8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系 课后训练（含解析）-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第八章　8.4　8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系
A级——基础过关练
1．若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是(　　)
A．异面或平行 B．异面或相交
C．异面　　 D．相交、平行或异面
2．(多选)下列结论正确的有(　　)
A．a∥α，b α，则a∥b
B．若a α，b α，则a，b无公共点
C．若a α，则a∥α或a与α相交
D．若a∩α＝A，则a α
3．已知平面α与平面β，γ都相交，则这三个平面可能的交线有(　　)
A．1条或2条 B．2条或3条
C．1条或3条 D．1条或2条或3条
4．已知异面直线a，b，有a α，b β且α∩β＝c，则直线c与a，b的关系是(　　)
A．c与a，b都相交 B．c与a，b都不相交
C．c至多与a，b中的一条相交 D．c至少与a，b中的一条相交
5．(2024年宿州调研)若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是(　　)
A．l1⊥l4 B．l1∥l4
C．l1与l4异面 D．l1与l4的位置关系不确定
6．(多选)(2024年重庆八中月考)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F分别为BC，BB1的中点，则(　　)
A．EF与A1C1是异面直线 B．EF与B1C1是相交直线
C．AC与B1C1是异面直线 D．AC与A1C1是异面直线
7．点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则下图中，直线PQ与RS是异面直线的是________．
8．若M是两条异面直线a，b外的一点，则过点M且与a，b都平行的平面有________个．
9．已知a，b是两条直线，α，β是两个平面，则下列说法正确的有________(填序号)．
①若α∥β，a α，b β，则a与b是异面直线；
②若α∥β，a α，则a∥β；
③若α∩β＝b，a α，则a与β一定相交．
10．如图，若P是△ABC所在平面外一点，PA≠PB，PN⊥AB，N为垂足，M为AB的中点，求证：PN与MC为异面直线．
B级——综合运用练
11．(多选)(2024年南通重点中学期中)如图是正方体的展开图，则在这个正方体中，下列命题正确的有(　　)
A．AF与CN平行 B．BM与AN是异面直线
C．AF与BM是异面直线 D．BN与DE是异面直线
12．一个平面将空间分成两部分，两个平面最多将空间分成四部分，三个平面最多将空间分成八部分……由此猜测n个平面最多将空间分成(　　)
A．2n部分 B．n2部分
C．2n部分 D．＋1部分
13．如图，平面α，β，γ满足α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，判断a与b，a与β的位置关系并证明你的结论．
C级——创新拓展练
14．如图，已知平面α∩β＝l，点A∈α，点B∈α，点C∈β，且A l，B l，直线AB与l不平行，那么平面ABC与平面β的交线与l有什么关系？证明你的结论．
参考答案
【A级——基础过关练】
1.【答案】D
【解析】异面直线不具有传递性，可以以长方体为载体加以说明，a，b异面，直线c的位置可如图所示．故选D．
2.【答案】CD
【解析】结合直线与平面的位置关系可知，A，B错误，C，D正确．
3.【答案】D
【解析】当三个平面两两相交且过同一直线时，它们有1条交线；当平面β和γ平行时，它们的交线有2条；当这三个平面两两相交且不过同一条直线时，它们有3条交线．
4.【答案】D
【解析】若c与a，b都不相交，因为c与a在α内，所以a∥c．因为c与b都在β内，所以b∥c．所以a∥b，与已知条件矛盾．如图，只有以下三种情况．
5.【答案】D
【解析】构造如图所示的正方体ABCD－A1B1C1D1，取l1为AD，l2为AA1，l3为A1B1，当取l4为B1C1时，l1∥l4，当取l4为BB1时，l1⊥l4，故排除A，B，C．故选D．
6.【答案】ABC
【解析】连接CB1(图略)．因为CB1与AC相交，AC∥A1C1，CB1与平面ACC1A1相交，所以CB1与A1C1异面．又因为CB1∥EF，EF 平面ACC1A1，所以EF与A1C1异面，A正确；同理，AC与B1C1异面，C正确；EF与B1C1在同一平面内，且延长EF与B1C1可交于一点，故直线EF与B1C1相交，故B正确；AC∥A1C1，故AC与A1C1是共面直线，故D错误．故选ABC．
7.【答案】③
【解析】①，②中PQ，RS平行，④中直线PQ与RS相交(或RP∥SQ)，即直线PQ与RS共面，均不是异面直线；③中的直线PQ与RS是两条既不平行，又不相交的直线，即直线PQ与RS是异面直线．
8.【答案】0或1
【解析】当点M在过a且与b平行的平面或过b且与a平行的平面内时，没有满足条件的平面；当点M不在上述两个平面内时，满足条件的平面只有1个．
9.【答案】②
【解析】①中直线a与b没有交点，所以a与b可能异面也可能平行，故①错误；②中直线a与平面β没有公共点，所以a∥β，故②正确；③中直线a与平面β有可能平行，故③错误．
10.证明：∵PA≠PB，PN⊥AB，N为垂足，M是AB的中点，
∴点N与点M不重合．
∵N∈平面ABC，P 平面ABC，CM 平面ABC，N CM，
∴由异面直线的判定定理可知，直线PN与MC为异面直线．
【B级——能力提升练】
11.【答案】CD
【解析】把正方体的平面展开图还原，如图，由正方体的结构特征可知，AF与CN异面，故A错误；BM与AN平行，故B错误；BM 平面BCMF，F∈平面BCMF，A 平面BCMF，F BM，故AF与BM是异面直线，故C正确；DE 平面ADNE，N∈平面ADNE，B 平面ADNE，N DE，故BN与DE是异面直线，故D正确．
12.【答案】D
【解析】由一个平面将空间分成两部分，两个平面最多将空间分成四部分，三个平面最多将空间分成八部分，可以排除A，B两个选项．四个平面时，可以考虑在三个平面最多将空间分成八部分的情况下再加一个平面，则第四个平面最多可以将该八部分中的七个分为两部分，所以四个平面最多将空间分成十五部分，可以排除C选项，故选D．
13.解：a∥b，a∥β．证明如下．
由α∩γ＝a知a α且a γ，
由β∩γ＝b知b β且b γ，
因为α∥β，a α，b β，所以a，b无公共点．
又因为a γ且b γ，所以a∥b．
因为α∥β，所以α与β无公共点．
又因为a α，所以a与β无公共点，
所以a∥β．
【C级——创新拓展练】
14.解：平面ABC与β的交线与l相交．
证明如下：因为AB与l不平行，且AB α，l α，
所以AB与l一定相交．
设AB∩l＝P(图略)，则P∈AB，P∈l．
又因为AB 平面ABC，l β，
所以P∈平面ABC，P∈β．
所以P是平面ABC与β的一个公共点，而C也是平面ABC与β的一个公共点，且P，C是不同的两点，
所以直线PC就是平面ABC与β的交线，
即平面ABC∩β＝PC，而PC∩l＝P，
所以平面ABC与平面β的交线与l相交．