第十章　概率 章末检测（含解析）-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第十章　概率
章末检测
(时间：120分钟，满分150分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设事件A，B，已知P(A)＝，P(B)＝，P(A∪B)＝，则A，B之间的关系一定为(　　)
A．两个任意事件 B．互斥事件
C．非互斥事件 D．对立事件
2．(2024年清远月考)一个人连续射击2次，则下列各事件关系中，说法正确的是(　　)
A．事件“两次均击中”与事件“至少一次击中”互为对立事件
B．事件“最少一次击中”与事件“最多一次击中”为互斥事件
C．事件“恰有一次击中”与事件“两次均击中”为互斥事件
D．事件“两次均未击中”与事件“至多一次击中”互为对立事件
3．据天气预报：在春节假期湖北武汉地区降雪的概率为0.2，湖南长沙地区降雪的概率为0.3．假定这段时间内两地是否降雪相互之间没有影响，则0.44等于(　　)
A．两地都降雪的概率 B．两地都不降雪的概率
C．至少有一地降雪的概率 D．恰有一地降雪的概率
4．甲在微信群中发布6元“拼手气”红包一个，被乙、丙、丁三人抢完．若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则乙获得“最佳手气”(即乙领取的钱数不少于其他任何人)的概率是(　　)
A． B．
C． D．
5．(2024年广州荔湾区月考)从1，2，3，4，5中随机选取2个不同的数，则所选的2个数中恰好有1个数是质数的概率为(　　)
A． B．
C． D．
6．(2024年青岛即墨区月考)某人计划周六外出参加会议，有飞机和高铁两种交通工具可供选择，它们能准时到达的概率分别为0.95，0.8，若当天是晴天就乘飞机，否则乘坐高铁，天气预报显示当天晴天的概率为0.8，则此人能准时到达的概率为(　　)
A．0.62 B．0.84
C．0.92 D．0.98
7．某商场对某一商品搞活动，已知该商品每一个的进价为3元，售价为8元，每天销售的第20个及之后的商品按半价出售，该商场统计了近10天这种商品的销售量，如图所示．设x(单位：个)为这种商品每天的销售量，y(单位：元)为该商场每天销售这种商品的利润，从日利润不少于96元的几天里任选2天，则选出的这2天日利润都是97元的概率为(　　)
A．　 B．
C．　　 D．
8．(2024年高州期中)如果事件A与事件B互斥，那么(　　)
A．P(A∪B)＝1 B．P(A∩B)＝0
C．与一定互斥 D．A与B一定独立
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．
9．(2024年洛阳月考)某商场为促销组织了一次幸运抽奖活动，袋中装有8个大小形状相同的小球，并标注1～8这八个数字，抽奖者从中任取一个球，事件A表示“取出球的编号为奇数”，事件B表示“取出球的编号为偶数”，事件C表示“取出球的编号大于5”，事件D表示“取出球的编号小于5”，则(　　)
A．事件A与事件C不互斥 B．事件A与事件B互为对立事件
C．事件B与事件C互斥 D．事件C与事件D互为对立事件
10．(2024年汕头澄海区月考)实验E：甲、乙、丙三名同学各自从M，N，K中选了一个字母(不可重复)．记事件A为“乙同学选字母K”，事件B为“甲同学没有选字母N”，则下列正确的有(　　)
A．P(A)＝ B．P(B)＝
C．P(A∩B)＝ D．P(A∪B)＝
11．从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的有(　　)
A．2个球都是红球的概率为 B．2个球不都是红球的概率为
C．至少有1个红球的概率为 D．2个球中恰有1个红球的概率为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．(2024年惠州惠城区月考)甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字3，5，7，9，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片(弃置的卡片在此后轮次中不能使用)．则四轮比赛后，甲的总得分为3的概率为________．
13．我国西部一个地区的年降水量在下列区间内的概率如表所示：
年降水量/mm [100，150) [150，200) [200，250) [250，300]
概率 0.21 0.16 0.13 0.12
则年降水量在[200，300](mm)范围内的概率是________．
14．甲、乙两名跳高运动员在一次2米跳高中成功的概率分别为0.7，0.6，且每次试跳成功与否相互之间没有影响，则甲试跳三次，第三次才成功的概率为________；甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)某产品的三个质量指标分别为x，y，z，用综合指标S＝x＋y＋z评价该产品的等级．若S≤4，则该产品为一等品．现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：
产品编号 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10
质量指数 (x，y，z) (1,1,2) (2,1,1) (2,2,2) (1,1,1) (1,2,1) (1,2,2) (2,1,1) (2,2,1) (1,1,1) (2,1,2)
利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率．
16．(15分)(2024年洛阳月考)同时掷红、蓝两颗质地均匀的正方体骰子，用(x，y)表示结果，其中x表示红色骰子向上一面的点数，y表示蓝色骰子向上一面的点数．
(1)写出该试验的样本空间；
(2)指出{(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6)}所表示的事件；
(3)写出“点数之和不超过5”这一事件的集合表示．
17．(15分)袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个．已知从袋子中随机抽取1个小球，取到标号是2的小球的概率是．
(1)求n的值；
(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b．记事件A表示“a＋b＝2”，求事件A的概率．
18．(17分)(2024年资阳模拟)为提升基层综合文化服务中心服务效能，广泛开展群众性文化活动，某村干部在本村的村民中进行问卷调查，将他们的成绩(满分：100分)分成7组：[30，40)，[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]．整理得到如下频率分布直方图．
(1)求a的值并估计该村村民成绩的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)；
(2)从成绩在[30，40)，[80，90)内的村民中用分层随机抽样的方法选取6人，再从这6人中任选2人，求这2人成绩不在同一组的概率．
19．(17分)某市从高二年级随机选取1 000名学生，统计他们选修物理、化学、生物学、思想政治、历史和地理六门课程(前3门为理科课程，后3门为文科课程)的情况，得到如下统计表，其中“√”表示选课，“空白”表示未选．
科目方案人数 物理 化学 生物学 思想政治 历史 地理
一 220 √ √ √
二 200 √ √ √
三 180 √ √ √
四 175 √ √ √
五 135 √ √ √
六 90 √ √ √
(1)在这1 000名学生中，从选修物理的学生中随机选取1人，求该学生选修思想政治的概率；
(2)在这1 000名学生中，从选择方案一、二、三的学生中各选取2名学生，如果在这6名学生中随机选取2名，求这2名学生除选修物理以外，另外两门选课中有相同科目的概率；
(3)利用表中数据估计该市选课偏文(即选修至少两门文科课程)的学生人数多还是偏理(即选修至少两门理科课程)的学生人数多，并说明理由．
参考答案
选择题
1.【答案】B
【解析】因为P(A)＋P(B)＝＋＝＝P(A∪B)，所以A，B之间的关系一定为互斥事件．
2.【答案】C
【解析】对于A，事件“至少一次击中”包含“一次击中”和“两次均击中“，所以与事件“两次均击中”不是对立事件，故A错误；对于B，事件“最少一次击中”包含“一次击中”与“二次击中”，事件“最多一次击中”包含“一次击中”与“0次击中”，故两事件可以同时发生，不是互斥事件，故B不正确；对于C，事件“恰有一次击中”与事件“两次均击中”不能同时发生，是互斥事件，故C正确；对于D，事件“两次均未击中”的对立事件是“至少一次击中”，故D错误．故选C．
3.【答案】C
【解析】武汉和长沙两地都降雪的概率P(A)＝0.2×0.3＝0.06，故A错误；两地都不降雪的概率P(B)＝(1－0.2)(1－0.3)＝0.56，故B错误；至少有一地降雪的概率P(C)＝1－(1－0.2)(1－0.3)＝0.44，故C正确；恰有一地降雪的概率P(D)＝0.2×(1－0.3)＋(1－0.2)×0.3＝0.38，故D错误．故选C．
4.【答案】A
【解析】6元分成整数元有3份，可能有(1，1，4)，(1，2，3)，(2，2，2)，第一个分法有3种，第二个分法有6种，第三个分法有1种，其中符合乙获得“最佳手气”的有4种，故概率为＝．
5.【答案】C
【解析】由题意知，数字1，2，3，4，5中共有3个质数，分别是2，3，4，从1，2，3，4，5中随机选取2个数的所有基本事件有{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，{3，4}，{3，5}，{4，5}，共10个，其中恰好有1个数是质数的基本事件有{1，2}，{1，3}，{1，5}，{2，4}，{3，4}，{4，5}，共6个，所以所求概率为＝．故选C．
6.【答案】C
【解析】根据题意，若当天是晴天就乘飞机，则准时到达的概率为0.95×0.8＝0.76；若当天不是晴天则坐高铁，则准时到达的概率为0.8×(1－0.8)＝0.16；则此人能准时到达的概率为p＝0.76＋0.16＝0.92．故选C．
7.【答案】B
【解析】日销售量不少于20个时，日利润不少于96元，其中日销售量为20个时，日利润为96元；日销售量为21个时，日利润为97元．从条形统计图可以看出，日销售量为20个的有3天，日销售量为21个的有2天，日销售量为20个的3天记为a，b，c，日销售量为21个的2天记为A，B，从这5天中任选2天，可能的情况有10种：(a，b)，(a，c)，(a，A)，(a，B)，(b，c)，(b，A)，(b，B)，(c，A)，(c，B)，(A，B)，其中选出的2天日销售量都为21个的情况只有1种，故所求概率p＝．故选B．
8.【答案】B
【解析】例如：口袋中由3个红球、2个白球和1个黄球，从而任取一个球，事件A表示“取到的是红球”，事件B表示“取到的是白球”，事件C表示“取到的是黄球”，此时，事件A、事件B和事件C是互斥事件，所以事件A，B，C不可能同时发生，且P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝．对于A，由P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＜1，所以A不正确；对于B，由事件A与事件B不可能同时发生，可得P(A∩B)＝0，所以B正确；对于C，由事件：“取得一个球不是红球”，事件：“取得一个球不是白球”，当取到的一个球为黄球时，此时事件和事件同时发生，所以事件与事件不一定互斥，所以C不正确；对于D，由P(A∩B)＝0，P(A)＝，P(B)＝，可得P(A∩B)≠P(A)·P(B)，此时事件A和事件B不独立事件，所以D错误．故选B．
多项选择题
9.【答案】AB
【解析】事件A表示“取出球的编号为奇数”，事件B表示“取出球的编号为偶数”，事件C表示“取出球的编号大于5”，事件D表示“取出球的编号小于5”，则事件A表示{1，3，5，7}，事件B表示{2，4，6，8}，事件C表示{6，7，8}，事件D表示{1，2，3，4}，∴事件A与事件C不互斥，事件A与事件B为对立事件，事件B与事件C不互斥，事件C与事件D互斥且不对立，故A，B正确，C，D错误．故选AB．
10.【答案】AC
【解析】由题意可知，总事件为(MNK)，(MKN)，(NMK)，(NKM)，(KMN)，(KNM)，共6种结果，其中满足事件B的有(MNK)，(MKN)，(KMN)，(KNM)，共4种，故P(B)＝ ，故B错误；其中满足事件A的有(MKN)，(NKM)，共2种，故P(A)＝ ，故A正确；则A，B同时发生的有1种，A或B发生有5种，则P(A∩B)＝ ，P(A∪B)＝ ，故C正确，D错误．故选AC．
11.【答案】ACD
【解析】设“从甲袋中摸出一个红球”为事件A1，“从乙袋中摸出一个红球”为事件A2，则P(A1)＝，P(A2)＝，且A1，A2独立．在A中，2个球都是红球为A1A2，其概率为×＝，A正确；在B中，“2个球不都是红球”是“2个球都是红球”的对立事件，其概率为，B错误；在C中，2个球中至少有1个红球的概率为1－P()·P()＝1－×＝，C正确；2个球中恰有1个红球的概率为×＋×＝，D正确．故选ACD．
填空题
12.【答案】
【解析】设样本空间为Ω，甲的总得分为3为事件A，不妨假设甲的卡片顺序为3，5，7，9，则乙的卡片顺序共有4×3×2×1＝24种，即n(Ω)＝24．若甲的总得分为3，则乙的卡片顺序为(4，2，6，8)，(6，2，4，8)，(6，4，2，8)，(8，2，4，6)，(8，2，6，4)，(8，4，2，6)，(8，4，6，2)，(2，4，8，6)，(2，6，4，8)，(2，8，4，6)，(2，8，6，4)，共有11种，即n(A)＝11，所以P(A)＝＝．
13.【答案】0.25
【解析】“年降水量在[200，300](mm)范围内”由“年降水量在[200，250)(mm)范围内”和“年降水量在[250，300](mm)范围内”两个互斥事件构成，因此概率为0.13＋0.12＝0.25．
14.【答案】0.063　0.88
【解析】记“甲第i次试跳成功”为事件Ai，“乙第i次试跳成功”为事件Bi(i＝1，2，3)，依题意得P(Ai)＝0.7，P(Bi)＝0.6，且Ai，Bi相互独立，“甲试跳三次，第三次才成功”为事件12A3，且这三次试跳相互独立，∴P(12A3)＝P(1)P(2)P(A3)＝0.3×0.3×0.7＝0.063．记“甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功”为事件C，P(C)＝1－P(1)P(1)＝1－0.3×0.4＝0.88．
解答题
15.解：计算10件产品的综合指标S，如下表所示．
产品编号 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10
S 4 4 6 3 4 5 4 5 3 5
其中S≤4的有A1，A2，A4，A5，A7，A9，共6件，故该样本的一等品频率为＝0.6，从而可估计该批产品的一等品率为0.6．
16.解：(1)同时掷红、蓝两颗质地均匀的正方体骰子，用(x，y)表示结果，其中x表示红色骰子向上一面的点数，y表示蓝色骰子向上一面的点数，
则样本空间Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)}．
(2)由题意可知，{(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6)}所表示的事件为“掷红、蓝两颗骰子，掷出的点数相同”．
(3)由题意可知，事件“点数之和不超过5”，即x＋y≤5，
用集合表示为{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(4，1)}．
17.解：(1)由题意可知＝，解得n＝2．
(2)记标号为2的两个小球分别为21，22，不放回地随机抽取2个小球的所有基本事件为(0，1)，(0，21)，(0，22)，(1，0)，(1，21)，(1，22)，(21，0)，(21，1)，(21，22)，(22，0)，(22，1)，(22，21)，共12个，事件A包含的基本事件为(0，21)，(0，22)，(21，0)，(22，0)，共4个，所以P(A)＝＝．
18.解：(1)由图可知，10(3a＋0.01＋0.015＋0.03×2)＝1，解得a＝0.005．
该村村民成绩的平均数约为(35＋45＋95)×0.05＋(55＋65)×0.3＋75×0.15＋85×0.1＝64.5．
(2)从成绩在[30，40)，[80，90)内的村民中用分层随机抽样的方法选取6人，
其中成绩在[30，40)内的村民有6×＝2人，
记为A，B，则成绩在[80，90)内的村民有4人，记为a，b，c，d．
从中任选2人，有Ba，Bb，Bc，Bd，ab，ac，ad，bc，bd，cd，AB，Aa，Ab，Ac，Ad共15种情况，
其中成绩不在同一组的情况有Ba，Bb，Bc，Bd，Aa，Ab，Ac，Ad，共8种，
故这2人成绩不在同一组的概率为．
19.解：(1)选修物理的共有220＋200＋180＝600(人)，其中选修思想政治的有220人，所以从选修物理的学生中随机选取1人，则该学生选修思想政治的概率p1＝＝．
(2)设选择方案一的2名学生为a1，a2，选择方案二的2名学生为b1，b2，选择方案三的2名学生为c1，c2，从这6名学生中随机选取2人，有(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，c1)，(a1，c2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，c1)，(a2，c2)，(b1，b2)，(b1，c1)，(b1，c2)，(b2，c1)，(b2，c2)，(c1，c2)共15种情况，其中除选修物理以外，另外两门选课中有相同科目的有(a1，a2)，(a1，c1)，(a1，c2)，(a2，c1)，(a2，c2)，(b1，b2)，(b1，c1)，(b1，c2)，(b2，c1)，(b2，c2)，(c1，c2)共11种情况，所以所求概率p2＝．
(3)调查者中选偏文的共有175＋135＋90＝400(人)，频率为0.4，选修偏理的频率为1－0.4＝0.6．所以估计全市选课偏文的学生大约占0.4，选课偏理的大约占0.6．所以估计全市选课偏理的学生多．