8.6.3 平面与平面垂直的性质定理 课后训练（含解析）-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第八章　8.6　8.6.3 平面与平面垂直的性质定理
A级——基础过关练
1．已知平面α⊥平面β，直线l⊥平面α，则l与β的位置关系是(　　)
A．垂直 B．平行
C．l β D．平行或l β
2．若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则(　　)
A．α∥γ　　　 B．α⊥γ
C．α与γ相交但不垂直　 D．以上都有可能
3．平面α∩平面β＝l，平面γ⊥平面α，平面γ⊥平面β，则(　　)
A．l∥平面γ　 B．l 平面γ
C．l与平面γ斜交 D．l⊥平面γ
4．平面α⊥平面β，直线a∥平面α，则(　　)
A．a⊥β　　 B．a∥β
C．a与β相交　　 D．以上都有可能
5．在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，若平面AA1C1C⊥平面ABCD，且AB＝BC，AD＝CD，则BD与CC1(　　)
A．平行　 B．共面
C．垂直　 D．不垂直
6．如图，在三棱锥P－ABC中，平面PAB⊥平面ABC，PA＝PB，AD＝DB，则(　　)
A．PD 平面ABC B．PD⊥平面ABC
C．PD与平面ABC相交但不垂直 D．PD∥平面ABC
7．平面α⊥平面β，α∩β＝l，n β，n⊥l，直线m⊥α，则直线m与n的位置关系是　　　　．
8．如图，在三棱锥P－ABC中，侧面PAB⊥底面ABC，且PA＝PB＝PC，则△ABC是　　　　三角形．
9．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，将△ABC沿斜边BC上的高AD折叠，使平面ABD⊥平面ACD，则BC＝　　　　．
10．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝AD．求证：平面PAB⊥平面PBD．
B级——综合运用练
11．（2024年河南调研）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD，则在三棱锥A－BCD中，下列结论正确的是(　　)
A．平面ABD⊥平面ABC B．平面ADC⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDC D．平面ADC⊥平面ABC
12．空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD＝90°，且AB＝AD，则AD与平面BCD所成的角是　　　　．
13．（2024年南京期中）如图，在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点．已知PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5．求证：
(1)直线PA∥平面DEF；
(2)平面BDE⊥平面ABC．
C级——创新拓展练
14．如图，在三棱锥A－BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，E，F分别是AC，AD上的动点，且＝＝λ(0＜λ＜1)．
(1)求证：不论λ为何值，恒有平面BEF⊥平面ABC；
(2)当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD？
参考答案
【A级——基础过关练】
1.【答案】D
【解析】如图，l∥β或l β．故选D．
2.【答案】D
【解析】α与γ可能平行、相交但不垂直、垂直．故选D．
3.【答案】D
【解析】如图，在平面γ内取一点O，作OE⊥m，OF⊥n，由于平面β⊥平面γ，平面γ∩平面β＝m，所以OE⊥平面β，所以OE⊥l，同理，OF⊥l．又因为OE∩OF＝O，所以l⊥平面γ．故选D．
4.【答案】D
【解析】因为a∥α，平面α⊥平面β，所以直线a与β垂直、相交、平行都有可能．
5.【答案】C
【解析】如图，在四边形ABCD中，因为AB＝BC，AD＝CD，所以BD⊥AC．因为平面AA1C1C⊥平面ABCD，平面AA1C1C∩平面ABCD＝AC，BD 平面ABCD，所以BD⊥平面AA1C1C．又因为CC1 平面AA1C1C，所以BD⊥CC1．故选C．
6.【答案】B
【解析】因为PA＝PB，AD＝DB，所以PD⊥AB．又因为平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，PD 平面PAB，所以PD⊥平面ABC．
7.【答案】平行
【解析】由题意知n⊥α，又因为m⊥α，所以m∥n．
8.【答案】直角
【解析】设点P在平面ABC上的射影为点O，∵平面PAB⊥底面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，∴O∈AB．∵PA＝PB＝PC，∴OA＝OB＝OC，∴O是△ABC的外心，且是AB的中点，∴△ABC是直角三角形．
9.【答案】1
【解析】因为AD⊥BC，所以AD⊥BD，AD⊥CD，所以∠BDC是二面角B－AD－C的平面角．因为平面ABD⊥平面ACD，所以∠BDC＝90°．在△BCD中∠BDC＝90°，又AB＝AC＝1，所以BD＝CD＝，所以BC＝＝1．
10.证明：因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB⊥AD，AB 平面ABCD，所以AB⊥平面PAD．
又因为PD 平面PAD，所以PD⊥AB．
因为PA＝PD＝AD，
所以PA2＋PD2＝AD2，
所以PA⊥PD．
又因为PA∩AB＝A，
所以PD⊥平面PAB．
因为PD 平面PBD，
所以平面PAB⊥平面PBD．
【B级——能力提升练】
11.【答案】D
【解析】由已知得BA⊥AD，CD⊥BD，又因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，所以CD⊥平面ABD，从而CD⊥AB，故AB⊥平面ADC．又因为AB 平面ABC，所以平面ABC⊥平面ADC．
12.【答案】45°
【解析】如图，过点A作AO⊥BD于O点．∵平面ABD⊥平面BCD，∴AO⊥平面BCD，则∠ADO即为AD与平面BCD所成的角．∵∠BAD＝90°，AB＝AD，∴∠ADO＝45°．
13.证明：(1)因为D，E分别为棱PC，AC的中点，所以DE∥PA．
又因为PA 平面DEF，DE 平面DEF，
所以直线PA∥平面DEF．
(2)因为D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，PA＝6，BC＝8，
所以DE∥PA，DE＝PA＝3，EF＝BC＝4．
因为DF＝5，所以DF2＝DE2＋EF2，
所以∠DEF＝90°，即DE⊥EF．
又因为PA⊥AC，DE∥PA，所以DE⊥AC．
因为AC∩EF＝E，AC 平面ABC，EF 平面ABC，所以DE⊥平面ABC．
又因为DE 平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABC．
【C级——创新拓展练】
14.(1)证明：∵AB⊥平面BCD，CD 平面BCD，∴AB⊥CD．
∵CD⊥BC，且AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC．又∵＝＝λ(0＜λ＜1)，
∴不论λ为何值，恒有EF∥CD，
∴EF⊥平面ABC．
又∵EF 平面BEF，
∴平面BEF⊥平面ABC．
∴不论λ为何值，恒有平面BEF⊥平面ABC．
(2)解：由(1)知BE⊥EF．
若平面BEF⊥平面ACD，又平面BEF∩平面ACD＝EF，则BE⊥平面ACD，
∴BE⊥AC．
∵BC＝CD＝1，∠BCD＝90°，∠ADB＝60°，
∴BD＝，AB＝tan 60°＝，
∴AC＝＝．
由AB2＝AE·AC，得AE＝，
∴λ＝＝，
故当λ＝时，平面BEF⊥平面ACD．