《3.2.1 频率及其稳定性》教学设计
—— 郑州外国语教育集团朗悦校区 杨迪
一、课型
新授课
二、内容分析
（一）课标要求
《义务教育数学课程标准（2022年版）》对频率及其稳定性的内容要求是：进一步经历收集、整理、描述、分析数据的活动，了解数据处理的过程；能解释数据分析的结果，能根据结果做出简单的判断和预测；知道经历大量重复试验，频率具有稳定性.
本节课的学业要求是会用“抛瓶盖”试验收集数据；能绘制频率折线图，能用频率折线图等整理与描述收集到的数据，能读懂频率折线图反映的数据信息，能利用频率折线图解释数据中蕴含的信息；能根据统计图表分析随机现象的变化趋势；体会数据分析的重要性，感悟通过样本特征估计总体特征的思想，形成数据观念，发展模型观念。因此，在教学过程中，要通过具体的情景，从学生已有的生活经验出发，使学生经历“猜想→实验和收集实验数据→分析实验结果→验证猜想”，经历自主探索、分组实验、合作交流等活动形式，组织学生探索大量重复试验中不确定时间发生的频率会稳定在一个常数附近。频率、概率是课程标准第三学段“统计概率”中的两个重要概念。通过这部分内容的学习可以帮助学生，进一步理解实验频率和理论概率的辩证关系，同时亦为学生体会概率和统计之间的练习打下基础。让学生经历数据收集、整理与表示、数据分析以及做出推断的全过程，发展学生的统计意识。
（二）教材解读
《频率及其稳定性》是本章《概率初步》的第2节课.是一个重要的数理统计知识。本节课聚焦于频率的波动及其稳定性，是概率论从“经验直觉”迈向“数学理论”的关键转折点，是初中“频率与概率”内容的直接延续和拓展，是处理相关数学问题和实际生活问题的理论基础。教材通过实验与数据的科学逻辑，既解释了概率的统计本源，又为古典概率的公式化计算提供了合理性支撑，同时渗透了数学的实证精神与辩证思维，是单元知识体系中的“枢纽课”。其次本课对第一课中“可能性大小”的模糊描述转化为可测量的频率数据，赋予概率初步的量化意义。为后续学习概率的数学化定义（如古典概型公式 P(A)= ）提供统计依据，解释“为什么等可能事件概率可以理论计算”.因此，本节课有利于加深学生对概率意义的深层次理解，进一步让学生体会概率与统计的思想，发展学生的直观想象、逻辑推理、数学建模的核心素养。
本节课的知识要点为：通过“抛瓶盖”等可操作活动，让学生亲历“猜想—试验—记录—分析”的完整过程，体现科学探究的实证思想。教材强调从数据中归纳规律，而非直接给出结论。例如：短期波动性（少量试验时频率不稳定）→ 长期稳定性（大量试验时频率趋近常数）；个体差异（单组数据可能偏离）→ 整体趋同（多组数据均值接近理论概率）。
本节课的重点是理解大量试验频率稳定在一个常数附近，难点是频率和概率的关系．从生活中的情景中引入，通过直观感知和动手操作。强化学生的直观理解，培养学生使用数学的良好意识，激发学习兴趣、体会数学的应用价值。
三、学情分析
1.基础知识
学生在小学阶段学习绘制简单统计图（如条形图、折线图），并能从图表中提取信息，其次了解“概率是事件发生的可能性大小”，这些为本节课的学习提供了知识基础；但对概率的统计定义尚未系统学习，对大量重复实验得到频率的稳定值的分析还存在障碍。
2.行为习惯
七年级学生乐于动手操作，也已经适应小组分工合作模式，同时已经养成提前预习的习惯，在课堂上也能认真听讲、及时整理笔记，但是在主动反思、大胆质疑、有效表达等方面还稍有欠缺.
3.关键能力
七年级学生对数学的学习热情较高，且初步具备了分析问题和探究问题的能力，这些都为本节课的学习奠定了基础.但由于七年级学生的抽象思维能力和知识迁移能力还处于发展中的水平；比如题目中的关键信息的提取、语言表达的专业性简洁性和规范性上都需要提高.希望，通过本节课的教学在这些方面有所突破.
四、学习目标
基础性目标 1.我能对具体事件发生的可能性进行判断. 2.我能通过试验数据的计算过程，总结出频率的概念.
拓展性目标 3.我能根据试验数据，绘制成频率的折线统计图. 4.我能发现进行大量试验时事件发生频率会稳定在一个常数附近.
挑战性目标 5.我能总结出频率与事件发生可能性间的关系. 6.我会模仿老师给出题目，改变其他情景问题，并进行验证.
五、实现路径
基础性目标 实现路径 课前：自主完成基础性目标
课堂：学生展示基础性目标活动，学生互相补充，教师点评
拓展性目标 实现路径 课前：阅读拓展性目标材料
课堂：自主完成拓展性目标，展示分享，学生相互补充，学生互评，教师点评
挑战性目标 实现路径 课前：阅读挑战性目标材料，尝试总结
课堂：学生独立思考后，小组合作总结形式，完成挑战性目标，展示分享，教师点评
课后：补充完善，形成设计作品
六、课堂流程
流程 时间 教师活动 学生活动
明确目标 拉齐基础 1分钟 展示本节课的三层学习目标向学生交待本节课的学习任务 明确本节课的学习任务
整体出发 逐渐分化 3分钟 通过生活中的具体情境，感知事件发生的可能性 明确单元整体学习脉络
创设情境 基础过关 1分钟 提出基础性目标问题，及时点拨 自主探究问题，回答基础性目标问题
自主探讨 个人展评 9分钟 组织学生探究拓展性目标问题并进行及时指导，帮助汇报学生 自主探究拓展性目标问题，指定汇报者汇报，其他同学互相补充
合作探讨 挑战突破 12分钟 指导学生完成挑战性目标问题结论的描述，指定学生进行展讲，及时点拨，并对表现优异的学生进行表扬 学生完成挑战性目标问题结论，重点如何理清思路，互相补充，并记录不懂的问题
答疑解惑拓展能力 12分钟 组织学生展示不懂的问题，对当堂练习进行点拨 学生展示不懂的问题，完成当堂练习
对照目标 检测效果 2分钟 再次展示本节课的三层学习目标 对照本节课的基础目标和拓展性目标，检测自己的学习效果，分享目标达成度
自我小结 挑战点拨 1分钟 请学生分享课堂收获体会、点评、肯定、补充 分享课堂收获，互相补充
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第三章 概率初步
3.2.1 频率及其稳定性
郑州外国语教育集团朗悦校区 杨迪
一 学习目标
三 新知讲解
五 当堂检测
二 复习回顾
四 课堂总结
六 作业布置
一 学习目标
基础性目标
1.我能对具体事件发生的可能性进行判断.
2.我能通过试验数据的计算过程，总结出频率的概念.
拓展性目标
3.我能根据试验数据，绘制成频率的折线统计图.
4.我能发现进行大量试验时事件发生频率会稳定在一个常数附近.
挑战性目标
5.我能总结出频率与事件发生可能性间的关系.
6.我会模仿老师给出题目，改变其他情景问题，并进行验证.
二 复习回顾
预备性知识
问题1：在一定条件下进行可重复试验时，有些事件一定会发生，这样的事件称为 .
问题2：在一定条件下进行可重复试验时，有些事件一定不会发生，这样的事件称为 .
问题3：在一定条件下进行可重复试验时，有些事件可能发生也可能不发生，这样的事件称为 .
必然事件
不可能事件
随机事件
三 新知讲解
活动1：（基础性目标1)
问题1：抛掷一枚瓶盖，落地后会出现两种情况：盖口向上 ，盖口向下.
你认为盖口向上和盖口向下的可能性一样大吗 请进行验证.
盖口向上和盖口向下的可能性是不相同的.
三 新知讲解
活动2：（基础性目标2）
问题2：请每人做20次掷瓶盖的游戏，并将数据记入下表.
总结：
在n次重复试验中，事件A发生了m次，则比值称为事件A发生的频率.
试验总次数
盖口向上的次数
盖口向下的次数
盖口向上的频率（ ）
盖口向下的频率（ ）
盖口向上的次数
试验总次数
盖口向下的次数
试验总次数
20次
12次
8次
0.6
0.4
三 新知讲解
．
问题3：累计全班同学的试验结果，并将试验数据汇总填入下表.
试验总次数n 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400
盖口向上的次数m
盖口向上的频率
根据试验数据，绘制成频率的折线统计图.
活动3：（拓展性目标3 ）
17 29 49 69 78 98 112 131 142 162
0.43 0.36 0.41 0.43 0.40 0.41 0.40 0.41 0.39 0.41
三 新知讲解
．
问题4：观察该折线图，盖口向上的频率的变化有什么规律？
活动3：（拓展性目标4）
在试验次数很大时，盖口向上的频率都会在一个常数附近摆动，即盖口向上的频率具有稳定性.
三 新知讲解
活动4：（挑战性目标5）
问题5：通过上面的试验，你认为盖口向上和盖口向下的可能性一样大吗？
不一样大，因为盖口向上的频率稳定在0.4左右
三 新知讲解
活动4：（挑战性目标5）
问题6：小军和小凡一起做了1000次掷瓶盖的试验，其中有640次盖口向上.据此，他们认为盖口向上的可能性比盖口向下的可能性大.你同意他们的说法吗？
不同意，因为实验数据太小.
三 新知讲解
活动4：（挑战性目标6）
问题7：频率是事件发生与否有什么关系？
问题8：能否用频率表示事件发生的可能性？
问题9：请根据试验过程解决其他相关情境问题，再次总结频率的稳定性，并与同学分享？
四 课堂总结
对照本节课的学习目标，说说本节课你的收获
基础性目标
1.我能对具体事件发生的可能性进行判断.
2.我能通过试验数据的计算过程，总结出频率的概念.
拓展性目标
3.我能根据试验数据，绘制成频率的折线统计图.
4.我能发现进行大量试验时事件发生频率会稳定在一个常数附近.
挑战性目标 5.我能总结出频率与事件发生可能性间的关系.
6.我会模仿老师给出题目，改变其他情景问题，并进行验证.
五 当堂检测
必做题：
1.(基础练习）某单位要在两名射击队员中推选一名参加比赛，已知同等条件下，甲射中某物的可能性大于乙，则所推选的人应( )
A.选甲 B.选乙
C.都可以 D.不能确定
2.(拓展练习）为了看图钉落地后钉尖着地的频率有多大，小明做了大量重复试验，发现钉尖着地的次数是实验总次数的40%，下列说法错误的是( )
A.钉尖着地的频率是0.4
B.随着试验次数的增加，钉尖着地的频率稳定在0.4附近
C.钉尖着地的概率约为0.4
D.前20次试验结束后，钉尖着地的次数一定是8次
D
A
五 当堂检测
(1)把表中的数据补充完整(结果精确到0.01)
(2)摸到白球的频率的变化有什么规律？(结果精确到0.1)
3.(挑战练习)在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共40个，小颖与同学们做摸球试验，摸球方法是：将盒子里面的球搅匀后，从中随机摸出1个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，累计同学们摸球结果，记录的数据如下表所示:
试验次数 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1 000
摸到白球的次数 70 105 198 235 288 375 408 490 540 599
摸到白球的频率
五 当堂检测
试验次数 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1 000
摸到白球的次数 70 105 198 235 288 375 408 490 540 599
摸到白球的频率
0.70 0.53 0.66 0.59 0.58 0.63 0.58 0.61 0.60 0.60
(1)把表中的数据补充完整(结果精确到0.01)
(2)摸到白球的频率的变化有什么规律？(结果精确到0.1)
(2)当试验次数很大时，“任意摸出1个球是白色”的频率在0.6附近摆动.
五 当堂检测
选做题：
1.(基础练习）在一个不透明的口袋中装有10个白球和若干个红球，它们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在60%附近，则口袋中红球可能有（ ）
A．20个 B．18个 C．15个 D．10个
2.(拓展练习）生活在数字时代的我们，很多场合都要用到二维码，
二维码的生成原理是用特定的几何图形按编排规律在二维方向上分布，
采用黑白相间的图形来记录数据的符号信息．九年级学生王东帮妈妈打
印了一个收款二维码如图所示，该二维码的面积为9 ，他在该二维码
上随机掷点，经过大量重复试验，发现点落在白色区域的频率稳定在
0.4左右，则据此估计此二维码中黑色区域的面积为 .
C
五 当堂检测
选做题：
1.(基础练习）在一个不透明的口袋中装有10个白球和若干个红球，它们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在60%附近，则口袋中红球可能有（ ）
A．20个 B．18个 C．15个 D．10个
2.(拓展练习）生活在数字时代的我们，很多场合都要用到二维码，
二维码的生成原理是用特定的几何图形按编排规律在二维方向上分布，
采用黑白相间的图形来记录数据的符号信息．九年级学生王东帮妈妈打
印了一个收款二维码如图所示，该二维码的面积为9 ，他在该二维码
上随机掷点，经过大量重复试验，发现点落在白色区域的频率稳定在
0.4左右，则据此估计此二维码中黑色区域的面积为 .
C
六 作业布置
必做题：
1.(基础性)小莹和小亮玩“抓纸牌”的游戏．在一个不透明的盒子里，有8张红桃、4张黑桃、张方块．每张牌质地、大小都相同，一人摸牌，一人记录．经过多次的试验、数据的记录、平均值的计算，小莹和小亮发现摸出方块的频率越来越接近．请你估计的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2.(基础性)一个不透明的袋子中有黑色、红色和黄色三种颜色的球，这些球除颜色外都相同.若从中任意摸出一球，记下颜色后再放回去，重复这样的试验400次，有98次摸出了黄球，则在这次试验中，随机摸出的一球为黄球的频率为________．
3.(拓展性)一个不透明的盒子中装有黑球、红球共10个，这些球除颜色外均相同.经过多次摸球试验发现，摸到黑球的频率稳定在0.4左右，则盒子中红球的个数约为___.
0.245
D
6
六 作业布置
选做题：
4. 对某批乒乓球的质量进行随机抽查，结果如下表：
(1)请完成上表．
(2)在图中画出优等品频率的折线统计图：
随机抽取的乒乓球队数n 200 400 600 800 1000 1600 2000
优等品数m 190 384 570 756 955 1520 1900
优等品率
(2)解：画折线统计图如图所示.
0.95 0.96 0.95 0.945 0.955 0.95 0.95
六 作业布置
挑战性作业：
4. 对某批乒乓球的质量进行随机抽查，结果如下表：
(1)请完成上表．
(2)在图中画出优等品频率的折线统计图：
(3)观察画出的折线统计图，优等品频率的变化有什么规律？
随机抽取的乒乓球队数n 200 400 600 800 1000 1600 2000
优等品数m 190 384 570 756 955 1520 1900
优等品率
0.95 0.96 0.95 0.945 0.955 0.95 0.95
(3)解：随着抽取乒乓球数的增多，优等品的频率稳定在0.95左右.
5. 请自己根据生活经验编写一道与频率有关的题目.
Thanks!
https://www.21cnjy.com/recruitment/home/fine
