《3.3.2和摸球有关的概率》教学设计
—— 郑州外国语教育集团朗悦校区 陈芳芳
一、课型
新授课
二、内容分析
(一)课标要求
《义务教育数学课程标准(2022年版)》能综合运用统计与概率的思维方法解决简单的实际问题。
(二)教材解读
在小学阶段，学生通过试验、游戏等活动，已经对简单的随机现象及其结果发生的可能性有所认识，能定性描述一些简单随机现象发生的可能性的大小，具备了数据意识。本章以小学阶段对“随机现象发生的可能性”的认识为基础，开始初中阶段对“随机事件的概率”的学习。初中简单随机事件概率的计算是数学学科中概率论的基础内容，广泛存在于各版本教材中。这部分内容旨在帮助学习者理解随机现象，掌握计算事件发生可能性大小的方法，培养数据分析观念与随机思维。
本课时基于学生对频率、概率认识的基础之上，提出具体学习任务：理解游戏的公平性，并能根据不同题目要求设计出符合条件的摸球游戏.引导学生经历数据收集、整理与表示、数据分析以及做出推断，发展学生的随机意识。
本节课处于等可能事件概率的第2课时，能运用公式解决涉及一步试验的简单古典概型的概率计算问题、设计符合要求的简单概率模型，加深对概率意义的理解。
本节课重点是概率模型概念的形成过程；本节课的难点是分析概率模型的特点，总结概率计算的方法。
三、学情分析
1.基础知识
学生对概率有了初步的认识，以商场促销的转转盘活动和掷骰子游戏为素材，让学生经历猜测、试验、收集试验数据、分析试验结果等活动过程，体验生活中有许多事件的发生是不确定的，认识必然事件、不可能事件和随机事件，感受随机事件发生的可能性有大有小。通过抛瓶盖和掷硬币两个试验，让学生经历“猜测-试验和收集试验数据一分析试验结果-验证猜测”的过程，感受随机事件发生的频率具有稳定性，在此基础上认识概率的概念，初步体会在大量重复的试验中可以用随机事件发生的频率估计它发生的概率。为以后的学习奠定基础。
2.行为习惯
学生已经养成提前预习的习惯，在课堂上也能认真听讲、及时整理笔记。在计算摸球概率时，学生需准确分析基本事件、样本空间等，稍有疏忽就会出错。比如计算无放回摸球的概率，要考虑每次摸球后球的总数和各类球数量的变化，这能让学生养成严谨细致、一丝不苟的行为习惯。摸球概率问题有很多变化和拓展，如不同条件下的摸球规则、多种颜色球的组合等。学生在不断探索这些问题的过程中，会逐渐养成主动思考、积极探索的习惯，激发对数学学习的兴趣和好奇心，勇于挑战更高难度的数学问题。
在课堂上进行摸球试验或小组讨论概率问题时，学生需要与同学合作交流。他们要共同设计试验方案、记录数据、分析结果，在这个过程中学会倾听他人意见，表达自己的想法，从而培养合作互助、沟通交流的行为习惯。
3.关键能力
学生需要将摸球这一实际情境抽象为数学问题，把球的颜色、数量等具体信息转化为概率问题中的基本事件、样本空间等数学概念，忽略摸球过程中的无关因素，如球的大小、质地等非数学属性，提炼出与概率计算相关的关键要素，建立起概率模型。在计算摸球概率时，学生要依据概率的定义、公式以及相关定理进行逻辑推理。例如在分析有放回和无放回摸球的概率差异时，需要通过严谨的逻辑分析每次摸球的情况以及对后续摸球的影响，运用条件概率、独立事件等知识进行推理计算，得出正确的概率结果，以此培养学生的逻辑推理能力。这节课涉及到大量的数学运算，如计算基本事件总数、事件包含的基本事件数，以及运用排列组合公式、概率公式进行复杂的运算。像在计算从多个不同颜色球中摸出特定组合球的概率时，需要准确进行组合数的运算和概率公式的应用，以得到正确的概率值。
希望，通过本节课的教学在这些方面有所突破。
四、学习目标
基础性目标 1.我能根据随机事件的概率理解游戏的公平性
拓展性目标 2.我能用概率的计算方法求复杂的等可能事件的概率
挑战性目标 3.我能设计简单的公平的游戏.
实施路径
基础性目标 实现路径 课前：自主完成基础性目标
课堂：学生展示基础性目标活动，学生互相补充，教师点评
拓展性目标 实现路径 课前：阅读拓展性目标材料
课堂：自主完成拓展性目标，展示分享，学生相互补充，学生互评，教师点评
挑战性目标 实现路径 课前：阅读挑战性目标材料，尝试总结
课堂：学生独立思考后，小组合作总结形式，完成挑战性目标，展示分享，教师点评
课后：补充完善，形成设计作品
六、课堂流程
流程 时间 教师活动 学生活动
明确目标 拉齐基础 1分钟 展示本节课的三层学习目标向学生交待本节课的学习任务 明确本节课的学习任务
整体出发 逐渐分化 3分钟 运用古典概型的概率计算公式 明确单元整体学习脉络
创设情境 基础过关 4分钟 提出基础性目标问题，及时点拨 自主探究问题，回答基础性目标问题
自主探讨 个人展评 5分钟 组织学生探究拓展性目标问题并进行及时指导，帮助汇报学生规范数学语言 自主探究拓展性目标问题，指定汇报者汇报，其他同学互相补充
合作探讨 挑战突破 12分钟 指导学生完成挑战性目标问题结论的描述，指定学生进行展讲，及时点拨，并对表现优异的学生进行表扬 学生完成挑战性目标问题结论，重点如何理清思路，互相补充，并记录不懂的问题
答疑解惑拓展能力 12分钟 组织学生展示不懂的问题，对当堂练习进行点拨 学生展示不懂的问题，完成当堂练习
对照目标 检测效果 2分钟 再次展示本节课的三层学习目标 对照本节课的基础目标和拓展性目标，检测自己的学习效果，分享目标达成度
自我小结 挑战点拨 1分钟 请学生分享课堂收获体会、点评、肯定、补充 分享课堂收获，互相补充
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3.3.2和摸球有关的概率
郑州外国语教育集团朗悦校区 陈芳芳
一 学习目标
三 新知讲解
五 当堂检测
二 复习回顾
四 课堂总结
六 作业布置
学习目标
基础性目标 1.我能根据随机事件的概率理解游戏的公平性；
拓展性目标
2.我能用概率的计算方法求复杂的等可能事件的概率；
挑战性目标 3.我能设计简单的公平的游戏.
预备性知识
1. 掷一枚质地均匀的正方体骰子，向上一面的点数为偶数的概率是 .
2. 商场举办有奖销售活动，每张奖券被抽中的可能性相同.若以每1 000张奖券为一个开奖单位，设5个一等奖、15个二等奖，不设其他奖项，则只抽1张奖券恰好中奖的概率是 .
活动1(基础性目标1)
问题 在学校里，我们经常会组织一些有意义的体育比赛，比如说拔河、兵乓球、篮球赛等.那么在比赛之前双方是通过什么来确定班级出场顺序的呢
抓阄、抽签等
为什么要采用上面的方法来确定
场地呢
为了保证比赛的公平
活动1(基础性目标1)
思考
(1)一个袋中装有2个红球和3个白球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一个球，摸到红球的概率是多少？
小明说：“摸出的球不是红球就是白球，所以摸到红球和摸到白球的可能性相同，也就是，P(摸到红球)=.”
你觉得小明说得对吗？
不对
活动1(基础性目标1)
小凡说：“红球有2个，而白球有3个，将每一个球都编上号码，1号球(红色)，2号球(红色)，3号球(白色)，4号球(白色)，5号球(白色)，摸出每一个球的可能性相同，共有5种等可能的结果.摸到红球可能出现的结果有：摸出1号球或2号球，共有2种等可能的结果，所以，P(摸到红球)=”.
你觉得小凡说得对吗？
对
活动1(基础性目标1)
思考 (2)小明和小凡一起做游戏.在一个装有2个红球和3个白球(每个球除颜色外都相同)的盒子中任意摸出一个球，摸到红球小明获胜，摸到白球小凡获胜，这个游戏对双方公平吗？
活动1(基础性目标1)
不公平
如果将每一个球都编上号码，从盒中任意摸出一个球，共有5种等可能的结果:1号球，2号球，3号球，4号球，5号球，
摸出红球可能出现两种等可能的结果:摸出1号球或2号球.
P(摸到红球)=.
摸出白球可能出现三种等可能的结果:摸出3号球或4号球或5号球.
P(摸到白球)=
因为，所以这个游戏不公平
活动1(基础性目标1)
思考 (2)小明和小凡一起做游戏.在一个装有2个红球和3个白球(每个球除颜色外都相同)的盒子中任意摸出一个球，摸到红球小明获胜，摸到白球小凡获胜，这个游戏对双方公平吗？
在一个双人游戏中，你是怎样理解游戏对双方公平的？
游戏是否公平，应看双方获胜的概率是否相等.
活动1(基础性目标1)
游戏对双方公平是指双方获胜的可能性相同，即若游戏双方获胜的概率相同，则游戏对双方公平；否则，游戏对双方不公平.
注意:游戏对双方公平，并不是指双方获胜的概率必须是，而是只要获胜的概率相等即可.
活动1(基础性目标1)
基础性目标练习：
一个不透明的布袋里装有16个只有颜色不同的球，其中红球有x个，白球有2x个，其他均为黄球，现甲从布袋中随机摸出一个球，若是红球则甲同学获胜，甲同学把摸出的球放回并搅匀，由乙同学随机摸出一个球，若为黄球，则乙同学获胜.
(1)当x=3时，谁获胜的可能性大
(2)当x为何值时，游戏对双方是公平的
活动1(基础性目标1)
基础性目标练习：
解：
(1)甲同学获胜可能性为，乙同学获胜可能性为，因为
，所以当x＝3时，乙同学获胜可能性大.
(2)游戏对双方公平必须有：，解得x＝4，
所以当x＝4时，游戏对双方是公平的.
活动2(拓展性目标2)
纸箱中装有5个只有颜色不同的球，其中2个白球，3个红球
如果随机取出一个球是白球的概率为 ，则应往纸箱内加放几个红球？
解：设应加x个红球，则，
解得x=7.
答:应往纸箱内加放7个红球.
活动2(拓展性目标2)
拓展性目标2练习
一个袋中装有 22个红球和 18个白球，这些球除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，摸到红球的概率是多少
解:从袋中摸出一个球共有22+18=40(种)等可能的结果，
其中摸到红球的结果有22种，
所以P(摸到红球)= =.
活动3(挑战性目标3)
利用一个口袋和4个除颜色外完全相同的球设计一个摸球游戏.
(1)使得摸到红球的概率是，摸到白球的概率也是；
(2)使得摸到红球的概率是，摸到白球和黄球的概率都是.
(1)在一个不透明的口袋里装入除颜色外完全相同的2个红球和2个白球，摇匀后，从中任摸一球则摸到红球的概率是，摸到白球的概率也是.
活动3(挑战性目标3)
利用一个口袋和4个除颜色外完全相同的球设计一个摸球游戏.
(1)使得摸到红球的概率是，摸到白球的概率也是；
(2)使得摸到红球的概率是，摸到白球和黄球的概率都是.
(2)在一个不透明的口袋里装入除颜色外完全相同的2个红球，1个白球和1个黄球，摇匀后，从中任摸一球摸到红球的概率是，摸到白球和黄球的概率都是.
活动3(挑战性目标3)
(1)使得摸到红球的概率是，摸到白球的概率也是；
(2)使得摸到红球的概率是，摸到白球和黄球的概率都是.
你能选取8个除颜色外完全相同的球分别设计满足上述条件的游戏吗
能用8个除颜色外完全相同的球分别设计满足上述条件的游戏，将前面答案的球的个数变大为2倍即可.
活动3(挑战性目标3)
(1)在一个不透明的口袋里装入除颜色外完全相同的4个红球和4个白球，摇匀后，从中任摸一球，则摸到红球的概率是，摸到白球的概率也是.
(2)在一个不透明的口袋里装入除颜色外完全相同的4个红球、2个白球和2个黄球，摇匀后，从中任摸球，则摸到红球的概率是，摸到白球和黄球的概率都是.
活动3(挑战性目标3)
(1)使得摸到红球的概率是，摸到白球的概率也是；
(2)使得摸到红球的概率是，摸到白球和黄球的概率都是.
你能选取7个除颜色外完全相同的球分别设计满足上述条件的游戏吗
不能
课堂小结
对照学习目标检查学习效果
基础性目标 1.我能根据随机事件的概率理解游戏的公平性；
拓展性目标
2.我能用概率的计算方法求复杂的等可能事件的概率；
挑战性目标 3.我能设计简单的公平的游戏.
当堂检测
1.（基础性目标1）现有一张演唱会门票，小明和小亮都想获得，小红为他们出了一个主意：从印有数字1，2，3，4，5，4，6，7的8个小球（除数字外都相同）中任意摸出一个，若球面上数字比4大，则小明去；否则，小亮去.你认为这种方法对小明和小亮公平吗？请说明理由。
当堂检测
1.（基础性目标1）
解：不公平
理由：∵P（球面数字比4大）= ，
∴P（小明得到门票）= .
∴P（小亮得到门票）=1 = .
∵<，
∴游戏不公平.
当堂检测
2.（拓展性目标2）不透明的袋子中装有白球2个、红球1个，这些球除了颜色外无差别.从袋子中随机取出1个球，取出白球的概率是( )
A. 1 B. C. D.
D
当堂检测
3.一个不透明的袋子中装有4个白球、3个红球、2个绿球和1个黑球，每个球除颜色外都相同.从中随机摸出一个球，则下列
事件发生的概率为 的是( )
A. 摸出白球 B. 摸出红球 C. 摸出绿球 D. 摸出黑球
B
当堂检测
4.（拓展性目标2）一个不透明的箱子里装有红、黄、蓝三种颜色的小球共30个，它们除颜色外均相同，其中红球有6个，黄球的数量是蓝球数量的2倍.
（1）求摸出一个球是蓝球的概率.
（2）再往箱子里放入多少个蓝球，可以使摸出一个球是蓝球的概率为？
当堂检测
4.（拓展性目标2）
解：蓝球有(30 6)÷3=8 （个），
∴P（摸出一个球是蓝球）= = .
解：设再往箱子里放入x 个蓝球.根据题意，得
2(x+8)=x+30，解得x=14 .
答：再往箱子里放入14个蓝球，可以使摸出一个球是蓝球的概率为 .
当堂检测
5.（拓展性目标3）小明和小颖用一副去掉大、小王的扑克牌做摸牌游戏：小明从任意抽取一张牌（不放回），小颖从剩余的牌中任取一张，谁摸到的牌面大谁就获胜（规定牌面从小到大的顺序为：2，3，4，5，6，7，8，9，10，J，Q，K，A，且牌面的大小与花色无关）然后两人把摸到的牌都放回，重新开始游戏
（1）现小明已经摸到的牌面为4，然后小颖摸牌，那么小明获胜的概率是_________；小颖获胜的概率又是_________.
（2）若小明已经摸到的牌面为2，情况又如何？小明已经摸到的牌面为A呢？
当堂检测
解：（1）P（小明获胜）=；
P（小颖获胜）=；
（2）P（小明获胜）=0；
P（小颖获胜）=；
P（小明获胜）= =；
P（小颖获胜）=0．
当堂检测
6.(挑战性目标3)利用一个口袋和8个除颜色外完全相同的球设计一个摸球游戏.使得摸到红球的概率是 ，摸到白球和黄球的概率都是 你能选取7个除颜色外完全相同的球分别设计满足上述条件的游戏吗
当堂检测
6.(挑战性目标3).
不能，理由如下：
一个袋里有8个球，其中4个红球，2个白球，2个黄球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一个球
则P（摸到红球）= = P（摸到白球）= =
P（摸到黄球）= =
∴不能选取7个除颜色外完全相同的球设计满足以上条件的游戏
课后作业 (可根据实际选做)
基础性作业：
1.甲、乙两人玩抽扑克牌游戏，他们准备了9张从2到10的牌，并规定甲抽到6至10的牌，那么算甲胜，如果抽到6以下的牌，那么算乙胜．这个游戏规则对甲、乙来说 .（填“公平”或“不公平”）
不公平
课后作业 (可根据实际选做)
拓展性作业：
2.不透明的箱子里有50个白球和10个红球，小慧打算从箱内摸球31次，每次从箱内摸出一球，若摸出白球，则将白球放回箱内；若摸出红球，则不将红球放回箱内.已知小慧在前30次摸球中共摸出红球4次，若她第31次摸球时箱内的每个球被摸出的机会相等，则这次她摸出红球的
概率为( )
A. B. C. D.
D
课后作业 (可根据实际选做)
拓展性作业：
3.一个不透明的袋中装有6个白球和 个红球，这些球除颜色外无差别.充分搅匀后，从袋中随机取出一个球是白球的概率为,则 ___.
9
课后作业 (可根据实际选做)
拓展性作业：
4.一个不透明的袋子中装有9个红球和6个黄球，这些球除颜色外都相同，将袋子中的球充分摇匀后，随机摸出一个球.
（1）摸出红球的概率是多少？摸出黄球的概率是多少？
（2）为了使摸出红球和黄球的概率相同，再放进去5个球，那么这5个球中红球和黄球的数量分别是多少？
课后作业 (可根据实际选做)
拓展性作业：
解：（1）摸出红球的概率是 = ，摸出黄球的概率是 = .
（2）设放入红球x个，则放入黄球(5 x) 个.由题意，得
= ，
解得x=1 .
∴5 x=4 .
∴这5个球中红球有1个，黄球有4个.
课后作业 (可根据实际选做)
挑战性作业：
5．请你设计一个简单的公平的游戏，并说明理由。
Thanks!
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