3.3.1 抛物线及其标准方程 同步巩固练 2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第一册
文档属性
| 名称 | 3.3.1 抛物线及其标准方程 同步巩固练 2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第一册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-03-13 17:29:18 | ||
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文档简介
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3.3.1 抛物线及其标准方程 同步巩固练
2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第一册
一、单选题
1．已知抛物线上的点到其焦点的距离为，则点的横坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．若圆与轴相切且与圆外切，则圆的圆心的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．已知，点是抛物线上的一点，点是圆上的一点，则的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
4．点是抛物线的焦点，直线为抛物线的准线，点为直线上一动点，点在以为圆心，为半径的圆上，点在抛物线上，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
5．设点F是抛物线的焦点，l是该抛物线的准线，过抛物线上一点A作准线的垂线AB，垂足为B，射线AF交准线l于点C，若，，则抛物线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知抛物线的焦点为F，准线为l，点A在抛物线C上，点B在准线l上，若是边长为2的等边三角形，则的值是（ ）.
A．1 B． C．2 D．
7．已知，C是抛物线上的三个点，F为焦点，，点C到x轴的距离为d，则的最小值为（ ）
A．10 B． C．11 D．
8．设抛物线上一点到轴的距离为，到直线的距离为，则的最小值为（ ）
A．3 B．2 C． D．5
二、多选题
9．以直线与坐标轴的交点为焦点的抛物线的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
10．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，若为坐标原点，则（ ）
A．点的坐标为 B．
C． D．
三、填空题
11．已知抛物线、分别是双曲线的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点，且与双曲线的一条渐近线交于点A，若，则b＝ .
12．抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，其上有一点，其到准线的距离为6，则 ．
13．设，点在轴上，点在轴上，且，，当点在轴上运动时，点的轨迹方程为 ．
14．有一个隧道内设双行线公路，其截面由一长方形和抛物线构成，如图所示.为了保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少为0.7m，若行车道总宽度为7.2m，则车辆通过隧道时的限制高度为 m.
四、解答题
15．已知抛物线C：的焦点F到准线的距离为2．
(1)求C的方程；
(2)已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足，求点Q的轨迹方程．
16．已知抛物线的焦点为，到双曲线的渐近线的距离为.
(1)求抛物线的标准方程；
(2)过动点作抛物线的切线（斜率不为0），切点为，求线段的中点的轨迹方程.
17．根据下列条件，求抛物线的标准方程：
(1)准线方程为；
(2)焦点在轴上且其到准线的距离为6；
(3)对称轴是轴，顶点到焦点的距离等于2；
(4)对称轴是轴，经过点．
18．在两个条件①点；②点中任选一个，补充在下面的问题中．已知抛物线的焦点为F，准线为l，点P在此抛物线上移动，求：
(1)点P到点F与它到________的距离之和的最小值；
(2)点P到点与它到准线l的距离之和的最小值；
(3)点P到直线与它到准线l的距离之和的最小值．
参考答案
1．C
利用抛物线的定义可求得点的横坐标.
设点的横坐标为，抛物线的标准方程为，该抛物线的准线方程为，
因为抛物线上的点到其焦点的距离为，则，解得.
故选：C.
2．C
设圆心坐标为，依题意可得，化简整理即可得解.
设圆心坐标为，依题意可得，化简得，
即圆的圆心的轨迹方程为.
故选：C
3．B
根据抛物线定义确定，分析出圆的圆心和半径，点是圆上的一点，则有,即，由此将求的最小值问题转化为求最小值问题，得出当且仅当、、三点共线时，取得最小值即可.
由题意知是抛物线的焦点，抛物线准线方程为：，过点
作垂直于准线，垂足为,即点到抛物线线的准线的距离为：；
圆是圆心为，半径的圆，根据抛物线定义有：
，因为点是圆上的一点,所以,
即,由此有：，
当且仅当、、三点共线时，取得最小值，
所以，
所以的最小值为6.
故选：B.
4．B
根据抛物线的定义可得，利用，从而得到，即可求解.
如图，过点P作于点N，根据抛物线的定义可得：，
所以，而
所以.
当且仅当点Q、点N、点M在同一条直线上时等号成立，所以有最大值1.
故选：B
5．B
根据已知条件，结合抛物线的定义及性质，即可求解.
解：由题意得：
，，，所以
可得，由抛物线的定义得
所以是等边三角形，所以，所以抛物线的方程是．
故选：B
6．A
利用抛物线定义可知，再由等边三角形的边长为2即可求得.
根据题意，易知，由抛物线定义可得，
设准线与l的交点为，如下图所示：
因此与平行，又是边长为2的等边三角形，
所以，即,
可得，即.
故选：A
7．B
由焦半径公式得到，从而得到，数形结合得到最小值.
因为M的准线方程为，
所以由抛物线焦半径公式得，
故，
所以
,
当且仅当C，D，F三点共线且C在线段DF上时，等号成立，
所以的最小值为．
故选：B
8．B
求出抛物线的焦点坐标及准线方程，利用抛物线定义及点到直线的距离公式求解即得.
抛物线的焦点，准线，
过点作于，垂直于直线于点，显然，
点到直线的距离，
则，
当且仅当点是点到直线的垂线段与抛物线的交点时取等号，
所以的最小值为2.
故选：B
9．BD
先求出直线与坐标轴的交点坐标，再得到抛物线方程.
直线与坐标轴的交点为，，
故以和为焦点的抛物线标准方程分别为和.
故选：BD.
10．BD
先求出抛物线的焦点坐标，再利用抛物线的定义结合已知可求出点的坐标，从而可得答案.
由题可知，
因为点在抛物线上，且，
所以，
解得，
所以，
故选：BD.
11．
根据题意可知，，根据题意，列出方程求解即可.
如图所示，因为抛物线所以，
因为抛物线的准线过双曲线的左焦点，所以，
所以，
又因为双曲线的一条渐近线，
所以，
因为，所以
即，化简得，
又因为，联立解得
故答案为：.
12．
由题意设抛物线的方程为，由条件得，进而可得抛物线的方程，把点坐标代入，可求得.
由题意焦点在x轴正半轴上，设抛物线的方程为，
∵准线方程为，点到准线的距离为6，
∴，∴，∴抛物线的方程为，
∵点在抛物线上，∴，∴.
故答案为：.
13．
设，，，根据可得，根据可得，代入即可得结果.
设，，，
则，，，
因为， 则，
又因为，则，即，
可得，即．
故点的轨迹方程是．
故答案为：.
14．3.8
由题意，建立平面直角坐标系，明确点的坐标，求出抛物线方程，可得答案.
由题意，如图建系：
则，，，，
如图可设，抛物线方程为，将代入，可得，求得，
故抛物线方程为，
将代入抛物线方程，可得，
.
故答案为：3.8.
15．(1)
(2)
（1）根据抛物线的定义求出，即可得解；
（2）根据，将点的坐标用的坐标表示，再根据点P在C上，代入即可得解.
（1）由抛物线的定义可知，焦点F到准线的距离为p，故，
所以C的方程为；
（2）由（1）知，设，，
则，，
因为，
所以，可得，
又点P在抛物线C上，所以，即，
化简得，
则点Q的轨迹方程为．
16．(1)
(2)
（1）首先求出双曲线的一条渐近线方程与抛物线的焦点坐标，利用点到直线的距离公式求出，即可得到抛物线方程；
（2）设过点与抛物线相切的直线方程为，联立直线与抛物线方程，消元，由得到，即可求出的坐标，从而表示出中点的坐标，即可得到其轨迹方程.
（1）解：双曲线的一条渐近线为，
又抛物线的焦点的坐标为，
由题可得：，解得，故抛物线方程为：.
（2）解：设过点与抛物线相切的直线方程为，
联立抛物线方程可得，
则，又，则，
所以，，
设点的坐标为，则，即，代入，
可得，又，故；
则点的轨迹方程为：.
17．(1)
(2)或
(3)或
(4)
根据题意结合抛物线的标准方程分析求解.
（1）因为抛物线的准线方程为，则，可得，
所以抛物线的方程是．
（2）因为焦点在轴上且其到准线的距离为6，可知，
所以抛物线的方程是或．
（3）因为对称轴是轴，顶点到焦点的距离等于2，可知，即，
所以抛物线的方程是或．
（4）因为对称轴是轴，设抛物线方程为，
因为抛物线经过点，可得，解得，
所以抛物线的方程是．
18．(1)答案见解析
(2)
(3)
（1）选①：因点在抛物线的内部，由抛物线的定义，点P到点F与它到点B的距离之和的最小值就是点B到准线l的距离，即可求出；选②：因点在抛物线外部，所以最小值就是点B到点F的距离，由两点距离公式即可求出；
（2）点P到点与它到准线l的距离之和的最小值即为的最小值，即为，由两点距离公式即可求出；
（3）点P到直线与它到准线l的距离之和的最小值，即为点F到直线的距离，由点到直线距离公式即可求得.
（1）因为抛物线的焦点F的坐标,准线l的方程为,
选①：因点在抛物线的内部，
根据抛物线的定义，点P到焦点F的距离即为点P到准线l的距离,
所以最小值就是点B到准线l的距离，
故最小值是；
选②：因点在抛物线外部，所以最小值就是点B到点F的距离，
故最小值是.
（2）
因为点在准线l上，
点P到准线l的距离即为点P到焦点F的距离，
所以点P到点与它到准线l的距离之和的最小值即为的最小值，
则最小值为.
（3）
点P到准线l的距离即为点P到焦点F的距离，
所以点P到直线与它到准线l的距离之和的最小值，
即为点F到直线的距离，由点到直线距离公式得
．
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3.3.1 抛物线及其标准方程 同步巩固练
2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第一册
一、单选题
1．已知抛物线上的点到其焦点的距离为，则点的横坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．若圆与轴相切且与圆外切，则圆的圆心的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．已知，点是抛物线上的一点，点是圆上的一点，则的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
4．点是抛物线的焦点，直线为抛物线的准线，点为直线上一动点，点在以为圆心，为半径的圆上，点在抛物线上，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
5．设点F是抛物线的焦点，l是该抛物线的准线，过抛物线上一点A作准线的垂线AB，垂足为B，射线AF交准线l于点C，若，，则抛物线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知抛物线的焦点为F，准线为l，点A在抛物线C上，点B在准线l上，若是边长为2的等边三角形，则的值是（ ）.
A．1 B． C．2 D．
7．已知，C是抛物线上的三个点，F为焦点，，点C到x轴的距离为d，则的最小值为（ ）
A．10 B． C．11 D．
8．设抛物线上一点到轴的距离为，到直线的距离为，则的最小值为（ ）
A．3 B．2 C． D．5
二、多选题
9．以直线与坐标轴的交点为焦点的抛物线的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
10．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，若为坐标原点，则（ ）
A．点的坐标为 B．
C． D．
三、填空题
11．已知抛物线、分别是双曲线的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点，且与双曲线的一条渐近线交于点A，若，则b＝ .
12．抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，其上有一点，其到准线的距离为6，则 ．
13．设，点在轴上，点在轴上，且，，当点在轴上运动时，点的轨迹方程为 ．
14．有一个隧道内设双行线公路，其截面由一长方形和抛物线构成，如图所示.为了保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少为0.7m，若行车道总宽度为7.2m，则车辆通过隧道时的限制高度为 m.
四、解答题
15．已知抛物线C：的焦点F到准线的距离为2．
(1)求C的方程；
(2)已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足，求点Q的轨迹方程．
16．已知抛物线的焦点为，到双曲线的渐近线的距离为.
(1)求抛物线的标准方程；
(2)过动点作抛物线的切线（斜率不为0），切点为，求线段的中点的轨迹方程.
17．根据下列条件，求抛物线的标准方程：
(1)准线方程为；
(2)焦点在轴上且其到准线的距离为6；
(3)对称轴是轴，顶点到焦点的距离等于2；
(4)对称轴是轴，经过点．
18．在两个条件①点；②点中任选一个，补充在下面的问题中．已知抛物线的焦点为F，准线为l，点P在此抛物线上移动，求：
(1)点P到点F与它到________的距离之和的最小值；
(2)点P到点与它到准线l的距离之和的最小值；
(3)点P到直线与它到准线l的距离之和的最小值．
参考答案
1．C
利用抛物线的定义可求得点的横坐标.
设点的横坐标为，抛物线的标准方程为，该抛物线的准线方程为，
因为抛物线上的点到其焦点的距离为，则，解得.
故选：C.
2．C
设圆心坐标为，依题意可得，化简整理即可得解.
设圆心坐标为，依题意可得，化简得，
即圆的圆心的轨迹方程为.
故选：C
3．B
根据抛物线定义确定，分析出圆的圆心和半径，点是圆上的一点，则有,即，由此将求的最小值问题转化为求最小值问题，得出当且仅当、、三点共线时，取得最小值即可.
由题意知是抛物线的焦点，抛物线准线方程为：，过点
作垂直于准线，垂足为,即点到抛物线线的准线的距离为：；
圆是圆心为，半径的圆，根据抛物线定义有：
，因为点是圆上的一点,所以,
即,由此有：，
当且仅当、、三点共线时，取得最小值，
所以，
所以的最小值为6.
故选：B.
4．B
根据抛物线的定义可得，利用，从而得到，即可求解.
如图，过点P作于点N，根据抛物线的定义可得：，
所以，而
所以.
当且仅当点Q、点N、点M在同一条直线上时等号成立，所以有最大值1.
故选：B
5．B
根据已知条件，结合抛物线的定义及性质，即可求解.
解：由题意得：
，，，所以
可得，由抛物线的定义得
所以是等边三角形，所以，所以抛物线的方程是．
故选：B
6．A
利用抛物线定义可知，再由等边三角形的边长为2即可求得.
根据题意，易知，由抛物线定义可得，
设准线与l的交点为，如下图所示：
因此与平行，又是边长为2的等边三角形，
所以，即,
可得，即.
故选：A
7．B
由焦半径公式得到，从而得到，数形结合得到最小值.
因为M的准线方程为，
所以由抛物线焦半径公式得，
故，
所以
,
当且仅当C，D，F三点共线且C在线段DF上时，等号成立，
所以的最小值为．
故选：B
8．B
求出抛物线的焦点坐标及准线方程，利用抛物线定义及点到直线的距离公式求解即得.
抛物线的焦点，准线，
过点作于，垂直于直线于点，显然，
点到直线的距离，
则，
当且仅当点是点到直线的垂线段与抛物线的交点时取等号，
所以的最小值为2.
故选：B
9．BD
先求出直线与坐标轴的交点坐标，再得到抛物线方程.
直线与坐标轴的交点为，，
故以和为焦点的抛物线标准方程分别为和.
故选：BD.
10．BD
先求出抛物线的焦点坐标，再利用抛物线的定义结合已知可求出点的坐标，从而可得答案.
由题可知，
因为点在抛物线上，且，
所以，
解得，
所以，
故选：BD.
11．
根据题意可知，，根据题意，列出方程求解即可.
如图所示，因为抛物线所以，
因为抛物线的准线过双曲线的左焦点，所以，
所以，
又因为双曲线的一条渐近线，
所以，
因为，所以
即，化简得，
又因为，联立解得
故答案为：.
12．
由题意设抛物线的方程为，由条件得，进而可得抛物线的方程，把点坐标代入，可求得.
由题意焦点在x轴正半轴上，设抛物线的方程为，
∵准线方程为，点到准线的距离为6，
∴，∴，∴抛物线的方程为，
∵点在抛物线上，∴，∴.
故答案为：.
13．
设，，，根据可得，根据可得，代入即可得结果.
设，，，
则，，，
因为， 则，
又因为，则，即，
可得，即．
故点的轨迹方程是．
故答案为：.
14．3.8
由题意，建立平面直角坐标系，明确点的坐标，求出抛物线方程，可得答案.
由题意，如图建系：
则，，，，
如图可设，抛物线方程为，将代入，可得，求得，
故抛物线方程为，
将代入抛物线方程，可得，
.
故答案为：3.8.
15．(1)
(2)
（1）根据抛物线的定义求出，即可得解；
（2）根据，将点的坐标用的坐标表示，再根据点P在C上，代入即可得解.
（1）由抛物线的定义可知，焦点F到准线的距离为p，故，
所以C的方程为；
（2）由（1）知，设，，
则，，
因为，
所以，可得，
又点P在抛物线C上，所以，即，
化简得，
则点Q的轨迹方程为．
16．(1)
(2)
（1）首先求出双曲线的一条渐近线方程与抛物线的焦点坐标，利用点到直线的距离公式求出，即可得到抛物线方程；
（2）设过点与抛物线相切的直线方程为，联立直线与抛物线方程，消元，由得到，即可求出的坐标，从而表示出中点的坐标，即可得到其轨迹方程.
（1）解：双曲线的一条渐近线为，
又抛物线的焦点的坐标为，
由题可得：，解得，故抛物线方程为：.
（2）解：设过点与抛物线相切的直线方程为，
联立抛物线方程可得，
则，又，则，
所以，，
设点的坐标为，则，即，代入，
可得，又，故；
则点的轨迹方程为：.
17．(1)
(2)或
(3)或
(4)
根据题意结合抛物线的标准方程分析求解.
（1）因为抛物线的准线方程为，则，可得，
所以抛物线的方程是．
（2）因为焦点在轴上且其到准线的距离为6，可知，
所以抛物线的方程是或．
（3）因为对称轴是轴，顶点到焦点的距离等于2，可知，即，
所以抛物线的方程是或．
（4）因为对称轴是轴，设抛物线方程为，
因为抛物线经过点，可得，解得，
所以抛物线的方程是．
18．(1)答案见解析
(2)
(3)
（1）选①：因点在抛物线的内部，由抛物线的定义，点P到点F与它到点B的距离之和的最小值就是点B到准线l的距离，即可求出；选②：因点在抛物线外部，所以最小值就是点B到点F的距离，由两点距离公式即可求出；
（2）点P到点与它到准线l的距离之和的最小值即为的最小值，即为，由两点距离公式即可求出；
（3）点P到直线与它到准线l的距离之和的最小值，即为点F到直线的距离，由点到直线距离公式即可求得.
（1）因为抛物线的焦点F的坐标,准线l的方程为,
选①：因点在抛物线的内部，
根据抛物线的定义，点P到焦点F的距离即为点P到准线l的距离,
所以最小值就是点B到准线l的距离，
故最小值是；
选②：因点在抛物线外部，所以最小值就是点B到点F的距离，
故最小值是.
（2）
因为点在准线l上，
点P到准线l的距离即为点P到焦点F的距离，
所以点P到点与它到准线l的距离之和的最小值即为的最小值，
则最小值为.
（3）
点P到准线l的距离即为点P到焦点F的距离，
所以点P到直线与它到准线l的距离之和的最小值，
即为点F到直线的距离，由点到直线距离公式得
．
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