3.1.2 椭圆的简单几何性质 同步巩固练 2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第一册
文档属性
| 名称 | 3.1.2 椭圆的简单几何性质 同步巩固练 2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第一册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-03-13 17:29:18 | ||
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文档简介
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3.1.2 椭圆的简单几何性质 同步巩固练
2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第一册
一、单选题
1．若椭圆的离心率为，则椭圆的长轴长为（ ）
A．6 B．或 C． D．或
2．已知过原点的所有直线都与椭圆有两个不同的交点，那么实数k的取值范围是（ ）
A．或 B． C．或 D．
3．已知是椭圆的右焦点，直线与椭圆交于，两点，若，则该椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
4．已知，是椭圆的左、右焦点，若椭圆C上存在一点P使得，则椭圆C的离心率e的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．直线：与椭圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．相切或相交
6．已知直线与焦点在轴上的椭圆总有公共点，则的取值范围（ ）.
A． B． C． D．
7．已知椭圆四个顶点构成的四边形的面积为，直线与椭圆C交于A，B两点，且线段的中点为，则椭圆C的方程是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知椭圆，点是椭圆上任意一点，则到直线的距离最大值是（ ）
A． B． C． D．
9．已知，分别是椭圆C：的左、右焦点，O为坐标原点，M，N为C上两个动点，且，面积的最大值为，过O作直线MN的垂线，垂足为H，则（ ）
A． B． C．1 D．
10．椭圆具有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线都经过椭圆的另一焦点．电影放映机聚光灯泡的反射镜轴截面是椭圆的一部分，灯丝（看成一个点）在椭圆的右焦点处，灯丝与反射镜的顶点的距离，过焦点且垂直于轴的弦，在轴上移动电影机片门，将其放在光线最强处，则片门应离灯丝（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
11．已知椭圆，则（ ）
A．的焦点都在轴上 B．的焦距不相等
C．有公共点 D．椭圆比椭圆扁平
12．已知直线与圆相切，椭圆，则（ ）
A．点在圆O内 B．点在圆O上
C．点在椭圆C内 D．点在椭圆C上
13．已知椭圆C：的右焦点为F，点为椭圆C内一点．若椭圆C上存在一点P，使得，则m的值可以为（ ）
A． B． C．24 D．25
14．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l1与过F2的直线l2交于点M，设M的坐标为(x0，y0)，若l1⊥l2，则下列结论正确的有（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
15．已知椭圆焦点在轴，它与椭圆有相同离心率且经过点，则椭圆标准方程为 .
16．已知椭圆上存在关于直线对称的点，则的取值范围是 .
四、解答题
17．在平面直角坐标系中，椭圆：的左顶点到右焦点的距离是3，离心率为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)斜率为的直线经过椭圆的右焦点，且与椭圆相交于，两点．已知点，求的值．
18．已知椭圆的离心率是，其左、右焦点分别为、，过点且与直线垂直的直线交轴负半轴于.
(1)设，求的值；
(2)求证：；
(3)设，过椭圆Γ右焦点且不与坐标轴垂直的直线与椭圆交于、两点，点是点关于轴的对称点，在轴上是否存在一个定点，使得、、三点共线？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.
19．如图，已知椭圆过点，焦距为，斜率为的直线与椭圆相交于异于点的两点，且直线均不与轴垂直.
(1)求椭圆的方程；
(2)若，求的方程；
(3)记直线的斜率为，直线的斜率为，证明:为定值.
20．已知椭圆的离心率为点在椭圆上运动，且面积的最大值为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设分别是椭圆的右顶点和上顶点，直线与直线平行，且与轴，轴分别交于点，与椭圆相交于点为坐标原点.
（i）求与的面积之比；
（ii）证明：为定值.
21．已知分别为椭圆的左 右焦点，直线过点与椭圆交于两点，且的周长为.
(1)求椭圆的离心率；
(2)直线过点，且与垂直，交椭圆于两点，若，求四边形面积的范围.
参考答案
1．D
根据离心率的计算公式，分焦点的位置，讨论即可求解．
当焦点在轴时，由，解得，符合题意，此时椭圆的长轴长为；
当焦点在轴时，由，解得，符合题意，此时椭圆的长轴长为．
故选：D．
2．C
首先化为椭圆的标准方程，根据方程表示椭圆，以及原点在椭圆内，建立不等式即可求解.
椭圆的方可化为①
一方面，由原方程表示椭圆，知，且，于是，.
另一方面，由已知条件知原点在椭圆内部，于是，解得.
综上可得或.
故选：C
3．C
先联立直线方程与椭圆方程，求出，的坐标，再通过得，从而建立方程，再化归转化，即可求解．
根据对称性不妨设在第二象限，在第一象限，
联立，可解得，
，，又，
，，
又，，
，
，
，
，
，又，
该椭圆的离心率．
故选：C．
4．B
设，用坐标表示出等式，点在椭圆上，适合椭圆方程，求得代入上式，求得，然后由得出的不等关系，求得的范围．
设，则，，
由 ，，
化为，，整理得，
，，解得．
5．A
方法1：先求含参直线l恒过定点M，研究定点M与椭圆的位置关系可判断直线l与椭圆的位置关系；
方法2：代数法，联立直线l与椭圆方程，消参后可由判断出直线l与椭圆的位置关系.
方法1：
∵，即：，
∴直线l恒过定点，
又∵椭圆
∴，
∴定点M在椭圆内，
∴直线l与椭圆相交.
方法2：
∴恒成立，
∴直线l与椭圆相交.
故选：A.
6．D
先将方程化为标准方程，从而可得的范围，求出直线所过的定点，根据题意可得定点在椭圆上或椭圆内部，从而可得出答案.
由，得，
因为是焦点在轴上的椭圆，
所以，
直线过定点，
因为直线与焦点在轴上的椭圆总有公共点，
所以点在椭圆上或椭圆内部，
所以，解得，
综上所述，.
故选：D.
7．A
设代入椭圆方程相减，利用，，，得出等量关系，即可求解.
设，，则，，两式作差并化简整理得
，因为线段AB的中点为，所以，，
所以，由，得，又因为，解得，，
所以椭圆C的方程为．
故选：A．
8．A
直线与椭圆相切，平移后得直线方程为与椭圆相切，，求出的值，求解两条平行直线间的距离的最大值.
根据题意，,则，
则，
所以直线与椭圆相切，且在椭圆上方，
设直线方程为，联立，
则，
故，即，解得或（舍去），
则 ，
故，
故选：A
9．D
依题意当在椭圆短轴的顶点时面积取得最大值，即可求出椭圆方程，当直线的斜率存在时，设其方程为，，，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，由，可得，及，从而得到，从而得到，在根据数量积的坐标表示计算可得.
依题意当在椭圆短轴的顶点时面积取得最大值，又，
所以，解得，所以，则椭圆方程为，
当直线的斜率存在时，设其方程为，，，
由，消去整理得，
在的条件下，可知，，
又，所以，即，
即，即，
所以，
所以，所以，
当直线的斜率不存在时，则为与轴的交点，
又，根据对称性可知，
设，则（或），
所以，则，所以，
又，，所以，，
所以.
故选：D
10．C
利用右焦点到右顶点的距离及椭圆的通经，结合椭圆中三者的关系及焦距的定义即可求解.
由题设知，解得，
所以片门放在光线最强处，片门应离灯丝为．
故选：C.
11．BCD
根据题意，结合椭圆的标准方程和椭圆的几何性质，逐项判定，即可求解.
由椭圆的标准方程为，所以椭圆的焦点在轴上，所以A不正确；
又由椭圆的焦距为，椭圆的焦距为，所以B正确；
由椭圆和的方程，可得两椭圆和都过，所以C正确；
因为椭圆的离心率为，的离心率为，
所以，所以D正确.
故选:BCD.
12．BC
首先根据直线与圆相切的公式，得到，即可判断点与圆，以及点与椭圆的位置关系.
由直线与圆相切，可知，圆心到直线的距离，
即，所以点在圆O上，
并且，所以圆在椭圆内，在椭圆内.
故选：BC
13．BCD
根据题意，由点在椭圆内部，再结合椭圆的定义，列出不等式，代入计算，即可得到结果.
设椭圆的左焦点为，则，
由点A在椭圆内部得，结合，解得，
根据椭圆的定义及得，
又当P，，A三点共线时最大，从而，解得，
综上，，
故选:BCD．
14．AD
根据轨迹是以斜边为直径的圆，判断在椭圆内或椭圆外即可.
由题意可得，椭圆的焦点分别为 ，，
因为 ，所以点M在以 为直径的圆上，则短半轴长为 ，所以点M在椭圆内，故A正确；
由 得，则该椭圆的长半轴长为 ，所以点M在椭圆外，故D正确.
故选：AD
15．
设所求椭圆方程为，根据椭圆的离心率得到，又在椭圆上得到，求出可得答案.
椭圆的离心率为，
设所求椭圆方程为，
则，从而，，
又，∴，
∴所求椭圆的标准方程为.
故答案为： .
16．
根据题意利用点差法可得，进而可求的中点为，结合点在椭圆内，列式求解即可.
由题意可知：直线的斜率，
设椭圆上关于直线对称的两点分别为，的中点为，
可得，且，，
因为点在上，则，两式相减得，
整理可得，可得，即，
则，
联立方程，解得，即，
因为点在椭圆内，所以，解得，
所以实数的取值范围是.
故答案为：.
17．(1);
(2).
（1）根据题意得到关于的方程，解之即可求出结果;
（2）联立直线的方程与椭圆方程，结合韦达定理以及平面向量数量积的坐标运算即可求出结果.
（1）因为椭圆的左顶点到右焦点的距离是3，所以．
又椭圆的离心率是，所以，解得，，从而．
所以椭圆的标准方程．
（2）因为直线的斜率为，且过右焦点，所以直线的方程为．
联立直线的方程与椭圆方程，
消去，得，其中．
设，，则，．
因为，所以
．
因此的值是．
18．(1)
(2)证明见解析
(3)
（1）根据离心率、及计算可得；
（2）依题意可得，，即可求出，求出直线的方程，即可求出点坐标，再求出向量的坐标，即可得证；
（3）先求出椭圆的方程，设出直线方程，联立后得出、两点纵坐标的关系式，根据、的坐标表示出直线的方程，令，化简得出点的横坐标为定值.
（1）因为，且，解得，.
（2）因为，所以，，
又、，，
所以，所以直线：，令，解得，
所以，
所以，，
所以.
（3）当时由（2）可知，，所以椭圆方程为，
设直线方程为，，则，
联立得，
则，，.
直线的方程为，
令得
，
故在轴上存在一个定点，使得、、三点共线.
19．(1)
(2)
(3)证明见解析
（1）根据条件列方程组求解即可；
（2）设直线的方程为，与椭圆联立，由弦长公式求得的方程；
（3）将韦达定理代入中计算结果为定值.
（1）由题意得解得，
故椭圆的方程为.
（2）设直线的方程为，
由得，
由，得，
则.
，
解得或
当时，直线经过点，不符合题意，舍去；
当时，直线的方程为.
（3）直线，均不与轴垂直，所以，则且，
所以
为定值.
20．(1)
(2)（i）1；（ii）证明见解析
（1）当点为短轴的端点时，面积最大，然后根据题意建立方程组求解即可；
（2）先利用直线与直线平行，设直线方程为，然后计算出，再与椭圆联立，得方程，设点，然后用韦达定理得到，分别计算两个小问即可.
（1）根据题意解得，
所以椭圆的方程为
（2）如图所示：
设直线的方程为，则，
联立方程消去，整理得，
，得
设，则.
（i），
，
与的面积之比为1.
（ii）证明：
.
综上，.
21．(1)
(2)
（1）设，由题的周长为，据此可得答案；
（2）先讨论两直线中的一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，四边形的面积；再讨论两直线的斜率都存在，且都不为0时，分别联立直线与椭圆方程求得与，从而得到得关于的关系式，由此得解.
（1）设，由椭圆的定义可知的周长为，所以，所以离心率.
（2）由（1）可知，又，所以，
所以椭圆的方程为.
①当直线中的一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，四边形的面积.
②当直线的斜率都存在，且都不为0时，设的方程为，由，可得，.所以.
所以.
设的方程为，同理可得.
所以四边形的面积
，
因为，当且仅当时取等号.所以，即此时.
由①②可知，四边形面积的范围为.
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3.1.2 椭圆的简单几何性质 同步巩固练
2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第一册
一、单选题
1．若椭圆的离心率为，则椭圆的长轴长为（ ）
A．6 B．或 C． D．或
2．已知过原点的所有直线都与椭圆有两个不同的交点，那么实数k的取值范围是（ ）
A．或 B． C．或 D．
3．已知是椭圆的右焦点，直线与椭圆交于，两点，若，则该椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
4．已知，是椭圆的左、右焦点，若椭圆C上存在一点P使得，则椭圆C的离心率e的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．直线：与椭圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．相切或相交
6．已知直线与焦点在轴上的椭圆总有公共点，则的取值范围（ ）.
A． B． C． D．
7．已知椭圆四个顶点构成的四边形的面积为，直线与椭圆C交于A，B两点，且线段的中点为，则椭圆C的方程是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知椭圆，点是椭圆上任意一点，则到直线的距离最大值是（ ）
A． B． C． D．
9．已知，分别是椭圆C：的左、右焦点，O为坐标原点，M，N为C上两个动点，且，面积的最大值为，过O作直线MN的垂线，垂足为H，则（ ）
A． B． C．1 D．
10．椭圆具有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线都经过椭圆的另一焦点．电影放映机聚光灯泡的反射镜轴截面是椭圆的一部分，灯丝（看成一个点）在椭圆的右焦点处，灯丝与反射镜的顶点的距离，过焦点且垂直于轴的弦，在轴上移动电影机片门，将其放在光线最强处，则片门应离灯丝（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
11．已知椭圆，则（ ）
A．的焦点都在轴上 B．的焦距不相等
C．有公共点 D．椭圆比椭圆扁平
12．已知直线与圆相切，椭圆，则（ ）
A．点在圆O内 B．点在圆O上
C．点在椭圆C内 D．点在椭圆C上
13．已知椭圆C：的右焦点为F，点为椭圆C内一点．若椭圆C上存在一点P，使得，则m的值可以为（ ）
A． B． C．24 D．25
14．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l1与过F2的直线l2交于点M，设M的坐标为(x0，y0)，若l1⊥l2，则下列结论正确的有（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
15．已知椭圆焦点在轴，它与椭圆有相同离心率且经过点，则椭圆标准方程为 .
16．已知椭圆上存在关于直线对称的点，则的取值范围是 .
四、解答题
17．在平面直角坐标系中，椭圆：的左顶点到右焦点的距离是3，离心率为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)斜率为的直线经过椭圆的右焦点，且与椭圆相交于，两点．已知点，求的值．
18．已知椭圆的离心率是，其左、右焦点分别为、，过点且与直线垂直的直线交轴负半轴于.
(1)设，求的值；
(2)求证：；
(3)设，过椭圆Γ右焦点且不与坐标轴垂直的直线与椭圆交于、两点，点是点关于轴的对称点，在轴上是否存在一个定点，使得、、三点共线？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.
19．如图，已知椭圆过点，焦距为，斜率为的直线与椭圆相交于异于点的两点，且直线均不与轴垂直.
(1)求椭圆的方程；
(2)若，求的方程；
(3)记直线的斜率为，直线的斜率为，证明:为定值.
20．已知椭圆的离心率为点在椭圆上运动，且面积的最大值为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设分别是椭圆的右顶点和上顶点，直线与直线平行，且与轴，轴分别交于点，与椭圆相交于点为坐标原点.
（i）求与的面积之比；
（ii）证明：为定值.
21．已知分别为椭圆的左 右焦点，直线过点与椭圆交于两点，且的周长为.
(1)求椭圆的离心率；
(2)直线过点，且与垂直，交椭圆于两点，若，求四边形面积的范围.
参考答案
1．D
根据离心率的计算公式，分焦点的位置，讨论即可求解．
当焦点在轴时，由，解得，符合题意，此时椭圆的长轴长为；
当焦点在轴时，由，解得，符合题意，此时椭圆的长轴长为．
故选：D．
2．C
首先化为椭圆的标准方程，根据方程表示椭圆，以及原点在椭圆内，建立不等式即可求解.
椭圆的方可化为①
一方面，由原方程表示椭圆，知，且，于是，.
另一方面，由已知条件知原点在椭圆内部，于是，解得.
综上可得或.
故选：C
3．C
先联立直线方程与椭圆方程，求出，的坐标，再通过得，从而建立方程，再化归转化，即可求解．
根据对称性不妨设在第二象限，在第一象限，
联立，可解得，
，，又，
，，
又，，
，
，
，
，
，又，
该椭圆的离心率．
故选：C．
4．B
设，用坐标表示出等式，点在椭圆上，适合椭圆方程，求得代入上式，求得，然后由得出的不等关系，求得的范围．
设，则，，
由 ，，
化为，，整理得，
，，解得．
5．A
方法1：先求含参直线l恒过定点M，研究定点M与椭圆的位置关系可判断直线l与椭圆的位置关系；
方法2：代数法，联立直线l与椭圆方程，消参后可由判断出直线l与椭圆的位置关系.
方法1：
∵，即：，
∴直线l恒过定点，
又∵椭圆
∴，
∴定点M在椭圆内，
∴直线l与椭圆相交.
方法2：
∴恒成立，
∴直线l与椭圆相交.
故选：A.
6．D
先将方程化为标准方程，从而可得的范围，求出直线所过的定点，根据题意可得定点在椭圆上或椭圆内部，从而可得出答案.
由，得，
因为是焦点在轴上的椭圆，
所以，
直线过定点，
因为直线与焦点在轴上的椭圆总有公共点，
所以点在椭圆上或椭圆内部，
所以，解得，
综上所述，.
故选：D.
7．A
设代入椭圆方程相减，利用，，，得出等量关系，即可求解.
设，，则，，两式作差并化简整理得
，因为线段AB的中点为，所以，，
所以，由，得，又因为，解得，，
所以椭圆C的方程为．
故选：A．
8．A
直线与椭圆相切，平移后得直线方程为与椭圆相切，，求出的值，求解两条平行直线间的距离的最大值.
根据题意，,则，
则，
所以直线与椭圆相切，且在椭圆上方，
设直线方程为，联立，
则，
故，即，解得或（舍去），
则 ，
故，
故选：A
9．D
依题意当在椭圆短轴的顶点时面积取得最大值，即可求出椭圆方程，当直线的斜率存在时，设其方程为，，，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，由，可得，及，从而得到，从而得到，在根据数量积的坐标表示计算可得.
依题意当在椭圆短轴的顶点时面积取得最大值，又，
所以，解得，所以，则椭圆方程为，
当直线的斜率存在时，设其方程为，，，
由，消去整理得，
在的条件下，可知，，
又，所以，即，
即，即，
所以，
所以，所以，
当直线的斜率不存在时，则为与轴的交点，
又，根据对称性可知，
设，则（或），
所以，则，所以，
又，，所以，，
所以.
故选：D
10．C
利用右焦点到右顶点的距离及椭圆的通经，结合椭圆中三者的关系及焦距的定义即可求解.
由题设知，解得，
所以片门放在光线最强处，片门应离灯丝为．
故选：C.
11．BCD
根据题意，结合椭圆的标准方程和椭圆的几何性质，逐项判定，即可求解.
由椭圆的标准方程为，所以椭圆的焦点在轴上，所以A不正确；
又由椭圆的焦距为，椭圆的焦距为，所以B正确；
由椭圆和的方程，可得两椭圆和都过，所以C正确；
因为椭圆的离心率为，的离心率为，
所以，所以D正确.
故选:BCD.
12．BC
首先根据直线与圆相切的公式，得到，即可判断点与圆，以及点与椭圆的位置关系.
由直线与圆相切，可知，圆心到直线的距离，
即，所以点在圆O上，
并且，所以圆在椭圆内，在椭圆内.
故选：BC
13．BCD
根据题意，由点在椭圆内部，再结合椭圆的定义，列出不等式，代入计算，即可得到结果.
设椭圆的左焦点为，则，
由点A在椭圆内部得，结合，解得，
根据椭圆的定义及得，
又当P，，A三点共线时最大，从而，解得，
综上，，
故选:BCD．
14．AD
根据轨迹是以斜边为直径的圆，判断在椭圆内或椭圆外即可.
由题意可得，椭圆的焦点分别为 ，，
因为 ，所以点M在以 为直径的圆上，则短半轴长为 ，所以点M在椭圆内，故A正确；
由 得，则该椭圆的长半轴长为 ，所以点M在椭圆外，故D正确.
故选：AD
15．
设所求椭圆方程为，根据椭圆的离心率得到，又在椭圆上得到，求出可得答案.
椭圆的离心率为，
设所求椭圆方程为，
则，从而，，
又，∴，
∴所求椭圆的标准方程为.
故答案为： .
16．
根据题意利用点差法可得，进而可求的中点为，结合点在椭圆内，列式求解即可.
由题意可知：直线的斜率，
设椭圆上关于直线对称的两点分别为，的中点为，
可得，且，，
因为点在上，则，两式相减得，
整理可得，可得，即，
则，
联立方程，解得，即，
因为点在椭圆内，所以，解得，
所以实数的取值范围是.
故答案为：.
17．(1);
(2).
（1）根据题意得到关于的方程，解之即可求出结果;
（2）联立直线的方程与椭圆方程，结合韦达定理以及平面向量数量积的坐标运算即可求出结果.
（1）因为椭圆的左顶点到右焦点的距离是3，所以．
又椭圆的离心率是，所以，解得，，从而．
所以椭圆的标准方程．
（2）因为直线的斜率为，且过右焦点，所以直线的方程为．
联立直线的方程与椭圆方程，
消去，得，其中．
设，，则，．
因为，所以
．
因此的值是．
18．(1)
(2)证明见解析
(3)
（1）根据离心率、及计算可得；
（2）依题意可得，，即可求出，求出直线的方程，即可求出点坐标，再求出向量的坐标，即可得证；
（3）先求出椭圆的方程，设出直线方程，联立后得出、两点纵坐标的关系式，根据、的坐标表示出直线的方程，令，化简得出点的横坐标为定值.
（1）因为，且，解得，.
（2）因为，所以，，
又、，，
所以，所以直线：，令，解得，
所以，
所以，，
所以.
（3）当时由（2）可知，，所以椭圆方程为，
设直线方程为，，则，
联立得，
则，，.
直线的方程为，
令得
，
故在轴上存在一个定点，使得、、三点共线.
19．(1)
(2)
(3)证明见解析
（1）根据条件列方程组求解即可；
（2）设直线的方程为，与椭圆联立，由弦长公式求得的方程；
（3）将韦达定理代入中计算结果为定值.
（1）由题意得解得，
故椭圆的方程为.
（2）设直线的方程为，
由得，
由，得，
则.
，
解得或
当时，直线经过点，不符合题意，舍去；
当时，直线的方程为.
（3）直线，均不与轴垂直，所以，则且，
所以
为定值.
20．(1)
(2)（i）1；（ii）证明见解析
（1）当点为短轴的端点时，面积最大，然后根据题意建立方程组求解即可；
（2）先利用直线与直线平行，设直线方程为，然后计算出，再与椭圆联立，得方程，设点，然后用韦达定理得到，分别计算两个小问即可.
（1）根据题意解得，
所以椭圆的方程为
（2）如图所示：
设直线的方程为，则，
联立方程消去，整理得，
，得
设，则.
（i），
，
与的面积之比为1.
（ii）证明：
.
综上，.
21．(1)
(2)
（1）设，由题的周长为，据此可得答案；
（2）先讨论两直线中的一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，四边形的面积；再讨论两直线的斜率都存在，且都不为0时，分别联立直线与椭圆方程求得与，从而得到得关于的关系式，由此得解.
（1）设，由椭圆的定义可知的周长为，所以，所以离心率.
（2）由（1）可知，又，所以，
所以椭圆的方程为.
①当直线中的一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，四边形的面积.
②当直线的斜率都存在，且都不为0时，设的方程为，由，可得，.所以.
所以.
设的方程为，同理可得.
所以四边形的面积
，
因为，当且仅当时取等号.所以，即此时.
由①②可知，四边形面积的范围为.
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