8.6.3 平面与平面垂直的判定定理 课后训练（含解析）-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第八章　8.6　8.6.3　平面与平面垂直的判定定理
A级——基础过关练
1．已知直线a，b与平面α，β，γ，下列能使α⊥β成立的条件是(　　)
A．α⊥γ，β⊥γ B．α∩β＝a，b⊥a，b β
C．a∥β，a∥α D．a∥α，a⊥β
2．有下列说法：
①两个相交平面所组成的图形叫做二面角；
②二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成的角；
③二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置有关系．
其中正确的个数是(　　)
A．0　　 B．1
C．2　　 D．3
3．下列命题正确的是(　　)
A．平面α和β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥β
B．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条平行直线，则α⊥β
C．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线，则α⊥β
D．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β
4．如图，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，则图中互相垂直的平面有(　　)
A．1对 B．2对
C．3对 D．5对
5．如图，AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上一点(不同于A，B)且PA＝AC，则二面角P－BC－A的大小为(　　)
A．60° B．30°
C．45° D．15°
6．(多选)如图所示，在三棱锥V－ABC中，∠VAB＝∠VAC＝∠ABC＝90°，下列结论正确的是(　　)
A．平面VAC⊥平面ABC B．平面VAB⊥平面ABC
C．平面VAC⊥平面VBC D．平面VAB⊥平面VBC
7．自空间一点分别向大小为70°的二面角的两个半平面引垂线，则这两条垂线所成的角的大小是________．
8．若P是△ABC所在平面外一点，且△PBC和△ABC都是边长为2的正三角形，PA＝，那么二面角P－BC－A的大小为________．
9．在平面几何中，有真命题：如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补．某同学将此结论类比到立体几何中，得一结论：如果一个二面角的两个面和另一个二面角的两个面分别垂直，那么这两个二面角相等或互补．
你认为这个结论________(填“正确”或“错误”)．
10．如图，在圆锥PO中，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，D为AC的中点．求证：平面POD⊥平面PAC．
B级——综合运用练
11．(多选)在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论成立的有(　　)
A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAE
C．平面PAE⊥平面ABC D．平面PDE⊥平面ABC
12．如图，在四面体P－ABC中，△ABC与△PBC是边长为2的正三角形，PA＝3，D为PA的中点，则二面角D－BC－A的大小为________．
13．如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝．
(1)求证：平面PBE⊥平面PAB；
(2)求二面角A－BE－P的大小．
C级——创新拓展练
14．如图1，在直角梯形ABCD中，AB⊥BC，BC∥AD，AD＝2AB＝4，BC＝3，E为AD的中点，EF⊥BC，垂足为F．沿EF将四边形ABFE折起，连接AD，AC，BC，得到如图2所示的六面体ABCDEF．已知折起后AB的中点M到点D的距离为3．
(1)求证：平面ABFE⊥平面CDEF；
(2)求六面体ABCDEF的体积．
参考答案
【A级——基础过关练】
1.【答案】D
【解析】由a∥α，知α内必有直线l与a平行．而a⊥β，∴l⊥β，∴α⊥β．
2.【答案】A
【解析】根据二面角的定义知①②③都不正确．
3.【答案】C
【解析】当平面α和β分别过两条互相垂直且异面的直线时，平面α和β有可能平行，故A错；由直线与平面垂直的判定定理知B，D错，C正确．
4.【答案】D
【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴DA⊥AB．又∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥DA．又∵AB∩PA＝A，∴DA⊥平面PAB．同理，BC⊥平面PAB．又易证AB⊥平面PAD，DC⊥平面PAD，∴平面PAD⊥平面AC，平面PAB⊥平面AC，平面PBC⊥平面PAB，平面PAB⊥平面PAD，平面PDC⊥平面PAD，共5对．
5.【答案】C
【解析】由条件得PA⊥BC，AC⊥BC，又∵PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC．∴BC⊥PC．∴∠PCA为二面角P－BC－A的平面角．在Rt△PAC中，由PA＝AC得∠PCA＝45°．故选C．
6.【答案】ABD
【解析】由题设VA⊥AB，VA⊥AC，且AB∩AC＝A，∴VA⊥平面ABC，又VA 平面VAB，VA 平面VAC，∴平面VAC⊥平面ABC，平面VAB⊥平面ABC，则A，B正确；又易知VA⊥BC，BC⊥AB，且VA∩AB＝A，∴BC⊥平面VAB，又BC 平面VBC，从而平面VAB⊥平面VBC，故D正确，故选ABD．
7.【答案】70°
【解析】如图，PB⊥α，PC⊥β，易知∠BAC＝70°，由四边形PBAC的内角和为360°，可知∠BPC＝110°．由空间中两直线所成角的取值范围可知，这两条垂线所成的角的大小为70°．
8.【答案】90°
【解析】取BC的中点O，连接OA，OP(图略)，则∠POA为二面角P－BC－A的平面角，OP＝OA＝，PA＝，所以△POA为直角三角形，∠POA＝90°．
9.【答案】错误
【解析】如图所示的正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面ABC1D1⊥平面BCC1B1，平面CDD1C1⊥平面ABCD，而二面角A－C1D1－C为45°，二面角A－BC－C1为90°，则这两个二面角既不相等又不互补．
10.证明：如图，连接OC，CB．
因为OA＝OC，D是AC的中点，
所以AC⊥OD．
又因为PO⊥底面ABC，AC 底面ABC，所以AC⊥PO．
因为OD∩PO＝O，
所以AC⊥平面POD．
又因为AC 平面PAC，
所以平面POD⊥平面PAC．
【B级——能力提升练】
11.【答案】ABC
【解析】如图，由题意知BC∥DF，所以BC∥平面PDF．由正四面体的性质知BC⊥PE，BC⊥AE，所以BC⊥平面PAE，所以DF⊥平面PAE，平面PAE⊥平面ABC．
12.【答案】60°
【解析】取BC的中点，记为E，连接EA，ED，EP(图略)．∵△ABC与△PBC是边长为2的正三角形，∴BC⊥AE，BC⊥PE．∵AE∩PE＝E，AE，PE 平面PAE，∴BC⊥平面PAE．∵DE 平面PAE，∴BC⊥DE，∴∠AED为二面角D－BC－A的平面角．又由条件，知AE＝PE＝AB＝，AD＝PA＝，DE⊥PA，∴sin ∠AED＝＝．又易知∠AED为锐角，∴∠AED＝60°，即二面角D－BC－A的大小为60°．
13.(1)证明：如图，连接BD，由四边形ABCD是菱形且∠BCD＝60°知，△BCD是等边三角形．∵E是CD的中点，
∴BE⊥CD．
∵CD∥AB，∴BE⊥AB．
∵PA⊥平面ABCD，且BE 平面ABCD，∴PA⊥BE．
∵PA∩AB＝A，PA，AB 平面PAB，
∴BE⊥平面PAB．
又∵BE 平面PBE，
∴平面PBE⊥平面PAB．
(2)解：∵BE⊥平面PAB，PB 平面PAB，∴BE⊥PB．
∴∠ABP是二面角A－BE－P的平面角．
在Rt△PAB中，AB＝1，PA＝，
tan ∠ABP＝，∴∠ABP＝60°．
∴二面角A－BE－P的大小是60°．
【C级——创新拓展练】
14.(1)证明：取EF的中点N，连接MN，DN，MD(图略)．
根据题意可知，四边形ABFE是边长为2的正方形，
又因为M，N分别为AB，EF的中点，
所以MN⊥EF，MN＝2．
由题意得DN＝＝，又MD＝3，
所以MN2＋DN2＝22＋()2＝9＝MD2，
所以MN⊥DN，
又因为EF∩DN＝N，
所以MN⊥平面CDEF．
又因为MN 平面ABFE，
所以平面ABFE⊥平面CDEF．
(2)解：连接CE(图略)，
则V六面体ABCDEF＝V四棱锥C－ABFE＋V三棱锥A－CDE．
由(1)知MN⊥平面CDEF，
又因为MN∥BF∥AE，
所以BF⊥平面CDEF，AE⊥平面CDEF，
所以BF⊥CF，又因为CF⊥EF，BF∩EF＝F，
所以CF⊥平面ABFE，
所以V四棱锥C－ABFE＝·S正方形ABFE·CF＝，
V三棱锥A－CDE＝·S△CDE·AE＝，
所以V六面体ABCDEF＝＋＝．