10.1.3 古典概型 课后训练（含解析）-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第十章　10.1　10.1.3 古典概型
A级——基础过关练
1．(多选)下列是古典概型的有(　　)
A．从6名同学中，选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性的大小
B．同时掷两颗骰子，点数和为7的概率
C．近三天中有一天降雨的概率
D．10个人站成一排，其中甲、乙相邻的概率
2．从集合{a，b，c，d，e}的所有子集中任取一个，记为M，则集合M恰是集合{a，b，c}的子集的概率是(　　)
A． B．
C． D．
3．同时投掷两个骰子，向上的点数分别记为a，b，则方程2x2＋ax＋b＝0有两个不等实数根的概率为(　　)
A． B．
C． D．
4．将一个各个面上涂有颜色的正方体锯成27个同样大小的小正方体，从中任取一个小正方体，其中恰有3面涂有颜色的概率为(　　)
A． B．
C． D．
5．某部三册的小说，任意排放在书架的同一层上，则各册从左到右或从右到左恰好为第1，2，3册的概率为(　　)
A．　　 B．
C．　　 D．
6．设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为(　　)
A． B．
C． D．
7．将一枚质地均匀的一元硬币抛3次，恰好出现一次正面的概率是________．
8．从1，2，3，4，5这5个数字中不放回地任取两个数，则两个数都是奇数的概率是_______；若有放回地任取两个数，则两个数都是偶数的概率是________．
9．在某学校图书馆的书架上随意放着编号为1，2，3，4，5的五本书，若某同学从中任意选出2本书，则选出的2本书编号相连的概率为________．
10．一只口袋装有形状大小都相同的6只小球，其中2只白球，2只红球，2只黄球，从中随机摸出2只球，试求：
(1)2只球都是红球的概率；
(2)2只球同色的概率；
(3)“恰有1只是白球”是“2只球都是白球”的概率的几倍？
B级——综合运用练
11．有一列数由奇数组成：1，3，5，7，9，…，现在进行如下分组，第一组有1个数为1，第二组有2个数为3，5，第三组有3个数为7，9，11，…，依此类推，则从第10组中随机抽取一个数恰为3的倍数的概率为(　　)
A．　　 B．
C．　　 D．
12．已知集合A＝，任取一个数k∈A，则幂函数f(x)＝xk为偶函数的概率为________．
13．一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次摸出2只球．
(1)共有多少个样本点？
(2)摸出的2只球都是白球的概率是多少？
C级——创新拓展练
14．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b∈{1，2，3，4，5，6}，若|a－b|≤1，就称甲、乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为(　　)
A． B．
C． D．
参考答案
【A级——基础过关练】
1.【答案】ABD
【解析】A，B，D为古典概型，因为都符合古典概型的两个特征：有限性和等可能性，而C不符合等可能性，故不为古典概型．故选ABD．
2.【答案】C
【解析】集合{a，b，c，d，e}的子集有25＝32(个)，而集合{a，b，c}的子集有23＝8(个)，所以所求概率p＝＝．
3.【答案】B
【解析】因为方程2x2＋ax＋b＝0有两个不等实数根，所以Δ＝a2－8b＞0，又同时投掷两个骰子，向上的点数分别记为a，b，则共包含36个样本点，满足a2－8b＞0的有(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(4，1)，(3，1)共9个样本点，所以方程2x2＋ax＋b＝0有两个不等实数根的概率为＝．故选B．
4.【答案】B
【解析】在这27个小正方体中，只有原正方体的8个顶点所对应的小正方体的3面是涂色的，故概率p＝．
5.【答案】B
【解析】所有样本点为(1，2，3)，(1，3，2)，(2，1，3)，(2，3，1)，(3，1，2)，(3，2，1)．其中从左到右或从右到左恰好为第1，2，3册包含2个样本点，所以p＝＝．故选B．
6.【答案】A
【解析】如图，从O，A，B，C，D5个点中任取3个，有(O，A，B)，(O，A，C)，(O，A，D)，(O，B，C)，(O，B，D)，(O，C，D)，(A，B，C)，(A，B，D)，(A，C，D)，(B，C，D)共10个样本点．3点共线有(O，A，C)与(O，B，D)共2个样本点，由古典概型的概率计算公式知，取到的3点共线的概率为＝．
7.【答案】
【解析】试验共有8个结果：(正，正，正)，(反，正，正)，(正，反，正)，(正，正，反)，(反，反，正)，(反，正，反)，(正，反，反)，(反，反，反)，其中恰好出现一次正面的结果有3个，故所求的概率是．
8.【答案】　
【解析】从5个数字中不放回地任取两个数，样本点有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)，共10个，且每个样本点出现的可能性相等．因为都为奇数的样本点有(1，3)，(1，5)，(3，5)，共3个，所以所求概率p＝．从5个数字中有放回地任取两个数，样本点共有25个，且每个样本点出现的可能性相等，都为偶数的样本点有(2，4)，(4，2)，(2，2)，(4，4)共4个，故概率p＝．
9.【答案】
【解析】从五本书中任意选出2本书的所有可能情况为(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)共10种，满足2本书编号相连的所有可能情况为(1，2)，(2，3)，(3，4)，(4，5)共4种，故选出的2本书编号相连的概率为＝．
10.解：记两只白球分别为a1，a2；两只红球分别为b1，b2；两只黄球分别为c1，c2．
从中随机取2只球的所有结果为(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，c1)，(a1，c2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，c1)，(a2，c2)，(b1，b2)，(b1，c1)，(b1，c2)，(b2，c1)，(b2，c2)，(c1，c2)，共15种结果．
(1)2只球都是红球为(b1，b2)，共1种，
故2只球都是红球的概率p1＝．
(2)2只球同色的为(a1，a2)，(b1，b2)，(c1，c2)，共3种，故2只球同色的概率p2＝＝．
(3)恰有1只是白球为(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，c1)，(a1，c2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，c1)，(a2，c2)，共8种，其概率p3＝；
2只球都是白球为(a1，a2)，共1种，故概率p4＝．所以“恰有1只是白球”是“2只球都是白球”的概率的8倍．
【B级——能力提升练】
11.【答案】B
【解析】由已知可得前9组共有1＋2＋3＋…＋9＝45个奇数，则第10组第一个数为45×2＋1＝91，第10组有10个数分别为91，93，95，97，99，101，103，105，107，109，其中恰为3的倍数的数为93，99，105．故所求概率p＝．故选B．
12.【答案】
【解析】集合A＝，任取一个数k∈A，基本事件总数n＝8，幂函数f(x)＝xk为偶函数，则k＝－2，2，即包含的基本事件个数m＝2，∴所求概率p＝＝＝．
13.解：(1)分别记白球为1，2，3号，黑球为4，5号，从中摸出2只球，有如下样本点(摸到1，2号球用(1，2)表示)：
(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)．因此，共有10个样本点．
(2)上述10个样本点发生的可能性相同，且只有3个样本点是摸到两只白球(记为事件A)，即(1，2)，(1，3)，(2，3)，故P(A)＝．故摸出2只球都是白球的概率为．
【C级——创新拓展练】
14.【答案】D
【解析】记“|a－b|≤1”为事件A，由于a，b∈{1，2，3，4，5，6}，则事件A包含的样本点有(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，5)，(6，6)，共16个，而依题意得，样本点总数为36，且每个样本点出现的可能性相等，因此他们“心有灵犀”的概率p＝＝．故选D．