模块综合检测（含解析）-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

模块综合检测
(时间：120分钟，满分150分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．(2024年渭南临渭区模拟)已知i是虚数单位，若复数z＝＋i是纯虚数，则实数a的值为(　　)
A．2 B．－2
C．1 D．－1
2．(2024年广东模拟)以下数据为某学校参加数学竞赛10人的成绩：(单位：分)72，86，80，88，83，78，81，90，91，92，则这10个成绩的第75百分位数是(　　)
A．90 B．89
C．88 D．88.5
3．(2024年南通四模)已知非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则a－b在b方向上的投影向量为(　　)
A．－a B．－b
C．a D．b
4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c＝8，B＝．若△ABC有两解，则b的值可以是(　　)
A．4 B．5
C．8 D．10
5．对于两条不同直线m，n和两个不同平面α，β，以下结论中正确的是(　　)
A．若m∥α，n⊥α，则m⊥n B．若α∥β，m∥α，则m∥β
C．若α⊥β，m∥α，则m⊥β D．若m⊥n，n⊥α，则m∥α
6．当飞机超音速飞行时，声波会形成一个以飞机前端为顶点，飞机的飞行方向为轴的圆锥(如图)，称为“马赫锥”．马赫锥的轴截面顶角θ与飞机的速度v、音速c满足关系式sin ＝，若一架飞机以2倍音速沿直线飞行，则该飞机形成的马赫锥在距离顶点30 m处的截面圆面积为(　　)
A．100π m2 B．300π m2
C．600π m2 D．900π m2
7．(2024年江西模拟)某中学举办了一次知识竞赛，从中随机抽取了部分学生的成绩绘制出如图所示的频率分布直方图，则估计该中学本次竞赛成绩的中位数为(　　)
A．68 B．71
C．75 D．79
8．有6个大小相同的小球，其中1个黑色，2个蓝色，3个红色．采用放回方式从中随机取2次球，每次取1个球，甲表示事件“第一次取红球”，乙表示事件“第二次取蓝球”，丙表示事件“两次取出不同颜色的球”，丁表示事件“两次取出相同颜色的球”，则(　　)
A．甲与乙相互独立 B．甲与丙相互独立
C．乙与丙相互独立 D．乙与丁相互独立
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．
9．若复数z＝2＋i，则下列命题是真命题的有(　　)
A．z·＝5
B．＝－2－i
C．|－i|＝|z|
D．若z是关于x的方程x2＋mx＋n＝0(m，n∈R)的根，则mn＝－20
10．一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，下列结论正确的有(　　)
A．圆柱的侧面积为4πR2 B．圆锥的表面积为3πR2
C．圆柱的侧面积与球的表面积相等 D．圆柱、圆锥、球的体积之比为3∶1∶2
11．(2024年长沙模拟)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，b＝1，a2＋c2－b2＝ac，sin2B＝3sinA sin C，则(　　)
A．B＝ B．ac＝
C．△ABC的面积为 D．△ABC的周长为＋1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．(2024年武汉月考)已知i为虚数单位，若复数z＝，是z的共轭复数，则||＝________．
13．(2024年雷州月考)为了解高一、高二、高三年级学生的身体状况，现用分层随机抽样的方法抽取一个容量为1 200的样本，三个年级学生人数之比依次为k∶6∶4．已知高一年级抽取200人，则k的取值是______．
14．已知a＝(1，1)，b＝(2，m)，若a与b的夹角为锐角，则实数m的取值范围为________________．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)已知向量a＝(－1，3)，b＝(1，2)．
(1)求|2a－b|的值；
(2)求a·b及向量a在向量b上的投影向量的坐标；
(3)若＝2a－b，＝a＋mb，且A，B，C三点共线，求m的值．
16．(15分)(2024年吉林期中)如图，在高为的四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是正方形，M，N分别是PD和BC的中点，AB＝2．
(1)求证：MN∥平面PAB．
(2)求三棱锥C－ABM的体积．
17．(15分)某篮球特色学校调查学生投篮技能情况，请每个学生投篮5次并记录进球数，随机抽取高一年级和高二年级各100名学生的进球数作为样本，结果统计如下(其中a∈N，b∈N)；
进球数 0 1 2 3 4 5
高一人数 4 2 a b 42 12
高二人数 3 1 12 44 33 7
(1)请写出高二年级样本的中位数；
(2)若高一年级样本的平均数为3.2，求a的值；
(3)在这200名学生中，高一高二年级各选取1人，若“至少有一个人的进球数为2”的概率是40.16%，求a的值．
18．(17分)(2024年广州番禺区月考)从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155 cm和195 cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155，160)，第二组[160，165)，…，第八组[190，195]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人．
(1)求第七组的频率；
(2)估计该校的800名男生身高的80%分位数；(精确到0.1)
(3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为x，y，事件E＝{|x－y|≤5}，求样本空间Ω及事件E的概率P(E)．
19．(17分)(2024年珠海月考)在①＝；②＝，这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答，在△ABC，角A，B，C的对边分别是a，b，c，边长c＝2，S为△ABC的面积，若________(填条件序号)．
(1)求角C的大小；
(2)若G为△ABC内一点且＋＋＝0，求GC长度最大值；
(3)若△ABC为锐角三角形，求△ABC的内切圆半径的取值范围．
参考答案
选择题
1.【答案】C
【解析】z＝＋i＝＋i＝＋i＝＋i，因为复数z＝＋i是纯虚数，所以所以a＝1．故选C．
2.【答案】A
【解析】从小到大排序这10个数据为72，78，80，81，83，86，88，90，91，92，因为10×75%＝7.5，所以这10个成绩的第75百分位数是第8个数90．故选A．
3.【答案】B
【解析】∵|a＋b|＝|a－b|，∴a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2，可得a·b＝0，∴a－b在b方向上的投影向量为·＝·b＝－b．故选B．
4.【答案】B
【解析】作出图形，如图，若△ABC有两解，则c sin B＜b＜c，即8sin ＜b＜8，解得4＜b＜8，故b的值可以是5．故选B．
5.【答案】A
【解析】对于A，若m∥α，n⊥α，则m⊥n，故A正确；对于B，若α∥β，m∥α，则m∥β或m β，故B错误；对于C，若α⊥β，m∥α，则m β或m∥β或m，β相交，故C错误；对于D，若m⊥n，n⊥α，则m∥α或m α，故D错误．故选A．
6.【答案】B
【解析】由题意知v＝2c，所以sin ＝＝，cos ＝＝，所以tan ＝，又因为AD＝30，所以CD＝AD tan ＝30×＝10，即截面圆的半径为10 m，所以截面圆的面积为π×(10)2＝300π(m2)．故选B．
7.【答案】B
【解析】设m为该中学本次竞赛成绩的中位数，因为(0.016＋0.030)×10＝0.46＜0.5，(0.016＋0.030＋0.040)×10＝0.86＞0.5，所以m∈[70，80)，所以(m－70)×0.04＋0.46＝0.5，解得m＝71．故选B．
8.【答案】A
【解析】依题意，事件甲的概率p1＝，事件乙的概率p2＝，有放回取球两次的试验的基本事件总数是6×6＝36，显然事件丙与丁是对立事件，两次取出的球颜色相同含有的基本事件数为12＋22＝5，事件丙的概率p3＝1－＝，事件丁的概率p4＝＝，对于A，事件甲与乙同时发生所含的基本事件数为6，其概率p5＝＝＝p1·p2，甲与乙相互独立，A正确；对于B，事件甲与丙同时发生所含的基本事件数为9，其概率p6＝＝≠p1·p3，甲与丙不独立，B错误；对于C，事件乙与丙同时发生所含的基本事件数为8，其概率p7＝＝≠p2·p3，乙与丙不独立，C错误；对于D，事件乙与丁同时发生所含的基本事件数为4，其概率p8＝＝≠p2·p4，乙与丁不独立，D错误．故选A．
多项选择题
9.【答案】ACD
【解析】对于A，复数z＝2＋i，∴z·＝(2＋i)(2－i)＝4－i2＝5，故A正确；对于B，∵i2 024＝(i2)1 012＝(－1)1 012＝1，∴＝z＝2＋i，故B错误；对于C，∵|z|＝＝，
|－i|＝1，∴|－i|＝|z|，故C正确；对于D，若z是关于x的方程x2＋mx＋n＝0(m，n∈R)的根，则(2＋i)2＋m(2＋i)＋n＝0，∴3＋2m＋n＋(m＋4)i＝0，∴∴∴mn＝－20，故D正确．故选ACD．
10.【答案】ACD
【解析】对于A，球的半径为R，所以圆柱的侧面积为2πR·2R＝4πR2，故A正确；对于B，圆锥的侧面积为πR·R＝πR2，表面积为πR2＋πR2，故B错误；对于C，球的表面积为4πR2，所以圆柱的侧面积与球的表面积相等，故C正确；对于D，V圆柱＝πR2·2R＝2πR3，V圆锥＝πR2·2R＝πR3，V球＝πR3，所以圆柱、圆锥、球的体积之比为3∶1∶2，故D正确．故选ACD．
11.【答案】ABD
【解析】由余弦定理知，cos B＝＝＝，因为B∈(0，π)，所以B＝，由正弦定理及sin2B＝3sinA sin C，知b2＝3ac，所以ac＝，所以△ABC的面积为ac sin B＝××＝，因为a2＋c2－b2＝ac，所以b2＝1＝a2＋c2－ac＝(a＋c)2－3ac＝(a＋c)2－1，即a＋c＝，所以△ABC的周长为＋1．故选ABD．
填空题
12.【答案】
【解析】因为z＝＝＝＝＋i，所以＝－i，
所以||＝＝．
13.【答案】2
【解析】由题意可得＝，解得k＝2．
14.【答案】(－2，2)∪(2，＋∞)
【解析】已知a＝(1，1)，b＝(2，m)，当a∥b时，有m＝2，此时a与b方向相同，若a与b的夹角为锐角，则a·b＞0且a与b不同向，即解得m＞－2且m≠2，所以实数m的取值范围为(－2，2)∪(2，＋∞)．
解答题
15.解：(1)因为a＝(－1，3)，b＝(1，2)，所以2a－b＝2(－1，3)－(1，2)＝(－3，4)，
所以|2a－b|＝＝5．
(2)因为a＝(－1，3)，b＝(1，2)，
所以a·b＝－1×1＋3×2＝5，|b|＝＝．
向量a在向量b上的投影向量为·＝×＝(1，2)．
(3)因为A，B，C三点共线，所以∥．
因为＝2a－b＝2(－1，3)－(1，2)＝(－3，4)，
＝a＋mb＝(－1，3)＋m(1，2)＝(m－1，2m＋3)，
所以－3(2m＋3)＝4(m－1)，解得m＝－．
16.(1)证明：如图，取PA的中点E，连接EB，EM，
因为ME是△PAD的中位线，则ME∥AD，且ME＝AD，
又因为N是BC的中点，则BN∥AD，且BN＝BC＝AD，
可得ME∥BN，且ME＝BN，
可知四边形MEBN是平行四边形，则MN∥BE，且MN 平面PAB，BE 平面PAB，
所以MN∥平面PAB．
(2)解：在高为的四棱锥P－ABCD中，因为M为PD的中点，可知三棱锥M－ABC的高为，且S△ABC＝AB·BC＝2，
所以三棱锥C－ABM的体积V三棱锥C－ABM＝V三棱锥M－ABC＝×2×＝．
17.解：(1)因为高二年级进球数不超过2个的人数为16，不超过3个的人数为60，所以高二年级样本的中位数为3个．
(2)因为高一年级样本的平均数为3.2，
所以×(0×4＋1×2＋2a＋3b＋4×42＋5×12)＝3.2，即2a＋3b＝90．
又因为4＋2＋a＋b＋42＋12＝100，所以a＋b＝40，
联立方程解得即a的值为30．
(3)由题意可知，高一100人中进球数为2的有a人，概率为；高二100人中进球数为2的有12人，概率为＝，所以“至少有一个人的进球数为2”的概率是1－×＝0.401 6，解得a＝32．
18.解：(1)第六组的频率为＝0.08，
故第七组的频率为1－0.08－5×(0.008×2＋0.016＋0.04×2＋0.06)＝0.06．
(2)设80%分位数为x，则(0.008＋0.016＋0.04＋0.04)×5＋(x－175)×0.06＝0.8，解得x＝179.7，即该校的800名男生身高的80%分位数的估计值为179.7 cm．
(3)第六组[180，185)的人数为4，设为a，b，c，d，
第八组[190，195]的人数为0.008×5×50＝2，设为A，B，
则从中随机抽取两名男生，样本空间Ω{ab，ac，ad，bc，bd，cd，aA，aB，bA，bB，cA，cB，dA，dB，AB}，共有15种情况，
因事件E＝{|x－y|≤5}发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组，所以事件E包含的基本事件为ab，ac，ad，bc，bd，cd，AB，共7种情况，所以P(E)＝．
19.解：(1)若选①．由正弦定理及＝，得＝，
化简得a2＋b2－c2＝ab，
由余弦定理，得cos C＝＝＝，
因为C∈(0，π)，所以C＝．
若选②．由正弦定理及＝，得＝，
所以sin C＝cos C＋1，即sin ＝，因为C∈(0，π)，
所以C－＝，所以C＝．
(2)因为＋＋＝0，所以G为△ABC的重心，
延长CG交AB于点D，则D是AB的中点，所以＝(＋ )，
所以2＝(2＋2·＋2)＝＝(a2＋b2＋ab)，
由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cos ，即a2＋b2＝4＋ab≥2ab，
所以ab≤4，当且仅当a＝b＝2时，等号成立，
所以2＝1＋ab≤1＋×4＝3，即CD≤，
所以GC＝CD≤，故GC的最大值为．
(3)设△ABC的内切圆半径为r，
因为S＝ab sin ＝(a＋b＋c)r，所以r＝，
由(2)知，a2＋b2＝4＋ab，所以(a＋b)2－2ab＝4＋ab，所以ab＝，
所以r＝＝·＝·(a＋b＋2)·＝(a＋b－2)，
在△ABC中，由正弦定理得＝＝＝＝，
所以a＝sin A，b＝sin B，
所以a＋b＝(sin A＋sin B)＝
＝＝4＝4sin ，
因为△ABC为锐角三角形，
所以解得A∈，
所以A＋∈，sin ∈，
所以a＋b＝4sin ∈(2，4]，
所以r＝(a＋b－2)∈，
故△ABC的内切圆半径的取值范围为．