第六章　平面向量及其应用 章末检测（含解析）-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第六章　平面向量及其应用
章末检测
(时间：120分钟，满分150分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知＝(3,0)，那么||等于(　　)
A．2　 B．3　
C．(1,2)　 D．5
2．若＝(－1,2)，＝(1，－1)，则＝(　　)
A．(－2,3)　　 B．(0,1)
C．(－1,2)　　 D．(2，－3)
3．(2024年佛山南海区月考)已知向量a＝(1,2)，b＝(3，m)，若a⊥(a＋b)，则m的值为(　　)
A．－4 B．4
C．－6 D．6
4．(2024年杭州月考)某飞机在空中沿水平方向飞行，飞行至A处飞行员观察地面目标C测得俯角为30°，继续飞行800米至B处观察目标C测得俯角为60°．已知A，B，C在同一个铅垂平面内，则该飞机飞行的高度为(　　)
A．400米 B．400米
C．800米 D．800米
5．在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c．若b2＋c2－a2＝bc，则sin(B＋C)的值为(　　)
A．－ B．
C．－ D．
6．(2024年广州海珠区月考)在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，E为BC的中点，点F在边CD上，若·＝2，则·的值为(　　)
A．9 B．10
C．11 D．12
7．(2024年诸暨三模)若非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a＋b|，则a＋2b在b方向上的投影向量为(　　)
A．2b B．b
C．b D．b
8．(2024年北京海淀区三模)已知圆C：(x－)2＋(y－1)2＝1和两点A(－t,0)，B(t,0)(t＞0)，若圆C上存在点P，使得·＝0，则t的取值范围为(　　)
A．(0,1] B．[1,3]
C．[2,3] D．[3,4]
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．
9．(2024年浙江学业考试)已知向量a＝(1,2)，b＝(3，m)，则下列说法正确的有(　　)
A．若a∥b，则m＝－6
B．若a⊥b，则m＝－
C．若向量a与b的夹角为锐角，则m＞－
D．若m＝－1，则向量a在向量b上的投影向量为b
10．(2024年中山月考)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列与△ABC有关的结论，正确的有(　　)
A．若a＝2，A＝30°，则＝
B．若acos A＝bcos B，则△ABC是等腰直角三角形
C．若△ABC是锐角三角形，则cos A＜sin B
D．若△ABC为非直角三角形，则tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan Btan C
11．(2024年济南模拟)已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，外接圆半径为R．若a＝1，且sin A－bsin B＝(c＋b)sin C，则(　　)
A．△ABC面积的最大值为 B．sin A＝
C．BC边上的高的最大值为 D．R＝
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．(2024年榆林榆阳区一模)已知a＝(1,2)，b＝(t,3t＋1)，若a⊥b，则t＝________．
13．(2024年四川模拟)已知△ABC的三内角A，B，C满足16sin Ccos(A－B)＋8sin 2C＝3π，则△ABC的面积与△ABC外接圆的面积之比为________．
14．如图，在海岸线上相距2千米的A，C两地分别测得小岛B在A的北偏西α方向，在C的北偏西－α方向，且cos α＝，则B，C之间的距离是________千米．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)已知＝(－1,3)，＝(3，m)，＝(1，n)，且∥．
(1)求实数n的值；
(2)若⊥，求实数m的值．
16．(15分)(2024年石嘴山大武口区三模)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，在下面三个条件中任选一个作为条件，解答下列问题，三个条件为：
①2bcos A＝ccos A＋acos C；②asin B＝bcos A；③cos C＋(cos B－sinB)cos A＝0．
(1)求角A的大小；
(2)若a＝2，b＋c＝6，求△ABC的面积．
17．(15分)(2024年广州荔湾区月考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(1－tan A)(1－tan B)＝2，b＝3，a＝．
(1)求C的值；
(2)延长AB到D点，使得∠CDB＝∠ACB，求BD的长度．
18．(17分)已知函数f(x)＝sin xcos x－cos 2x－．
(1)求函数f(x)的单调递减区间；
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝，D为边AB上一点，CD＝2，B为锐角，且f(B)＝0，求∠BDC的正弦值．
19．(17分)(2024年成都青羊区期中)已知△ABC的内角A，B，C的对边为a，b，c，且＝．
(1)求sin A；
(2)若△ABC的面积为．
①已知E为BC的中点，且b＋c＝8，求△ABC底边BC上中线AE的长；
②求内角A的平分线AD长的最大值．
参考答案
选择题
1.【答案】B
【解析】∵＝(3,0)，∴||＝＝3．故选B．
2.【答案】D
【解析】＝(－1,2)，＝(1，－1)，所以＝－＝(1＋1，－1－2)＝(2，－3)．
3.【答案】A
【解析】由a＝(1,2)，b＝(3，m)，可得(a＋b)＝(4,2＋m)，由a⊥(a＋b)，可得4＋4＋2m＝0，解得m＝－4．故选A．
4.【答案】B
【解析】如图，过点C作CD⊥AB于点D，∵∠A＝30°，∠CBD＝60°，∴∠ACB＝∠CBD－∠A＝30°，∴BC＝AB＝800，在Rt△BDC中，CD＝BCsin 60°＝800×＝400(米)．故选B．
5.【答案】B
【解析】由b2＋c2－a2＝bc，得cos A＝＝，则sin(B＋C)＝sin A＝．
6.【答案】B
【解析】在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，E为BC的中点，点F在边CD上，若·＝2，设＝λ(0≤λ≤1)，则＝＋＝λ＋，由·＝(λ＋)·＝λ2＝4λ＝2，解得λ＝，于是＝＋，由E为BC的中点，得＝＋，所以·＝·＝2＋2＝10，即·的值为10．故选B．
7.【答案】B
【解析】设|a|＝|b|＝|a＋b|＝k，|a＋b|2＝a2＋b2＋2a·b，即a·b＝－k2，(a＋2b)·b＝a·b＋2b2＝k2，a＋2b在b方向上的投影向量为×＝b．故选B．
8.【答案】B
【解析】因为·＝0，所以点P在以AB为直径的圆x2＋y2＝t2上，而点P又在圆C上，因此两圆有公共点，则圆心距位于半径差的绝对值与半径和的闭区间中，所以|t－1|≤|OC|≤t＋1，即|t－1|≤2≤t＋1，又t＞0，解得1≤t≤3．故选B．
多项选择题
9.【答案】BD
【解析】对于A，因为a＝(1,2)，b＝(3，m)，且a∥b，所以2×3－1×m＝0，解得m＝6，故A错误；对于B，因为a＝(1,2)，b＝(3，m)，且a⊥b，所以a·b＝1×3＋2m＝0，解得m＝－，故B正确；对于C，因为向量a与b的夹角为锐角，所以a·b＞0且m≠6，所以3＋2m＞0，且m≠6，解得m＞－，且m≠6，故C错误；对于D，当m＝－1时，a＝(1,2)，b＝(3，－1)，所以向量a在向量b上的投影向量为·＝·b＝b，故D正确．故选BD．
0.【答案】CD
【解析】对于A，由＝＝＝4，则＝4＝4，故A错误；对于B，acos A＝bcos B sin Acos A＝sin Bcos B sin 2A＝sin 2B，而A＋B∈(0，π)，所以A＝B或A＋B＝，即△ABC是等腰三角形或直角三角形，故B错误；对于C，由锐角三角形知A＋B＞ B＞－A，故sin＜sin B，cos A＜sin B，故C正确；对于D，
tan A＋tan B＋tan C＝＋＋＝＋＝＋＝＋＝＝＝＝tan Atan Btan C，故D正确．故选CD．
11.【答案】BC
【解析】由a＝1，得sin A－bsin B＝(c＋b)sin C就是asin A－bsin B＝(c＋b)sin C，根据正弦定理，得a2－b2＝(c＋b)·c，整理得b2＋c2－a2＝－bc，所以cos A＝＝－，结合A∈(0，π)，可得A＝．对于A，因为b2＋c2－a2＝－bc，即b2＋c2－1＝－bc≥2bc－1，解得bc≤，当且仅当b＝c＝时取等号，因此△ABC的面积S＝bcsin ＝bc≤，当b＝c＝时，S有最大值，故A项错误；对于B，由题意得sin A＝sin ＝，故B项正确；对于C，由A得△ABC的面积S的最大值为，设BC边上的高为h，则S＝BC·h≤，结合a＝BC＝1，解得h≤，即BC边上的高的最大值为，故C项正确；对于D，由正弦定理，可知△ABC外接圆的半径R满足＝2R，即2R＝＝，故R＝，故D项错误．故选BC．
填空题
12.【答案】－
【解析】由题意可知a·b＝t＋6t＋2＝0，解得t＝－．
13.【答案】
【解析】由16sin Ccos(A－B)＋8sin 2C＝3π，得16sin Ccos(A－B)＋16sin Ccos C＝3π，即16sin C[cos(A－B)－cos(A＋B)]＝3π，即32sin Csin Asin B＝3π，所以△ABC的面积与△ABC外接圆的面积之比为＝＝＝＝．
14.【答案】12
【解析】依题意，AC＝2，sin∠BAC＝sin＝cos α＝，sin B＝sin＝
cos 2α＝2cos2α－1＝．在△ABC中，由正弦定理，得BC＝＝＝12，则B与C之间的距离是12千米．
解答题
15.解：因为＝(－1,3)，＝(3，m)，＝(1，n)，
所以＝＋＋＝(3,3＋m＋n)．
(1)因为∥，所以＝λ，即解得n＝－3．
(2)因为＝＋＝(2,3＋m)，＝＋＝(4，m－3)，又因为⊥，所以·＝0，即8＋(3＋m)(m－3)＝0，解得m＝±1．
16.解：(1)若选①：2bcos A＝ccos A＋acos C，
由正弦定理，得2sin Bcos A＝sin Ccos A＋sin Acos C＝sin(A＋C)，
又因为sin(A＋C)＝sin B，所以2sin Bcos A＝sin B，
又因为sin B＞0，所以2cos A＝1，即cos A＝，
又因为0＜A＜π，所以A＝．
若选②：asin B＝bcos A，由正弦定理，得sin Asin B＝sin Bcos A，
又因为sin B＞0，所以sin A＝cos A，即tan A＝，
又因为0＜A＜π，所以A＝．
若选③：cos C＋(cos B－sin B)cos A＝0，
－cos(A＋B)＋(cos B－sin B)cos A＝0，
sin Asin B－cos Acos B＋cos Acos B－sin Bcos A＝0，
即sin Asin B－sin Bcos A＝0，
又因为sin B＞0，所以sin A－cos A＝0，即tan A＝，
又因为0＜A＜π，所以A＝．
(2)由(1)知，A＝，所以cos A＝，即＝，
又因为b＋c＝6，所以b2＋2bc＋c2＝36，得b2＋c2＝36－2bc，
所以＝，解得bc＝，故S△ABC＝bcsin A＝××＝．
17.解：(1)在△ABC中，由(1－tan A)(1－tan B)＝2，得tan A＋tan B＝tan Atan B－1，
显然tan Atan B≠1，否则tan2A＝－1，于是＝－1，
即tan C＝－tan(A＋B)＝1，而0＜C＜π，所以C＝．
(2)在△ABC中，∠ACD＝，b＝3，a＝，
由余弦定理得c＝＝，
由∠CDB＝∠ACB，∠A＝∠A，得△ACD∽△ABC，
则＝，AD＝＝，所以BD＝AD－c＝．
18.解：(1)f(x)＝sin xcos x－cos 2x－＝sin 2x－cos 2x－＝sin－，要求函数f(x)的单调递减区间，令2x－∈(k∈Z)，得x∈(k∈Z)，所以函数的单调递减区间为(k∈Z)．
(2)由于f(B)＝0，即sin－＝0，解得B＝或B＝(舍去)．由B＝，在△BCD中，＝，所以sin∠BDC＝×＝．
19.解：(1)△ABC的内角A，B，C的对边为a，b，c，且＝，
由正弦定理，得＝，即c2＋b2－a2＝bc，
故cos A＝＝＝，所以A∈，
所以sin A＝＝＝．
(2)①由(1)知sin A＝，所以bcsin A＝，解得bc＝16，
且b＋c＝8，解得b＝c＝4，由于＝(＋)，
所以2＝(2＋2＋2·)＝(c2＋b2＋2bccos A)＝(c2＋b2＋bc)＝＝××16＝，所以||2＝ ||＝．
②因为AD为角A的平分线，所以sin∠BAD＝sin∠CAD＝sin，
由于S△ADB＋S△ADC＝S△ABC，
所以|AD|csin ＋|AD|bsin ＝bcsin A＝bcsin cos ，
由于sin ≠0，所以|AD|(c＋b)＝2bccos ，
由于cos A＝2cos2－1＝ cos2＝ cos ＝，
又bc＝16，所以|AD|(c＋b)＝2bccos ＝2×16×＝．
由于b＋c≥2＝8，当且仅当b＝c＝4时，等号取得到，
故＝|AD|(b＋c)≥2|AD|＝8|AD|，
故|AD|≤，所以AD长的最大值为．