3.2.1 双曲线及其标准方程 同步巩固练 2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第一册
文档属性
| 名称 | 3.2.1 双曲线及其标准方程 同步巩固练 2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第一册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 954.8KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-03-13 17:29:18 | ||
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文档简介
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3.2.1 双曲线及其标准方程 同步巩固练
2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第一册
一、单选题
1．已知，，则动点P的轨迹是（ ）
A．双曲线 B．双曲线左支
C．一条射线 D．双曲线右支
2．已知点，曲线上的动点到的距离之差为6，则曲线方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．设，则“方程表示双曲线”的必要不充分条件为（ ）
A． B．
C． D．
4．已知，双曲线C：的左焦点为F，P是双曲线C的右支上的动点，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
5．已知点，点是双曲线：左支上的动点，是圆：上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知，圆，动圆经过点且与圆相切，则动圆圆心的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知为双曲线的左，右焦点，为坐标原点，为双曲线上一点，且，则到轴的距离为（ ）
A．2 B． C． D．
8．双曲线的左、右焦点分别为点在双曲线右支上，直线的斜率为2．若是直角三角形，且面积为8，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，过双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若为线段的中点，为坐标原点，则（ ）
A． B． C． D．
10．过椭圆右焦点F的圆与圆O：外切，则该圆直径FQ的端点Q的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
11．已知左、右焦点分别是，的双曲线上有一点（，），且，则（ ）
A． B．
C．的面积为31 D．的周长为
12．在平面直角坐标系中，已知是动点．下列命题正确的是（ ）
A．若，则的轨迹的长度等于2
B．若，则的轨迹方程为
C．若，则的轨迹与圆没有交点
D．若，则的最大值为3
三、填空题
13．已知双曲线的上、下焦点分别为，，动点与点在曲线上，且满足，则该双曲线的标准方程为 .
14．双曲线的焦点为，点在双曲线上，若，则 .
15．已知，分别是双曲线的上、下焦点，过的直线交的上支于A，B两点，若的长等于虚轴长的3倍，则的周长为 ．
四、解答题
16．已知双曲线是上的任意一点.
(1)设点的坐标为，求的最小值；
(2)若分别为双曲线的左 右焦点，，求的面积.
17．求符合下列条件的曲线的标准方程
(1)求经过点，的椭圆的标准方程；
(2)求与椭圆有公共焦点，且过点的双曲线的标准方程．
18．求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别是，双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于；
(2)焦点在轴上，经过点和点．
(3)经过点和．
(4)已知与椭圆共焦点的双曲线过点
19．已知双曲线的上、下焦点分别是，P为双曲线C上支上的动点，．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若，求．
参考答案
1．C
根据给定条件，得，即可确定轨迹作答.
因为，于是有，
所以动点P的轨迹是一条射线．
故选：C
2．A
由题意可得，根据双曲线的定义及焦点的位置即可求解.
由题意可得,
由双曲线定义可知，所求曲线方程为双曲线一支，且,即，
所以.
又因为焦点在轴上，所以曲线方程为.
故选:A.
3．B
求出方程表示双曲线的必要不充分条件的范围可得答案.
由，方程表示双曲线，
则，所以，
根据选项，“方程表示双曲线”的必要不充分条件为B.
故选：B.
4．D
设双曲线右焦点为C，利用双曲线的定义，将的最大值问题转化为的最小值问题，从而借助平面中三角形两边之差大于第三边的几何性质求解即可．
设C为双曲线右焦点，则，，
而，故直线与双曲线的右支交于两个不同的点，
而，仅当共线且A在之间时等号成立，
所以，
当共线且A在之间时等号成立．
故选：D．
5．D
利用圆的性质求出的最大值，由点与抛物线右支的位置求出的最小值，再利用双曲线定义求解即得.
双曲线的半焦距，圆的圆心是双曲线的左焦点，令右焦点为，
圆半径为，显然点在圆外，，当且仅当是的延长线与圆的交点时取等号，
，当且仅当三点共线时取等号，由双曲线的定义，
所以，即的最小值为.
故选：D
6．C
首先得到圆心坐标与半径，设动圆的半径为，分两圆相内切与外切两种情况讨论，结合双曲线的定义计算可得.
圆，即，圆心为，半径，
设动圆的半径为，
若动圆与圆相内切，则圆在圆内，所以，，
所以，
所以动点是以、为焦点的双曲线的右支，且、，
所以，
所以动圆圆心的轨迹方程是，
若动圆与圆相外切，所以，，
所以，
所以动点是以、为焦点的双曲线的左支，且、，
所以，
所以动圆圆心的轨迹方程是，
综上可得动圆圆心的轨迹方程是.
故选：C
7．C
设，由双曲线的定义及余弦定理，求得的值，再利用三角形的面积相等法求得的值，进而求得，得到答案.
由双曲线，可得，则，
设，由双曲线的定义，可得，
根据余弦定理，可得，解得，
再设点的坐标为，
则，
因为，可得，解得，
由，可得，即点到轴的距离为.
故选：C.
8．A
可利用三边斜率问题与正弦定理，转化出三边比例，设，由面积公式求出，由勾股定理得出，结合第一定义再求出.
如下图：由题可知，点必落在第四象限，，设，
，由，求得，
因为，所以，求得，即，
，由正弦定理可得：，
则由得，
由得，
则，
由双曲线第一定义可得：，，
所以双曲线的方程为.
故选：A
9．A
根据三角形的中位线性质，得到，再由双曲线的定义，以及圆的切线性质，即可得到结论．
由双曲线，可得，则且，
设是双曲线的右焦点，连接，
因为分别为的中点，，
在直角中，可得，
又由双曲线的定义，可得，
所以.
故选：A.
10．C
求出点的坐标，结合两圆外切的性质探求出点的轨迹特征，进而求出方程.
由椭圆，得椭圆半焦距，即有，则椭圆的左焦点为，
设以FQ为直径的圆的圆心为C，如图，
由圆O与圆C外切，得，又，，
则，
因此Q的轨迹是以、F为焦点，实轴长的双曲线的右支，即，，
所以双曲线方程：．
故选：C
11．AD
根据同角正弦函数与余弦函数关系即可判断出A答案；根据题意可知a、b、c的值，再根据双曲线定义即可判断出B答案；将A、B中的信息带入三角形的面积公式即可判断C答案，根据定义计算出的取值即可得出D答案.
由题知，，则．因为在第一象限，所以．
在中，因为，所以，A正确；
且，可得，B错误；
所以，C错误；
因为，所以，
故的周长为，D正确．
故选：AD.
12．ACD
对于A，确定M点轨迹，即可判断；对于B，结合双曲线定义进行判断；对于C，求出M点轨迹方程，联立方程或利用向量数量积判断与圆的交点情况，即可判断；对于D，求出动点M的轨迹方程，进而求解数量积最值，即可判断.
选项A：因为，所以的轨迹为线段，
从而的轨迹的长度等于2，故A正确；
选项B：因为，由双曲线的定义知，的轨迹是以为焦点的双曲线的右支，
而结论的方程中未限制范围，故B错误；（由，得的轨迹方程为）
选项C：解法一：由，得，
化简得，，联立，得，
这与矛盾，所以方程组无解，故的轨迹与圆没有交点，故C正确；
解法二：若有交点，则，
又，矛盾，
所以的轨迹与圆没有交点，故C正确；
选项D：
解法一：由得，，
化简得，
所以的轨迹是以为圆心，半径为的圆，
等于在轴上的投影的长度，
由图知其最大值为3，故D正确；
解法二：同法一得的轨迹是以为圆心，半径为的圆，
，由圆的方程知可取到最大值3，故D正确；
解法三：由得，，
当在的反向延长线上时取等号，
①；
②当在的反向延长线上，且时，
满足条件，此时，
所以的最大值为3，故D正确；
故选：ACD．
13．
根据题干双曲线上点满足,得到，代入方程计算求解即可得出结果.
依题意，
即，故，
又点在曲线上，所以，即，
故双曲线的标准方程为.
故答案为：
14．21
先根据双曲线方程得；再根据双曲线的定义列出关系式求解即可.
由，得，得.
因为，
所以5或，
解得（舍去）或.
故答案为：21.
15．36
易得的值，结合双曲线的定义即可得结果.
由题意得，则，
所以的周长为．
故答案为：36.
16．(1)；
(2).
（1）设出点的坐标为，表示出，利用点再双曲线上，借助二次函数知识计算即可;
（2）由双曲线的定义及余弦定理表示出，结合面积公式计算即可.
（1）
设点的坐标为，
则，
因为，所以当时，取得最小值.
（2）由双曲线的定义知①,
由余弦定理得②,
根据①②可得，所以.
17．(1)
(2)
⑴根据椭圆过的点确定椭圆方程.
⑵先求出椭圆的焦点，确定双曲线的焦点，有，结合双曲线过的点列出方程组求，.
（1）椭圆过点，，根据椭圆的性质可知，，焦点在轴，
所以椭圆方程为.
（2）椭圆的标准方程为，故，可得焦点坐标为，
设双曲线的方程为，故，
，整理有，解得或（舍）
所以，，所以双曲线方程为.
18．(1)
(2)
(3)
(4)
（1）根据焦点坐标、双曲线的定义可得答案；
（2）设双曲线的方程为，将两点代入可得答案；
（3）设双曲线的方程为，将两点代入可得答案；
（4）求出椭圆的焦点坐标可得双曲线的焦点坐标，设所求双曲线的标准方程为，代入点可得答案.
（1）由已知得，，即，∵，∴，
∵焦点在轴上，∴所求的双曲线的标准方程是；
（2）设双曲线的方程为，则，所以，
∴双曲线方程为；
（3）设双曲线方程为，将两点代入可得，
解得，所以双曲线的标准方程为；
（4）设椭圆的半焦距为，则，∴，
所以椭圆的焦点坐标为，，
所以双曲线的焦点坐标为，，
设所求双曲线的标准方程为，则，
故所求双曲线方程可写为，∵点在所求双曲线上，
∴代入有，化简得，解得或；
当时， ，不合题意，舍去；
∴，
∴所求双曲线的标准方程为.
19．(1)
(2)
（1）根据双曲线基本量关系求解即可；
（2）设，再根据余弦定理求解即可.
（1），得，，所以双曲线．
（2）设，则，
在中，由余弦定理得，
，解得或（舍），
故，故．
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3.2.1 双曲线及其标准方程 同步巩固练
2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第一册
一、单选题
1．已知，，则动点P的轨迹是（ ）
A．双曲线 B．双曲线左支
C．一条射线 D．双曲线右支
2．已知点，曲线上的动点到的距离之差为6，则曲线方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．设，则“方程表示双曲线”的必要不充分条件为（ ）
A． B．
C． D．
4．已知，双曲线C：的左焦点为F，P是双曲线C的右支上的动点，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
5．已知点，点是双曲线：左支上的动点，是圆：上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知，圆，动圆经过点且与圆相切，则动圆圆心的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知为双曲线的左，右焦点，为坐标原点，为双曲线上一点，且，则到轴的距离为（ ）
A．2 B． C． D．
8．双曲线的左、右焦点分别为点在双曲线右支上，直线的斜率为2．若是直角三角形，且面积为8，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，过双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若为线段的中点，为坐标原点，则（ ）
A． B． C． D．
10．过椭圆右焦点F的圆与圆O：外切，则该圆直径FQ的端点Q的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
11．已知左、右焦点分别是，的双曲线上有一点（，），且，则（ ）
A． B．
C．的面积为31 D．的周长为
12．在平面直角坐标系中，已知是动点．下列命题正确的是（ ）
A．若，则的轨迹的长度等于2
B．若，则的轨迹方程为
C．若，则的轨迹与圆没有交点
D．若，则的最大值为3
三、填空题
13．已知双曲线的上、下焦点分别为，，动点与点在曲线上，且满足，则该双曲线的标准方程为 .
14．双曲线的焦点为，点在双曲线上，若，则 .
15．已知，分别是双曲线的上、下焦点，过的直线交的上支于A，B两点，若的长等于虚轴长的3倍，则的周长为 ．
四、解答题
16．已知双曲线是上的任意一点.
(1)设点的坐标为，求的最小值；
(2)若分别为双曲线的左 右焦点，，求的面积.
17．求符合下列条件的曲线的标准方程
(1)求经过点，的椭圆的标准方程；
(2)求与椭圆有公共焦点，且过点的双曲线的标准方程．
18．求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别是，双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于；
(2)焦点在轴上，经过点和点．
(3)经过点和．
(4)已知与椭圆共焦点的双曲线过点
19．已知双曲线的上、下焦点分别是，P为双曲线C上支上的动点，．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若，求．
参考答案
1．C
根据给定条件，得，即可确定轨迹作答.
因为，于是有，
所以动点P的轨迹是一条射线．
故选：C
2．A
由题意可得，根据双曲线的定义及焦点的位置即可求解.
由题意可得,
由双曲线定义可知，所求曲线方程为双曲线一支，且,即，
所以.
又因为焦点在轴上，所以曲线方程为.
故选:A.
3．B
求出方程表示双曲线的必要不充分条件的范围可得答案.
由，方程表示双曲线，
则，所以，
根据选项，“方程表示双曲线”的必要不充分条件为B.
故选：B.
4．D
设双曲线右焦点为C，利用双曲线的定义，将的最大值问题转化为的最小值问题，从而借助平面中三角形两边之差大于第三边的几何性质求解即可．
设C为双曲线右焦点，则，，
而，故直线与双曲线的右支交于两个不同的点，
而，仅当共线且A在之间时等号成立，
所以，
当共线且A在之间时等号成立．
故选：D．
5．D
利用圆的性质求出的最大值，由点与抛物线右支的位置求出的最小值，再利用双曲线定义求解即得.
双曲线的半焦距，圆的圆心是双曲线的左焦点，令右焦点为，
圆半径为，显然点在圆外，，当且仅当是的延长线与圆的交点时取等号，
，当且仅当三点共线时取等号，由双曲线的定义，
所以，即的最小值为.
故选：D
6．C
首先得到圆心坐标与半径，设动圆的半径为，分两圆相内切与外切两种情况讨论，结合双曲线的定义计算可得.
圆，即，圆心为，半径，
设动圆的半径为，
若动圆与圆相内切，则圆在圆内，所以，，
所以，
所以动点是以、为焦点的双曲线的右支，且、，
所以，
所以动圆圆心的轨迹方程是，
若动圆与圆相外切，所以，，
所以，
所以动点是以、为焦点的双曲线的左支，且、，
所以，
所以动圆圆心的轨迹方程是，
综上可得动圆圆心的轨迹方程是.
故选：C
7．C
设，由双曲线的定义及余弦定理，求得的值，再利用三角形的面积相等法求得的值，进而求得，得到答案.
由双曲线，可得，则，
设，由双曲线的定义，可得，
根据余弦定理，可得，解得，
再设点的坐标为，
则，
因为，可得，解得，
由，可得，即点到轴的距离为.
故选：C.
8．A
可利用三边斜率问题与正弦定理，转化出三边比例，设，由面积公式求出，由勾股定理得出，结合第一定义再求出.
如下图：由题可知，点必落在第四象限，，设，
，由，求得，
因为，所以，求得，即，
，由正弦定理可得：，
则由得，
由得，
则，
由双曲线第一定义可得：，，
所以双曲线的方程为.
故选：A
9．A
根据三角形的中位线性质，得到，再由双曲线的定义，以及圆的切线性质，即可得到结论．
由双曲线，可得，则且，
设是双曲线的右焦点，连接，
因为分别为的中点，，
在直角中，可得，
又由双曲线的定义，可得，
所以.
故选：A.
10．C
求出点的坐标，结合两圆外切的性质探求出点的轨迹特征，进而求出方程.
由椭圆，得椭圆半焦距，即有，则椭圆的左焦点为，
设以FQ为直径的圆的圆心为C，如图，
由圆O与圆C外切，得，又，，
则，
因此Q的轨迹是以、F为焦点，实轴长的双曲线的右支，即，，
所以双曲线方程：．
故选：C
11．AD
根据同角正弦函数与余弦函数关系即可判断出A答案；根据题意可知a、b、c的值，再根据双曲线定义即可判断出B答案；将A、B中的信息带入三角形的面积公式即可判断C答案，根据定义计算出的取值即可得出D答案.
由题知，，则．因为在第一象限，所以．
在中，因为，所以，A正确；
且，可得，B错误；
所以，C错误；
因为，所以，
故的周长为，D正确．
故选：AD.
12．ACD
对于A，确定M点轨迹，即可判断；对于B，结合双曲线定义进行判断；对于C，求出M点轨迹方程，联立方程或利用向量数量积判断与圆的交点情况，即可判断；对于D，求出动点M的轨迹方程，进而求解数量积最值，即可判断.
选项A：因为，所以的轨迹为线段，
从而的轨迹的长度等于2，故A正确；
选项B：因为，由双曲线的定义知，的轨迹是以为焦点的双曲线的右支，
而结论的方程中未限制范围，故B错误；（由，得的轨迹方程为）
选项C：解法一：由，得，
化简得，，联立，得，
这与矛盾，所以方程组无解，故的轨迹与圆没有交点，故C正确；
解法二：若有交点，则，
又，矛盾，
所以的轨迹与圆没有交点，故C正确；
选项D：
解法一：由得，，
化简得，
所以的轨迹是以为圆心，半径为的圆，
等于在轴上的投影的长度，
由图知其最大值为3，故D正确；
解法二：同法一得的轨迹是以为圆心，半径为的圆，
，由圆的方程知可取到最大值3，故D正确；
解法三：由得，，
当在的反向延长线上时取等号，
①；
②当在的反向延长线上，且时，
满足条件，此时，
所以的最大值为3，故D正确；
故选：ACD．
13．
根据题干双曲线上点满足,得到，代入方程计算求解即可得出结果.
依题意，
即，故，
又点在曲线上，所以，即，
故双曲线的标准方程为.
故答案为：
14．21
先根据双曲线方程得；再根据双曲线的定义列出关系式求解即可.
由，得，得.
因为，
所以5或，
解得（舍去）或.
故答案为：21.
15．36
易得的值，结合双曲线的定义即可得结果.
由题意得，则，
所以的周长为．
故答案为：36.
16．(1)；
(2).
（1）设出点的坐标为，表示出，利用点再双曲线上，借助二次函数知识计算即可;
（2）由双曲线的定义及余弦定理表示出，结合面积公式计算即可.
（1）
设点的坐标为，
则，
因为，所以当时，取得最小值.
（2）由双曲线的定义知①,
由余弦定理得②,
根据①②可得，所以.
17．(1)
(2)
⑴根据椭圆过的点确定椭圆方程.
⑵先求出椭圆的焦点，确定双曲线的焦点，有，结合双曲线过的点列出方程组求，.
（1）椭圆过点，，根据椭圆的性质可知，，焦点在轴，
所以椭圆方程为.
（2）椭圆的标准方程为，故，可得焦点坐标为，
设双曲线的方程为，故，
，整理有，解得或（舍）
所以，，所以双曲线方程为.
18．(1)
(2)
(3)
(4)
（1）根据焦点坐标、双曲线的定义可得答案；
（2）设双曲线的方程为，将两点代入可得答案；
（3）设双曲线的方程为，将两点代入可得答案；
（4）求出椭圆的焦点坐标可得双曲线的焦点坐标，设所求双曲线的标准方程为，代入点可得答案.
（1）由已知得，，即，∵，∴，
∵焦点在轴上，∴所求的双曲线的标准方程是；
（2）设双曲线的方程为，则，所以，
∴双曲线方程为；
（3）设双曲线方程为，将两点代入可得，
解得，所以双曲线的标准方程为；
（4）设椭圆的半焦距为，则，∴，
所以椭圆的焦点坐标为，，
所以双曲线的焦点坐标为，，
设所求双曲线的标准方程为，则，
故所求双曲线方程可写为，∵点在所求双曲线上，
∴代入有，化简得，解得或；
当时， ，不合题意，舍去；
∴，
∴所求双曲线的标准方程为.
19．(1)
(2)
（1）根据双曲线基本量关系求解即可；
（2）设，再根据余弦定理求解即可.
（1），得，，所以双曲线．
（2）设，则，
在中，由余弦定理得，
，解得或（舍），
故，故．
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