8.6.2 直线与平面垂直的判定 课后训练（含解析）-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第八章　8.6　8.6.2　直线与平面垂直的判定
A级——基础过关练
1．直线a与平面α所成的角为50°，直线b∥a，则直线b与平面α所成的角为(　　)
A．40°　 B．50°
C．90°　 D．150°
2．下列条件中，能使直线m⊥平面α的是(　　)
A．m⊥b，m⊥c，b α，c α
B．m⊥b，b∥α
C．m∩b＝A，b⊥α
D．m∥b，b⊥α
3．如图，将一张三角形纸片沿着BC边上的高AD翻折后竖立在桌面上，则折痕AD所在直线与桌面α所成的角等于(　　)
A．150° B．135°
C．90° D．60°
4．已知m，n是平面α内的两条直线，则“直线l⊥m且l⊥n”是“l⊥α”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．如图，P为△ABC所在平面α外一点，PB⊥α，PC⊥AC，则△ABC的形状为(　　)
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
6．(多选)如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA＝AB，D为PB的中点，则下列判断正确的有(　　)
A．BC⊥平面PAB B．AD⊥PC
C．AD⊥平面PBC D．PB⊥平面ADC
7．如图，∠BCA＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△PAC的边所在的直线中：
(1)与PC垂直的直线有______________；
(2)与AP垂直的直线有______________．
8．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝4，AA1＝2，则直线BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为________．
9．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱AB，BC的中点，O是底面ABCD的中心，则EF与平面BB1O的位置关系是________(填“平行”或“垂直”)．
10．如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，PA＝AC，E是PC的中点．求证：
(1)CD⊥AE；
(2)PD⊥平面ABE．
B级——综合运用练
11．如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，且PA＝2AB＝4，M为PC上一动点，若PC⊥DM，则MB的长度为(　　)
A． B．
C． D．
12．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件________时，有AB1⊥BC1．(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)
13．如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1，D，E，F分别是BC，BB1，AA1的中点．求证：
(1)CF∥平面ADE；
(2)BC1⊥平面ADE．
C级——创新拓展练
14．如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当CF⊥平面B1DF时，求AF的值．
参考答案
【A级——基础过关练】
1.【答案】B
【解析】若两条直线平行，则它们与同一平面所成的角相等．因为直线a与平面α所成的角为50°，直线b∥a，所以直线b与平面α所成的角为50°．故选B．
2.【答案】D
【解析】由线面垂直的判定定理易知D正确．
3.【答案】C
【解析】依题意可知AD⊥BD，AD⊥CD，BD∩CD＝D，BD，CD 平面α，所以AD⊥平面α，所以折痕AD所在直线与桌面α所成的角等于90°．故选C．
4.【答案】B
【解析】若m与n不相交，则“直线l⊥m且l⊥n”不能推出“l⊥α”；反之，如果“l⊥α”，无论m与n是否相交，都能推出“直线l⊥m且l⊥n”．故“直线l⊥m且l⊥n”是“l⊥α”的必要不充分条件．故选B．
5.【答案】B
【解析】由PB⊥α，AC α得PB⊥AC，又因为AC⊥PC，PC∩PB＝P，PC，PB 平面PBC，所以AC⊥平面PBC，所以AC⊥BC．所以△ABC是直角三角形．故选B．
6.【答案】ABC
【解析】因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC，又因为AB⊥BC，AB∩PA＝A，AB，PA 平面PAB，所以BC⊥平面PAB，故A正确；由BC⊥平面PAB，得BC⊥AD，因为PA＝AB，D为PB的中点，所以AD⊥PB，PB∩BC＝B，PB，BC 平面PBC，从而AD⊥平面PBC，故C正确；因为PC 平面PBC，所以AD⊥PC，故B正确；在平面PBC中，PB⊥BC，所以PB与CD不垂直，所以PB不垂直于平面ADC，故D错误．
7.【答案】(1)AB，AC，BC　(2)BC
【解析】(1)因为PC⊥平面ABC，AB，AC，BC 平面ABC．所以PC⊥AB，PC⊥AC，PC⊥BC．
(2)∠BCA＝90°，即BC⊥AC，又因为BC⊥PC，AC∩PC＝C，AC，PC 平面PAC，所以BC⊥平面PAC．因为AP 平面PAC，所以BC⊥AP．
8.【答案】
【解析】如图，过点C1作C1H⊥B1D1，垂足为H，由AB＝BC＝4，可知点H为中点，由BB1⊥平面A1C1，可得C1H⊥BB1，又因为B1D1∩BB1＝B1，所以C1H⊥平面BB1D1D，则∠C1BH即为所求角，因为AB＝BC＝4，AA1＝2，所以sin ∠C1BH＝＝＝．
9.【答案】垂直
【解析】因为ABCD为正方形，所以AC⊥BO，因为BB1⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，所以AC⊥BB1，又BO∩BB1＝B，所以AC⊥平面BB1O．因为EF是△ABC的中位线，所以EF∥AC，所以EF⊥平面BB1O．
10.证明：(1)因为PA⊥底面ABCD，CD 底面ABCD，
所以PA⊥CD．
因为AC⊥CD，PA∩AC＝A，PA，AC 平面PAC，
所以CD⊥平面PAC．
又因为AE 平面PAC，所以CD⊥AE．
(2)因为PA＝AC，E是PC的中点，
所以PC⊥AE．
因为CD⊥AE，CD∩PC＝C，CD，PC 平面PCD，
所以AE⊥平面PCD．
因为PD 平面PCD，所以PD⊥AE．
因为AB⊥AD，AB⊥PA且AD∩PA＝A，AD，PA 平面PAD，
所以AB⊥平面PAD．
因为PD 平面PAD，所以AB⊥PD．
又因为AE∩AB＝A，AE，AB 平面ABE，
所以PD⊥平面ABE．
【B级——能力提升练】
11.【答案】B
【解析】如图，连接AC，由底面ABCD为正方形得BD⊥AC，由PA⊥底面ABCD得PA⊥BD，又因为PA∩AC＝A可得BD⊥平面PAC，所以BD⊥PC，又由PC⊥DM，BD∩DM＝D可得PC⊥平面BDM，所以MB⊥PC，由BC＝2，BP＝＝2，PC＝＝2，可得MB＝＝＝．
12.【答案】A1C1⊥B1C1
【解析】如图，连接BC1，B1C．由BC＝CC1，可得BC1⊥B1C．因此，要得AB1⊥BC1，则需BC1⊥平面AB1C，即只需AC⊥BC1即可．由直三棱柱可知，只要满足AC⊥BC即可．而A1C1∥AC，B1C1∥BC，故只要满足A1C1⊥B1C1即可．
13.证明：(1)设AE∩BF＝O，如图，连接OD．
因为ABC－A1B1C1为正三棱柱，且AB＝AA1，
所以侧面A1ABB1为正方形．
因为E，F分别是BB1，AA1的中点，
所以O是BF的中点．
因为D是BC的中点，
所以OD∥CF．
又因为OD 平面ADE，CF 平面ADE，
所以CF∥平面ADE．
(2)因为△ABC为正三角形，
所以AD⊥BC．
因为CC1⊥平面ABC，AD 平面ABC，
所以AD⊥CC1．
因为BC∩CC1＝C，
所以AD⊥平面B1BCC1．
因为BC1 平面B1BCC1，所以BC1⊥AD．
如图，连接B1C，因为侧面B1BCC1为正方形，
所以BC1⊥B1C．
因为E，D分别是BB1，BC的中点，
所以DE∥B1C，故BC1⊥DE．
又因为AD∩DE＝D，AD，DE 平面ADE，所以BC1⊥平面ADE．
【C级——创新拓展练】
14.解：连接CD(图略)，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，
因为点D是等腰Rt△A1B1C1斜边A1C1的中点，
所以B1D⊥平面ACC1A1．
又因为CF 平面ACC1A1，
所以B1D⊥CF．
故若CF⊥平面B1DF，则必有CF⊥DF．
设AF＝x(0＜x＜3a)，则CF2＝x2＋4a2，DF2＝a2＋(3a－x)2，
又因为CD2＝a2＋9a2＝10a2，
所以10a2＝x2＋4a2＋a2＋(3a－x)2，
解得x＝a或x＝2a．
故当AF＝a或AF＝2a时，CF⊥平面B1DF．