9.2.3　总体集中趋势的估计 9.2.4　总体离散程度的估计 课后训练（含解析）-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第九章　9.2.3　总体集中趋势的估计 9.2.4　总体离散程度的估计
A级——基础过关练
1．一组数据84，79，86，87，84，93，84的中位数和众数分别是(　　)
A．84，85 B．84，84
C．85，84 D．85，85
2．(2024年泸州模拟)某篮球兴趣小组7名学生参加投篮比赛，每人投10个，投中的个数分别为8，5，7，5，8，6，8，则这组数据的众数和中位数分别为(　　)
A．5，7　　 B．6，7
C．8，5　　 D．8，7
3．如图是一次考试成绩的统计图，根据该图可估计，这次考试的平均分数为(　　)
A．46　　 B．36
C．56　　 D．60
4．数据x1，x2，x3，x4，x5，x6的方差是5，则数据2x1－2，2x2－2，2x3－2，2x4－2，2x5－2，2x6－2的方差是(　　)
A．20　　 B．18
C．10　　 D．8
5．(多选)(2024年中山模拟)某单位为了解职工体重情况，采用分层随机抽样的方法从800名职工中抽取了一个容量为80的样本．其中，男性平均体重为64千克，方差为151；女性平均体重为56千克，方差为159，男女人数之比为5∶3，下列说法正确的是(　　)
A．样本为该单位的职工 B．每一位职工被抽中的可能性为
C．该单位职工平均体重61千克 D．单位职工体重的方差为169
6．(2024年成都三模)已知某人收集一个样本容量为50的一组数据，并求得其平均数为70，方差为75，现发现在收集这些数据时，其中得两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90，在对错误得数据进行更正后，重新求得样本的平均数为，方差为s2，则(　　)
A．＜70，s2＞75 B．＞70，s2＜75
C．＝70，s2＞75 D．＝70，s2＜75
7．(2024年洛阳月考)已知一组数据为47，48，51，54，55，则该组数据的标准差是________．
8．(2024年深圳模拟)已知样本x1，x2，x3的平均数为2，方差为1，则x，x，x的平均数为________．
9．已知样本数据x1，x2，…，x10的平均数为5，方差为8；样本数据y1，y2，…，y5的平均数为8，方差为5．现将两组样本数据合并，则新的样本数据x1，x2，…，x10，y1，y2，…，y5的方差为______．
10．甲、乙两人在相同条件下各射击10次，每次中靶环数情况如图所示．
(1)请填写下表(写出计算过程)：
数据 平均数 方差 命中9环及9环以上的次数
甲
乙
(2)从下列三个不同的角度对这次测试结果进行分析：
①从平均数和方差相结合看(分析谁的成绩更稳定)；
②从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看(分析谁的成绩好些)；
③从折线图上两人射击命中环数的走势看(分析谁更有潜力)．
B级——综合运用练
11．(2024年莆田三模)已知数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为，方差为s2，数据3x1－1，3x2－1，3x3－1，…，3xn－1的平均数为1，方差为s，则(　　)
A．1＝3，s＝9s2 B．1＝3，s＝9s2－1
C．1＝3－1，s＝9s2 D．1＝3－1，s＝9s2－1
12．(2024年涡阳月考)某班共有36名男生和24名女生，统计他们的体重数据(单位：kg)，已知男生体重的平均数为65，方差为34，全体学生体重的平均数为59，方差为86，则该班女生体重的方差为________．
13．漳州古城有着上千年的建城史，是国家级闽南文化生态保护区的重要组成部分，并入选首批“中国历史文化街区”．“五一”假期来漳州古城旅游的人数创新高，单日客流峰值达20万人次．为了解游客的旅游体验满意度，某研究性学习小组用问卷调查的方式随机调查了100名游客，该兴趣小组将收集到的游客满意度分值数据分成六段：[40，50)，[50，60)，…，[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中a的值，并估计100名游客满意度分值的众数和中位数(结果保留整数)；
(2)已知满意度分值落在[70，80)的平均数1＝75，方差s＝9，在[80，90)的平均数为2＝85，方差s＝4，试求满意度分值在[70，90)的平均数和方差s2．
C级——创新拓展练
14．(2024年浙江模拟)在对某校高三学生体质健康状况某个项目的调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生80人，女生120人，其方差分别为15，10，由此估计样本的方差不可能为(　　)
A．11 B．13
C．15 D．17
参考答案
【A级——基础过关练】
1.【答案】B
【解析】把这组数据按从小到大的顺序排列为79，84，84，84，86，87，93，可知众数是84，中位数是84．
2.【答案】D
【解析】将数据由小到大进行排列为5，5，6，7，8，8，8，因此，这组数据的众数为8，中位数为7．故选D．
3.【答案】A
【解析】根据题中统计图，可估计有4人成绩在[0，20)之间，其考试分数之和为4×10＝40；有8人成绩在[20，40)之间，其考试分数之和为8×30＝240；有10人成绩在[40，60)之间，其考试分数之和为10×50＝500；有6人成绩在[60，80)之间，其考试分数之和为6×70＝420；有2人成绩在[80，100]之间，其考试分数之和为2×90＝180．由此可知，考生总人数为4＋8＋10＋6＋2＝30，考试总成绩为40＋240＋500＋420＋180＝1 380，平均数为＝46．
4.【答案】A
【解析】根据题意，数据x1，x2，x3，x4，x5，x6的方差s2＝5，则数据2x1－2，2x2－2，2x3－2，2x4－2，2x5－2，2x6－2的方差s′2＝22×s2＝4×5＝20．故选A．
5.【答案】BCD
【解析】样本为该单位抽取的80名职工的体重，A错误；每一位职工被抽中的可能性为＝，B正确；单位职工平均体重为＝×64＋×56＝61，C正确；单位职工体重的方差为s2＝[151＋(64－61)2]＋[159＋(56－61)2]＝169，D正确．故选BCD．
6.【答案】D
【解析】根据题意，在收集这些数据时，其中得两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90，由于80＋70＝60＋90，则在更正数据之后，数据的平均数不变，即平均数＝70，不妨设其他48个数据依次为a1，a2，…，a48，所以(a1－70)2＋(a2－70)2＋…＋(a48－70)2＋(60－70)2＋(90－70)2＝50×75，(a1－70)2＋(a2－70)2＋…＋(a48－70)2＋(80－70)2＋(70－70)2＝50×s2，即50(s2－75)＝100－400－100＝－400＜0，故s2＜75．故选D．
7.【答案】
【解析】数据47，48，51，54，55的平均数为＝×(47＋48＋51＋54＋55)＝51，所以方差s2＝×[(－4)2＋(－3)2＋02＋32＋42]＝10，所以该组数据的标准差s＝．
8.【答案】5
【解析】由题意可知x1＋x2＋x3＝6，(x1－2)2＋(x2－2)2＋(x3－2)2＝3，所以x＋x＋x－4(x1＋x2＋x3)＋12＝3，所以x＋x＋x＝15，所以x，x，x的平均数为×(x＋x＋x)＝5．
9.【答案】9
【解析】因为＝5，＝8，所以＝＝6，则新的样本数据的方差为×[8＋(5－6)2]＋×[5＋(8－6)2]＝9．
10.解：甲射击10次中靶环数分别为9，5，7，8，7，6，8，6，7，7，
将它们由小到大排列为5，6，6，7，7，7，7，8，8，9．
乙射击10次中靶环数分别为2，4，6，8，7，7，8，9，9，10，
将它们由小到大排列为2，4，6，7，7，8，8，9，9，10．
(1)甲＝×(5＋6×2＋7×4＋8×2＋9)＝7(环)，
乙＝×(2＋4＋6＋7×2＋8×2＋9×2＋10)＝7(环)，
s＝×[(5－7)2＋(6－7)2×2＋(7－7)2×4＋(8－7)2×2＋(9－7)2]＝1.2，
s＝×[(2－7)2＋(4－7)2＋(6－7)2＋(7－7)2×2＋(8－7)2×2＋(9－7)2×2＋(10－7)2]＝5.4．
填表如下：
数据 平均数 方差 命中9环及9环以上的次数
甲 7 1.2 1
乙 7 5.4 3
(2)①∵平均数相同，s＜s，
∴甲成绩比乙稳定．
②∵平均数相同，命中9环及9环以上的次数甲比乙少，
∴乙成绩比甲好些．
③∵甲成绩在平均数上下波动，而乙处于上升势头，从第三次以后就没有比甲少的情况发生，
∴乙更有潜力．
【B级——能力提升练】
11.【答案】C
【解析】已知样本数据x1，x2，…，xn的平均数为，方差为s2，数据3x1－1，3x2－1，3x3－1，…，3xn－1的平均数为1，方差为s，所以1＝3－1，s＝9s2．故选C．
12.【答案】29
【解析】设女生体重的平均数为，方差为s2，所以59＝×65＋×，解得＝50，所以86＝×[34＋(65－59)2]＋×[s2＋(50－59)2]，解得s2＝29．
13.解：(1)由频率分布直方图可得，(0.005＋0.010×2＋0.020＋a＋0.025)×10＝1，
解得a＝0.030．
由频率分布直方图可估计众数为85，
满意度分值在[40，80)的频率为(0.005＋0.010×2＋0.020)×10＝0.45＜0.5，
在[40，90)的频率为(0.005＋0.010×2＋0.002＋0.030)×10＝0.75＞0.5，
所以中位数落在区间[80，90)内，
所以中位数为80＋10×＝≈82．
(2)由频率分布直方图得，满意度分值在[70，80)的频率为0.02×10＝0.2，人数为20，
在[80，90)的频率为0.03×10＝0.3，人数为30，
所以满意度分值在[70，90)的平均数＝×75＋×85＝81，
满意度分值在[70，90)的方差s2＝×[9＋(75－81)2]＋×[4＋(85－81)2]＝30．
【C级——创新拓展练】
14.【答案】A
【解析】设男生体质健康状况的平均数为，女生体质健康状况的平均数为，总体的平均数为，方差为s2，则＝＋＝＋，所以s2＝×[15＋(－)2]＋×[10＋(－)2]＝×＋×＝12＋(－)2≥12，结合选项，可得A项不可能．故选A．