第九章　统计 章末检测（含解析）-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第九章　统计
章末检测
(时间：120分钟，满分150分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．(2024年聊城东昌府区月考)总体由编号为01，02，…，39，40的40个个体组成，从中选取5个个体．利用科学计算器依次生成一组随机数如下，则选出来的第5个个体的编号为(　　)
66　06　58　61　54　35　02　42　35　48　96　21　14　32　52　41　52　48
A．54 B．14
C．21 D．32
2．(2024年揭阳期末)已知由小到大排列的4个数据1，3，4，a的极差是它们中位数的2倍，则a＝(　　)
A．5 B．6
C．7 D．8
3．(2024年永昌月考)在北京冬奥会期间，共有超过1.8万名赛会志愿者和20余万人次城市志愿者参与服务．据统计某高校共有本科生1 000人，硕士生200人，博士生20人申请报名做志愿者，现用分层随机抽样方法从中抽取一批志愿者，若抽取的博士生是4人，则从该高校抽取的志愿者总人数为(　　)
A．224 B．244
C．264 D．294
4．(2024年杭州西湖区模拟)已知一组数据1，2，3，4，x的上四分位数是x，则x的取值范围为(　　)
A．{3} B．[2，3]
C．[3，4] D．{4}
5．某地区连续六天的最低气温(单位：℃)为9，8，7，6，5，7，则该六天最低气温的平均数和方差分别为(　　)
A．7和　　 B．8和
C．7和1　　 D．8和
6．假设从高一年级全体同学(500人)中随机抽出60人参加一项活动，利用随机数法抽取样本时，先将500名同学按000，001，…，499进行编号，如果从随机数表第8行第11列的数开始，按三位数连续向右读取，最先抽出的4名同学的号码是(下面摘取了此随机数表第7行和第8行)(　　)
84421 75331 57245 50688 77047 44767 21763 35025
63016 37859 16955 56719 98105 07175 12867 35807
A．455　068　047　447 B．169　105　071　286
C．050　358　074　439 D．447　176　335　025
7．(2024年江门新会区月考)已知总体划分为3层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本容量分别为n1，n2，n3，样本平均数分别为1，2，3，样本方差分别为s，s，s，若n1∶n2∶n3＝1∶2∶3，则(　　 )
A．1∶2∶3＝1∶2∶3
B．s∶s∶s＝1∶4∶9
C．总体样本平均数＝1＋22＋33
D．当1＝2＝3时，总体方差s2＝s＋s＋s
8．(2024年宜宾三模)为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党、知史爱国的热情，某校举办了“学党史、育新人”的党史知识竞赛，并将1 000名师生的竞赛成绩(满分100分，成绩取整数)整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法错误的是(　　)
A．a的值为0.005
B．估计这组数据的众数为75分
C．估计成绩低于60分的有250人
D．估计这组数据的中位数为分
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．
9．(2024年杭州期末)已知一组数据：3，3，4，4，4，x，5，5，6，6的平均数为4.7，则(　　)
A．x＝7
B．这组数据的中位数为4
C．若将这组数据每一个都加上0.3，则所有新数据的平均数变为5
D．这组数据的第70百分位数为5.5
10．某学校为了调查学生在一周生活方面的支出情况，抽出了一个样本量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50，60)元的学生有60人，则下列说法正确的有(　　)
A．样本中支出在[50，60)元的频率为0.03
B．样本中支出不少于40元的人数有132
C．n的值为200
D．若该校有2 000名学生，则一定有600人支出在[50，60)元
11．(2024年广州期末)广州市某中学为了解学生数学史知识的积累情况，随机抽取150名同学参加数学史知识测试，测试题共5道，每答对一题得20分，答错得0分．得分不少于60分记为及格，不少于80分记为优秀，测试成绩百分比分布图如图所示，则(　　)
A．该次数学史知识测试及格率超过90%
B．该次数学史知识测试得满分的同学有15名
C．该次测试成绩的中位数大于测试成绩的平均数
D．若该中学共有3 000名学生，则数学史知识测试成绩能得优秀的同学大约有1 800名
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．(2024年湛江赤坎区期末)某市场有四类食品，其中粮食类、蔬菜类、肉类和水果类分别有10种、20种、20种和50种，现在从中抽取一个容量为50的样本进行食品安全检测，若采用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取样本，则抽取的粮食类和水果类的样本数之和为________．
13．将样本量为100的某个样本数据拆分为10组，若前七组的频率之和为0.79，而剩下的三组的频率依次相差0.05，则剩下的三组中频率最高的一组的频率为________．
14．从甲、乙两个厂家生产的同一种产品中各抽取8件产品，对其使用寿命(单位：年)跟踪调查结果如下：甲：3，4，5，6，8，8，8，10；乙：3，3，4，7，9，10，11，12．两个厂家在广告中都称该产品的使用寿命是8年，请根据结果判断厂家在广告中分别运用了平均数、众数、中位数中的哪一种集中趋势的特征数：甲：________，乙：________．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)求下列数据的四分位数．
13，15，12，27，22，24，28，30，31，18，19，20．
16．(15分)某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间(单位：分)，并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图)．已知上学所需时间的范围是[0，100]，样本数据分组为[0，20)，[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100]．
(1)求直方图中x的值；
(2)如果上学所需时间在[60，100]的学生可申请在学校住宿，请估计该校800名新生中有多少名学生可以申请住宿．
17．(15分)(2024年乐山市中区模拟)某体育学校为储备人才，准备通过测试(按照测试成绩高分优先录取的原则)录用学生300人，其中测试成绩前100名的学生为第一梯队，剩余的200名学生为第二梯队．实际报名学生为1 000人，测试满分为100分．测试后，对学生的测试成绩进行了抽样分析，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)估计此次测试的平均成绩；
(2)试估计该学校本次测试的录取分数，并判断测试成绩为88分的学生甲能否被录取？若能被录取，能否进入第一梯队？
18．(17分)(2024年佛山南海区开学考试)在一次高三年级统一考试中，数学试卷有一道满分为10分的选做题，学生可以从A，B两道题目中任选一题作答．某校有900名高三学生参加了本次考试，为了了解该校学生选做题的答题情况，计划从900名考生的选做题成绩中随机抽取一个容量为10的样本，为此将900名考生选做题的成绩依次编号为001，002，…，900．
(1)将10个手感一样，分别标有数字0，1，…9的小球放入不透明袋中，搅拌均匀，抽出一个，记下数字．重复以上过程数次，得到以下数字，以此为依据获得10个样本的编号，试写出选取10个样本编号的过程及结果；
7　0　7　6　2　6　9　4　2　9　2　7　9　2　6　4　4　6　0　7　2　0　2　1　3　9　2　
0　5　8　5　8　7　7　6　6　3　9　2　0　0　5　0　0　2　8　8　9　6
(2)采用分层随机抽样的方法按照学生选择A题目或B题目，将成绩分为两层，且样本中A题目的成绩有8个，平均数为7，方差为4；样本中B题目的成绩有2个，平均数为8，方差为1，试估计这900名考生选做题得分的平均数与方差．
19．(17分)(2024年佛山月考)为了估计一批产品的质量状况，现对100个产品的相关数据进行综合评分(满分100分)，并制成如图所示的频率分布直方图．记综合评分为80分及以上的产品为一等品．
(1)求图中a的值，并求综合评分的平均数；
(2)用样本估计总体，以频率作为概率，按分层随机抽样的思想，先在该条生产线中随机抽取5个产品，再从这5个产品中随机抽取2个产品记录有关数据，求这2个产品中最多有1个一等品的概率；
(3)已知落在[50，60)的平均综合评分是54，方差是3，落在[60，70)的平均综合评分为63，方差是3，求落在[50，70)的总平均综合评分和总方差s2．
参考答案
选择题
1.【答案】B
【解析】因为生成的随机数中落在编号01，02，…，39，40内的数分别有06，35，02，35(重复)，21，14，32，根据上述的数据分析可知，第5个编号为14．故选B．
2.【答案】D
【解析】由题意可得极差为a－1，中位数为＝3.5，则a－1＝2×3.5，解得a＝8．故选D．
3.【答案】B
【解析】根据题意知分层随机抽样的比例为＝，所以该高校抽取的志愿者总人数为
(1 000＋200＋20)×＝244．故选B．
4.【答案】C
【解析】在五个数中，上四分位数为第二大的数，故1，2，3，4，x中第二大的数是x，则3≤x≤4．故选C．
5.【答案】A
【解析】由题意，六天最低气温的平均数＝×(9＋8＋7＋6＋5＋7)＝7，方差s2＝×[(9－7)2＋(8－7)2＋(7－7)2＋(6－7)2＋(5－7)2＋(7－7)2]＝．故选A．
6.【答案】B
【解析】由随机数表法的随机抽样的过程可知最先抽出的4名同学的号码为169，105，071，286．
7.【答案】D
【解析】对于A，B，由于样本容量与样本平均数、样本方差之间并不是成某种比例关系，故A，B错误；对于C，n1∶n2∶n3＝1∶2∶3，可设n1＝k，n2＝2k，n3＝3k，k∈N*，则总体样本平均数＝＝＝1＋2＋3，故C错误；对于D，当1＝2＝3时，总体样本平均数＝1＝2＝3，所以总体方差s2＝{n1[s＋(1－)2]＋n2[s＋(2－ )2]＋n3[s＋(3－)2]}＝＝s＋s＋s，故D正确．故选D．
8.【答案】D
【解析】10(2a＋3a＋3a＋6a＋5a＋a)＝1，解得a＝0.005，故A正确；由图易得在区间[70，80)的人最多，故可估计这组数据的众数为75，故B正确；10×0.005×(2＋3)×1 000＝250，故成绩低于60分的有250人，即C正确；由图中前三组面积之和为(2＋3＋3)×0.005×10＝0.4，前四组面积之和为(2＋3＋3＋6)×0.005×10＝0.7，故这组数据的中位数在第四组数据中，设这组数据的中位数为m，则有0.4＋6×0.005(m－70)＝0.5，解得m＝，即估计这组数据的中位数为，故D错误．故选D．
多项选择题
9.【答案】ACD
【解析】由题意得3＋3＋4＋4＋4＋x＋5＋5＋6＋6＝4.7×10，解得x＝7，故A正确；将这组数据从小到大排列为3，3，4，4，4，5，5，6，6，7，则中位数4.5，故B错误；若将这组数据每一个都加上0.3，则所有新数据的平均数变为4.7＋0.3＝5，故C正确；因为10×70%＝7，所以这组数据的第70百分位数为(5＋6)÷2＝5.5，故D正确．故选ACD．
10.【答案】BC
【解析】A中，样本中支出在[50，60)元的频率为1－(0.01＋0.024＋0.036)×10＝0.3，故A错误；B中，样本中支出不少于40元的人数有×60＋60＝132，故B正确；C中，n＝＝200，故C正确；D中，若该校有2 000名学生，则可能有600人支出在[50，60)元，故D错误．故选BC．
11.【答案】ACD
【解析】由题图，得及格率为1－8%＝92%，故A正确；由题图，得该测试满分同学的百分比为1－8%－32%－48%＝12%，所以测试得满分的同学有12%×150＝18，故B错误；由题图，得中位数为80分，平均数为40×8%＋60×32%＋80×48%＋100×12%＝72.8(分)，显然中位数大于平均数，故C正确；由题意，3 000名学生成绩能得优秀的同学预计有3 000×(48%＋12%)＝1 800(名)，故D正确．故选ACD．
填空题
12.【答案】30
【解析】由题意可知，抽取的粮食类和水果类的样本数之和为50×＝30．
13.【答案】0.12
【解析】设剩下的三组中频率最高的一组的频率为x，则另两组的频率分别为x－0.05，x－0.1．因为频率总和为1，所以0.79＋(x－0.05)＋(x－0.1)＋x＝1，解得x＝0.12．
14.【答案】众数　中位数
【解析】甲、乙两个厂家从不同角度描述了一组数据的特征．对甲分析，该组数据8出现的次数最多，故运用了众数；对乙分析，该组数据最中间的是7与9，故中位数是＝8，故运用了中位数．
解答题
15.解：把12个数据按从小到大的顺序排列如下．
12，13，15，18，19，20，22，24，27，28，30，31．
计算12×25%＝3，12×50%＝6，12×75%＝9，
所以数据的第25百分位数为＝16.5，
第50百分位数为＝21，
第75百分位数为＝27.5．
16.解：(1)由直方图可得到20x＋0.025×20＋0.006 5×20＋0.003×2×20＝1，
解得x＝0.012 5．
(2)由直方图可知，新生上学所需时间在[60，100]的频率为0.003×2×20＝0.12，所以800×0.12＝96(名)．
所以800名新生中估计有96名学生可以申请住宿．
17.解：(1)由频率分布直方图得这次测试的平均成绩为0.2×65＋0.3×75＋0.4×85＋0.1×95＝79．
(2)由题意知录取率为0.3，能进入第一梯队的概率为0.1，
设录取分数为x，∵分数落在[90，100]的概率为0.1，分数落在[80，90)的概率为0.4，
∴x∈[80，90)，令0.1＋(90－x)×0.04＝0.3，解得x＝85，
∴录取分数大概为85分，进入第一梯队的分数大概为90分，
∴学生甲能被录取，但不能进入第一梯队．
18.解：(1)根据题意，在得到的数字中，以连续的3个数字为单位依次选取，
由于942，927，926大于900，不符合题意，将它们剔除，
由此得到选取的10个样本编号依次为707，626，446，072，021，392，058，587，766，392；
(2)设样本中8个A题目的成绩分别为x1，x2，…，x8，2个B题目的成绩分别为 y1，y2，
由题意可知xi＝8×7＝56，(xi－7)2＝8×4＝32，yi＝2×8＝16，(yi－8)2＝2×1＝2，
故样本平均数为(xi＋yi)＝7.2．
样本方差为＝
＝＋
＝＋＝3.56．
19.解：(1)由频率分布直方图可得(0.005＋0.010＋0.025＋a＋0.020)×10＝1，解得a＝0.040，
则综合评分的平均数为＝10×(55×0.005＋65×0.010＋75×0.025＋85×0.040＋95×0.020)＝81．
(2)由题意，抽取5个产品，其中一等品有3个，非一等品有2个，一等品记为a，b，c，非一等品记为D，E，从这5个产品中随机抽取2个，试验的样本空间Ω＝{ab，ac，aD，aE，bc，bD，bE，cD，cE，DE}，共10个样本点，
记事件A＝“抽取的这2个产品中最多有1个一等品”，则A＝{aD，aE，bD，bE，cD，cE，DE}，共7个样本点，所以所求的概率p＝．
(3)＝×54＋×63＝60，s2＝[3＋(54－60)2]＋[3＋(63－60)2]＝21．