个完全相同的棒棒糖，则每个棒棒糖的表面积为________cm2．(损耗忽略不计)
13．已知一倒置圆锥的母线长为10 cm，底面半径为6 cm．
(1)求该圆锥的高；
(2)若有一球刚好放进该圆锥(球与圆锥的底面相切)中，求这个球的半径以及此时圆锥剩余空间的体积．
C级——创新拓展练
14．(2024年天津和平区模拟)如图，将两个相同大小的圆柱垂直放置，两圆柱的底面直
径与高相等，且中心重合，它们所围成的几何体称为“牟合方盖”．已知两圆柱的高为2，则该“牟合方盖”内切球的体积为(　　)
A．　 B．
C．　 D．
参考答案
【A级——基础过关练】
1.【答案】D
【解析】因为球O的表面积是16π，所以球O的半径为2，所以球O的体积为×23＝π．故选D．
2.【答案】C
【解析】设球的内接正方体的棱长为a，球的半径为R，则3a2＝4R2，所以a2＝R2，球的表面积S1＝4πR2，正方体的表面积S2＝6a2＝6×R2＝8R2，所以＝．
3.【答案】C
【解析】设球的半径为R，则截面圆的半径为，∴截面圆的面积为S＝π()2＝(R2－1)π＝π．∴R2＝2．∴球的表面积S＝4πR2＝8π．
4.【答案】B
【解析】设球的半径为R，则球的体积V＝＝π，解得R＝2，所以球的表面积S＝4πR2＝16π，设圆锥的母线长为l，底面圆半径为r，则πrl＝16π，即2πl＝16π，解得l＝8，因此该圆锥的高h＝＝＝2，可得圆锥的体积V1＝πr2h＝π．故选B．
5.【答案】B
【解析】设圆柱的底面半径为r，球的半径为R，且R＝1，由圆柱两个底面的圆周在同一个球的球面上可知，r，R及圆柱的高的一半构成直角三角形．∴r＝＝．∴圆柱的体积V＝πr2h＝π×1＝．故选B．
6.【答案】C
【解析】长方体的长为2，设宽为x，高为y，由于长方体的体积为2xy＝16，故y＝，设长方体的外接球的半径为R，所以(2R)2＝22＋x2＋≥4＋2＝4＋16＝20，当且仅当x＝2时取等号，故4R2≥20，解得R≥，故S球的最小值为4·π·()2＝20π．故选C．
7.【答案】36π
【解析】由圆柱和球的体积相等，得π×22×9＝πR3 R＝3，∴该铁球的表面积为4πR2＝36π(cm2)．
8.【答案】16π
【解析】正四棱锥的高为3，体积为6，易知底面面积为6，边长为．如图，正四棱锥P－ABCD的外接球的球心在它的高PO1上，记为O，PO＝AO＝R，PO1＝3，OO1＝3－R，在Rt△AO1O中，AO1＝AC＝，由勾股定理R2＝()2＋(3－R)2，得R＝2，故球的表面积S＝16π．
9.【答案】4
【解析】球的表面积为100π，可设球的半径为R，4πR2＝100π，解得R＝5，一个平面截该球得到的截面圆的直径为6，则截面圆的半径为3，所以球心到这个平面的距离为＝4．
10.解：该组合体的表面积S＝4πr2＋2πrl＝4π×12＋2π×1×3＝10π．
该组合体的体积V＝πr3＋πr2l＝π×13＋π×12×3＝．
【B级——能力提升练】
11.【答案】C
【解析】令外接球的半径为2R，依题意O2A＝2R，O2B＝2R，O1B＝R．如图，过点B作BC⊥O2A，则O2C＝O1B＝R，所以AC＝O2C＝R．又因为BC＝O1O2＝＝R，所以AB＝＝2R，所以圆台的侧面积S1＝(2πR＋2π×2R)×2R＝6πR2，球的表面积S2＝4π×(2R)2＝16πR2，所以圆台的侧面积与球的表面积之比为S1∶S2＝(6πR2)∶(16πR2)＝3∶8．故选C．
12.【答案】9π
【解析】圆柱形容器的体积为V圆柱＝π×32×10＝90π．设棒棒糖的半径为r，则每个棒棒糖的体积V棒棒糖＝πr3＝＝π，解得r＝，∴S表＝4πr2＝4π×＝9π．
13.解：(1)设圆锥的高为h cm，底面半径为R cm，母线长为l cm，则h＝＝＝8，所以圆锥的高为8 cm．
(2)球放入圆锥后的轴截面如图所示，设球的半径为r cm．
易得△OCD∽△ACO1，则＝，即＝，解得r＝3．
圆锥剩余空间的体积为圆锥的体积减去球的体积，即V圆锥－V球＝×π×62×8－π×33＝96π－36π＝60π(cm3)，故此时圆锥剩余空间的体积为60π cm3．
【C级——创新拓展练】
14.【答案】D
【解析】如图，将两个互相垂直的圆柱放到棱长为2的正方体内，则正方体的内切球与这两个圆柱的侧面和底面都相切，又因为牟合方盖上下两个顶点和侧面的四个曲面刚好与正方体的侧面相切，故正方体的内切球内切于牟合方盖，所以正方体内切球即为牟合方盖的内切球，其半径为1，所以该“牟合方盖”内切球的体积为．故选D．