3.2.2 双曲线的简单几何性质 同步巩固练 2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第一册

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3．2．2 双曲线的简单几何性质 同步巩固练
2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第一册
一、单选题
1．下列有关双曲线与的说法正确的是（ ）
A．有公共顶点 B．有公共渐近线 C．有公共焦点 D．离心率相等
2．双曲线的左、右焦点分别为，且的一条渐近线与直线平行，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
3．已知双曲线的实半轴长为，其上焦点到双曲线的一条渐近线的距离为3，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
4．已知双曲线的左焦点为.若双曲线右支上存在点，使得与双曲线的一条渐近线垂直且交于点，，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
5．已知双曲线：，圆与圆的公共弦所在的直线是的一条渐近线，则的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
6．若双曲线C：的渐近线与圆没有公共点，则双曲线C的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．过双曲线的左焦点作直线，与双曲线交于两点，若，则这样的直线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
8．已知双曲线，过点的直线l与双曲线C交于M N两点，若P为线段MN的中点，则弦长|MN|等于（ ）
A． B． C． D．
9．在x轴上方作圆与x轴相切，切点为，分别从点 ，作该圆的切线AM和BM，两切线相交于点M，则点M的横坐标的取值范围( )
A． B．
C． D．
10．已知F1，F2是双曲线C：（，）的两个焦点，C的离心率为5，点在C上，，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为关于双曲线的一条渐近线对称的点为．若，则的面积为（ ）
A．1 B．2 C． D．4
12．已知实数、满足，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
13．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过点的直线与的左支相交于，两点，若，且，则（ ）
A． B．
C．的离心率为 D．直线的斜率为
三、填空题
14．双曲线 的焦点到渐近线的距离为5，则该双曲线的渐近线方程为 .
15．若点依次为双曲线的左、右焦点，且，，. 若双曲线C上存在点P，使得，则实数b的取值范围为 .
16．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过作C的一条渐近线的垂线，垂足为A，与另一条渐近线交于B点，则的内切圆的半径为 ．
四、解答题
17．已知双曲线：的左右顶点分别为，，点，在双曲线上．
(1)求直线，的斜率之积；
(2)若直线MN的斜率为2，且过点，求的值．
18．已知双曲线的渐近线方程是，实轴长为2.
(1)求双曲线的方程;
(2)若直线与双曲线交于两点，线段的中点为，求直线的斜率.
19．已知直线l：分别与x轴，直线交于点A，B，点P是线段AB的垂直平分线上的一点（P不在x轴负半轴上）且.
(1)求点P的轨迹C的方程；
(2)设l与C交于E，F两点，点M在C上且满足，延长MA交C于点N，求的最小值.
20．已知双曲线的离心率为2，右焦点到其中一条渐近线的距离为.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过右焦点作直线交双曲线于两点，过点作直线的垂线，垂足为，求证直线过定点.
21．已知双曲线：的离心率为，点在双曲线上．过的左焦点F作直线交的左支于A、B两点．
(1)求双曲线的方程．
(2)若，试问：是否存在直线l，使得点M在以AB为直径的圆上？若存在求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
(3)点，直线交直线于点．设直线、的斜率分别、，求证：为定值．
22．设A，B是双曲线H：上的两点．直线l与双曲线H的交点为P，Q两点．
(1)若双曲线H的离心率是，且点在双曲线H上，求双曲线H的方程；
(2)设A、B分别是双曲线H：的左、右顶点，直线l平行于y轴．求直线AP与BQ斜率的乘积，并求直线AP与BQ的交点M的轨迹方程；
(3)设双曲线H：，其中，，点M是抛物线C：上不同于点A、B的动点，且直线MA与双曲线H相交于另一点P，直线MB与双曲线H相交于另一点Q，问：直线PQ是否恒过某一定点？若是，求该定点的坐标；若不是，请说明理由．
参考答案
1．B
求出两双曲线的顶点坐标、渐近线方程、焦点坐标以及离心率，可出结论.
对于双曲线，顶点坐标为，渐近线方程为，焦点坐标为，
离心率为，
对于双曲线，顶点坐标为，渐近线方程为，焦点坐标为，
离心率为，
因此，这两个双曲线有相同的渐近线，
故选：B.
2．A
利用已知条件求出a、b、c的值代入方程即可
由题意知，解得，故双曲线的标准方程为．
故选：A．
3．B
设双曲线的上焦点为，由题意可得，可求，由已知可求，可求渐近线方程.
设双曲线的上焦点为，
双曲线的渐近线方程为，
由点到直线的距离公式可得，
又双曲线的实半轴长为，所以，
所以双曲线的渐近线方程为，即.
故选：B.
4．C
不妨设在第四象限，与渐近线垂直，写出直线方程，与方程联立求得点坐标，再根据得向量的关系，从而得点坐标，点坐标代入双曲线方程变形可得，得渐近线方程．
，不妨设在第四象限，与渐近线垂直，的斜率为，
所以直线方程为，
由，得，
设，由知：，即，
所以，，在双曲线上，
所以，化简得，则，
所以，故渐近线方程是．
故选：C
5．C
两圆的方程相减可得双曲线的一条渐近线方程，据此可求双曲线的离心率.
因为，，所以两圆方程相减可得，
由题意知的一条渐近线为，即，
双曲线的离心率．
故选：C．
6．B
先根据双曲线方程求得双曲线的渐近线，进而利用圆心到渐近线的距离大于半径求得a和b的关系，进而利用求得a和c的关系，则双曲线的离心率可求．
双曲线渐近线为，且与圆没有公共点，
圆心到渐近线的距离大于半径，即，，，．
故选：B．
7．D
设直线方程与双曲线联立，利用弦长公式解方程判断根的个数即可.
由题意得双曲线左焦点，当直线垂直于横轴时，不符合题意，双曲线渐近线方程为；
故可设，
与双曲线联立可得，
，
由弦长公式知，
则或.
故存在四条直线满足条件.
故选：D
8．D
设直线MN为，联立双曲线方程，应用韦达定理及中点坐标公式求k值，利用弦长公式求解即可.
由题设，直线l的斜率必存在，设过的直线MN为，联立双曲线：
设，则，所以，解得，
则，.
弦长|MN|.
故选：D.
9．A
根据题意作出图像，根据几何关系研究动点M的轨迹即可.
当M在第一象限时，如图，设直线AM，BM与圆分别相切于点E，F，
由题可知，，，
又∵，
∴
∴根据双曲线的可知，M在以A、B为焦点的双曲线的右支上(不能取顶点)，
∴此时M恒坐标；
当M在第三象限时，如图，
同理可得，
∴根据双曲线的定义可知，此时M是以A、B为焦点的双曲线的左支上的点(不能为顶点)，∴此时M恒坐标；
综上，M点的横坐标的取值范围.
故选：A.
10．D
当时，得，要由，解得，故当时，即可得到答案.
设的焦距为，离心率为．当时，由平面几何知识得
，解得．∵，∴．根据双曲线上点的横坐标的取值范围以及平面向量内积的几何意义可知，当时，实数的取值范围是．
故选：D.
11．D
根据离心率求出渐近线方程，从而得到点关于的对称点，并得到，根据求出，进而求出，得到三角形面积.
由题意得，，渐近线方程为，，
，故渐近线方程为，
连接，则由对称性得，
又，所以，
故，，
由于，故，
设点关于的对称点，
则，解得，
则，
由得，解得，
故，，，
故的面积为.
故选：D
12．B
化简曲线的方程，并作出曲线的图象，令，数形结合求出的取值范围，可得出的取值范围，即可得解.
当，时，曲线方程可化为；
当，时，曲线方程可化为；
当，时，则，此时，曲线表示的图形不存在；
当，时，曲线方程可化为.
作出曲线的图象如下图所示：

双曲线、的渐近线方程均为，
令，其中点在曲线上，由图可知，，
当直线与椭圆相切，且切点位于第一象限时，取最大值，
由可得，
由，因为，解得，
所以，，则，即，
故的取值范围是.
故选：B.
13．ACD
设，，结合双曲线的定义与勾股定理可以求得的值，即可判断出A，B选项；再结合勾股定理可以求得的关系，再求出离心率；求直线的斜率，在直角三角形中，用斜率的定义求正切值可以求得直线的斜率.
如图，由，可设，.
因为，所以.
设，，则，，，解得，
则，，
所以，故A选项正确；，故B选项错误；
在中，由，得，则，
从而的离心率为，故C选项正确.
又，所以直线的斜率为，故D选项正确.
故选：ACD.
14． （或）
写出双曲线 的一条渐近线方程和一个焦点坐标，根据双曲线 的焦点到渐近线的距离为5，求得b即可.
解：双曲线 的一条渐近线方程为，一个焦点坐标为 ，
因为双曲线 的焦点到渐近线的距离为5，
所以，
解得
所以该双曲线的渐近线方程为y=
故答案为： （或）
15．
由题意可得，结合点P在双曲线上，可得，利用双曲线的x的范围可推出，再结合，即得答案.
设双曲线上的点满足，即 ，
即，
又，
，即，
，且，，
则，，
又，实数b的取值范围是，
故答案为：.
16．
先根据直线的交点结合两点间距离公式求出三角形的边长，再由三角形面积等于周长与内切圆半径的积的一半，计算求解即可.
双曲线C：的左焦点为，到渐近线的距离,
联立方程组，
解得
可得，
设的内切圆的半径为，在中，，
故答案为：.
17．(1)；
(2).
（1）设，求出直线，的斜率后利用点在双曲线上可求斜率的乘积；
（2）利用弦长公式可求.
（1）设，
由双曲线：可得，，
故，
即.
（2）直线，设
由可得，即，
故.
18．(1)
(2)
（1）利用渐近线方程、实轴长求出可得答案；
（2）设直线的方程为，与双曲线方程联立，利用韦达定理可得答案.
（1）因为双曲线的渐近线方程是，实轴长为2，
所以，，
所以双曲线的方程为；
（2）双曲线的渐近线方程为，由双曲线关于坐标轴的对称性可知，
若线段的中点为，则直线的斜率存在，
设为，且，，
可得直线的方程为，
与双曲线方程联立，
可得，
设，
则，
解得，经检验符合题意.
19．(1)
(2)16
（1）结合题意得出几何关系，由抛物线定义即可得解；
（2）一方面：设，，联立与抛物线的方程，由韦达定理得，设，，同理可得，，结合向量数量积的坐标运算、基本不等式即可得解.
（1）由题意，
如图， ∵，
∴，
又∵不在轴负半轴上，
∴与直线垂直，
又∵，
∴点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，
∴点的轨迹方程为.
（2）
由得，
∵与交于两点，
∴，
设，，则，
又∵，
∴，
∵的斜率为，
∴直线的方程为，
设，，同理得，，
∴
，
当且仅当即时取到“=”，
∴的最小值为16.
20．(1)
(2)证明见解析
（1）根据点到直线的距离公式可得，进而根据的关系即可求解，
（2）联立直线与双曲线的方程得韦达定理，根据两点坐标求解直线的方程，即可求解过定点.
（1）由题意，设右焦点的坐标为，
双曲线的渐近线方程为：，
右焦点到其中一条渐近线的距离为，可得，
又因为，解得，
故双曲线的标准方程为.
（2）当直线的斜率不为0时，设，则
联立方程组，得
整理得：.
，且
，,
，令得，
，
直线过定点.
当直线的斜率为0时，此时直线:，此时均在轴上，故直线过定点.
综上：直线过定点.
21．(1)；
(2)不存在，理由见解析；
(3)证明见解析
（1）根据题意列式求，进而可得双曲线方程；
（2）设，联立方程，利用韦达定理判断是否为零即可；
（3）用两点坐标表示出直线，得点坐标，表示出，结合韦达定理，证明为定值．
（1）由双曲线的离心率为，且在双曲线上，
可得，解得，所以双曲线的方程为．
（2）双曲线的左焦点为，
当直线的斜率为0时，此时直线为，与双曲线左支只有一个交点，不符合题意，
当直线的斜率不为0时，设，
由，消去得，
显然，，
设，则，得，
于是，
，
即，因此与不垂直，
所以不存在直线，使得点在以为直径的圆上．
（3）由直线，得，
则，又，
于是
，
而，即有，且，
所以，即为定值．
22．(1)
(2)，，
(3)直线PQ恒过定点为．
（1）根据所给条件得到关于、的方程组，解得即可；
（2）设（或），，则，表示出，，利用点在双曲线上得到，再由三点共线得到，，代入双曲线方程，整理可得；
（3）设，，则，即可得到、的方程，表示出、，根据对称性定点在轴上，利用特殊值求出定点坐标，再证明即可.
（1）依题意，解得，所以双曲线方程为；
（2）设（或），则，，，，
则，，所以，
又，即，
所以，
则，，
由，，三点共线得：；
又，，
由，，三点共线得：，
，，
，
，即，则，，
直线与直线的交点的轨迹的方程为，；
（3）设，，则，
直线：，即；
直线：，即．
由得，
所以，即，则，
同理，，
由对称性知，若过定点，则定点在轴上．
取，可得，，则直线PQ：，过点．
下证明直线恒过定点为．
由且得，
所以直线恒过定点为．
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