(共23张PPT)
5.2.2导数的四则运算法则
1.掌握导数的四则运算法则，并能进行简单的应用．
2.能灵活运用导数的运算法则解决函数求导
复习引入
基本初等函数的导数
1. 若则；
2.若 （∈Q，且≠0），则；
3.若，则；
4.若 ，则；
5.若 (, 且) ，则；
特别地，若，则;
6. (, 且)，则；
特别地，若，则.
新课引入
如何求函数的导数？
设，由导数的定义，
新知探究
观察，，；
观察，，；
与导数，，.
你有什么发现和猜想？
；.
猜想：.
同样地，.
1.导数的运算法则1:
新知探究
，，为例。，.
你猜函数的积商关系和导数的积商关系是怎样的？
新知探究
，。，.
新知探究
，
，
所以.
，。，.
新知探究
2.导数的运算法则2:
记三分钟
新知探究
典例解析
例3 求下列函数的导数：
例4 求下列函数的导数：
典例解析
例3 求下列函数的导数：
（1）；（2）；
解：（1）
（2）
例4 求下列函数的导数：
；
解：（1）
典例解析
求函数的导数的策略
(1)先区分函数的运算特点，即函数的和、差、积、商，
再根据导数的运算法则求导数；
(2)对于三个以上函数的积、商的导数，依次转化为“两个”
函数的积、商的导数计算．
例5 日常生活中的饮用水通常是经过净化的．随着水的纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将1 水净化到纯净度为 所需费用（单位：元）为
求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：
(1)90%； 98%．
典例解析
解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数.
(1)因为 ，所以，净化到纯净度为90%时，净化费用的瞬时变化率是 元/吨．
(2)因为 ， 所以，净化到纯净度为98%时，净化费用的瞬时变化率是 元/吨．
典例解析
函数 在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢．由上述计算可知， ．
它表示净化到纯净度为98%左右时净化费用的变化率，大约是净化到纯净度为90%左右时净化费用的变化率的25倍．这说明，水的纯净度越高，需要的净化费用就越高，而且净化费用增加的速度也越快纯净度．
典例解析
典例解析
典例解析
关于函数导数的应用及其解决方法
(1)应用：导数应用主要有：求在某点处的切线方程，已知切线的方程或斜率求切点，以及涉及切线问题的综合应用；
(2)方法：先求出函数的导数，若已知切点则求出切线斜率、切线方程；若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再根据条件求切点坐标．总之，切点在解决此类问题时起着至关重要的作用．
(1)求函数的导数的策略；
(2)函数导数的应用及其解决方法.
课堂小结
1、三维设计
2、书本练习第78页练习2和3.
作业布置
再会！(共24张PPT)
5.2.2 导数的四则运算法则
人教A版 选择性必修第二册
第五章 一元函数的导数及其应用
学习目标：
1. 理解并掌握导数的四则运算法则；
2. 用导数的四则运算法则求简单函数的导数.
教学重点：
能灵活运用导数的四则运算法则求函数导数.
教学难点：
函数积、商的求导法则.
基本初等函数的导数公式
1. 若则；
2.若 （∈Q，且≠0），则；
3.若，则；
4.若 ，则；
5.若 (, 且) ，则；
特别地，若，则;
6. (, 且)，则；
特别地，若，则.
复习回顾
问题1 我们怎样求一个函数的导数？
导数的定义（求增量、算比值、求极限）；
直接通过公式得到基本初等函数的导数.
问题2 如何求函数的导数？
问题探究
目前，我们只能通过定义来求其导数.
设，由导数的定义，
问题3 观察，，；与导数，，.你有什么发现和猜想？
；.
大胆猜想：.
所以
所以
即
同理可证：
所以
小心论证设 f (x) ，g (x) 均为可导函数， y ＝ f (x) ＋ g (x) 则
一般地，对于两个函数的和（或差）的导数，我们有如下法则：
函数和、差的求导运算法则
总结归纳
（课本P76）例1 求下列函数的导数：
（1）； （2）；
例题讲解
解：（1）
（2）
练习1.
问题4 以 ，为例，计算与，看看是否相等？
追问：再验算 与商的导数是否等于它们导数的商？
，，
所以.
小心论证 设 f (x) ，g (x) 均为可导函数，y ＝ f (x) . g (x) 则
所以
所以
即
所以
同理可证 设 f (x) ，g (x) 均为可导函数，y ＝
所以
所以
即
所以
事实上，对于两个函数的乘积（或商）的导数，我们有如下法则：
函数积、商的求导运算法则
由函数乘积的导数法则可以得出
也就是说，常数与函数的积的导数，等于常数与函数的导数的积，即：
（课本P77）例2 求下列函数的导数：
；
解：（1）
总结
求函数的导数的策略
(1)利用函数的和、差、积、商的求导法则求函数的导数时，要分清函数的结构，再利用相应的法则进行求导．
(2)遇到函数的表达式是乘积形式或是商的形式，有时先将函数表达式展开或化简，然后再求导．
练习2 求的导数
（课本P77）例3 日常生活中的饮用水通常是经过净化的. 随着水的纯净度的提高，所需净化费用不断增加. 已知将吨水净化到纯净度为时所需费用（单位：元）为
1.求净化到下列纯净度，所需净化费用的瞬时变化率;
（1） （2）.
解
所以
(1)因为，所以净化到纯净度为，净化费用的瞬时变化率为元/吨.
(2)因为，所以净化到纯净度为，净化费用的瞬时变化率为21元/吨.
2.根据计算结果能得出哪些结论？
净化到纯净度为时净化费用的变化率是净化到纯净度为时的倍.
即净化到纯净度为98%时净化费用变化的快慢是净化到纯净度为90%时净化费用变化快慢的倍.
这说明水的纯净度越高，需要的净化费用就越多，而且净化费用增加的速度也越快。
(1)．
例4 已知函数
(1)求函数的导数
(2)求函数的图象在处的切线方程.
(2)由题意可知切点的横坐标为，
所以切线的斜率是，
切点纵坐标为，
故切点的坐标是，
所以切线方程为，即．
问题5 我们学习了哪些知识内容？
导数的四则运算法则及运用导数的四则运算法则求函数的导数.
追问： 你有什么感受？
运用函数的导数运算法则求函数的导数，比用导数定义求函数的导数要方便很多.
运用导数运算法则可以求很多初等函数的导数，这有助于研究更多函数的性质.
基础题组 课本P78练习123
拔高题组课本P81习题5.2 456
课后作业
再会！
