3.3.2 抛物线的简单几何性质 同步巩固练 2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第一册
文档属性
| 名称 | 3.3.2 抛物线的简单几何性质 同步巩固练 2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第一册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1009.5KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-03-13 17:29:18 | ||
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文档简介
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3.3.2 抛物线的简单几何性质 同步巩固练
2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第一册
一、单选题
1．已知直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切
C．相离 D．相交或相切
2．若抛物线上的一点到它的焦点的距离为10，则（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
3．若抛物线上一点到其焦点的距离等于3，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知抛物线C的方程为，过点和点的直线l与抛物线C没有公共点，则实数t的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知双曲线E：，若抛物线的焦点到双曲线E的渐近线的距离为，过焦点倾斜角为的直线与抛物线交于A，B两点，则的值为（ ）
A． B． C．8 D．
6．已知直线与抛物线交于A，B两点，若D为线段AB的中点，O为坐标原点，则直线OD的斜率为（ ）
A． B． C． D．
7．过抛物线的焦点作直线，与交于两点（点在轴上方），与轴正半轴交于点，点是上不同于的点，且，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．已知抛物线上一定点和两个动点P、Q，当P在抛物线上运动时，，则Q点的横坐标的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
9．已知抛物线的焦点为，过的直线交于点，分别在点处作的两条切线，两条切线交于点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
11．对于抛物线上，下列描述正确的是（ ）
A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为
C．焦点到准线的距离为4 D．准线方程为
12．设抛物线C: 的焦点为F， 准线为. 点A，B是抛物线C上不同的两点，且，则（ ）
A． B．以线段为直径的圆必与准线相切
C．线段的长为定值 D．线段的中点 E 到准线的距离为定值
13．已知抛物线的焦点为F，过焦点F的直线l交抛物线于A，B两点（其中点A在x轴上方），则（ ）
A．
B．弦AB的长度最小值为l
C．以AF为直径的圆与y轴相切
D．以AB为直径的圆与抛物线的准线相切
三、填空题
14．过抛物线的焦点且倾斜角为的直线被抛物线截得的弦长为 .
15．已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，过F的直线交抛物线C于A，B两点，的中垂线分别交l与x轴于D，E两点（D，E在的两侧）.若四边形为菱形，则
四、解答题
16．已知抛物线的焦点为.
(1)求的值；
(2)过点的直线与抛物线交于，两个不同点，若的中点为，求的面积.
17．已知直线与抛物线相交于、两点.
(1)若直线过点，且倾斜角为，求的值；
(2)若直线过点，且弦恰被平分，求所在直线的方程.
18．在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线，已知动点到点的距离等于点到直线的距离，设点的轨迹为.
(1)过点且斜率为2的直线与曲线交于两个不同的点、，求线段的长；
(2)求曲线上的点到直线的最短距离.
19．已知是抛物线上一点，经过点的直线l与抛物线C交于A，B两点（不同于点E），直线分别交直线于点M，N．
(1)求抛物线方程及其焦点坐标；
(2)已知O为原点，求证：为定值．
20．已知斜率为的直线与抛物线相交于两点．
(1)求线段中点纵坐标的值；
(2)已知点，直线分别与抛物线相交于两点（异于）．求证：直线恒过定点，并求出该定点的坐标．
21．已知直线与抛物线C：交于A，B两点，分别过A，B两点作C的切线，两条切线的交点为D．
(1)证明点D在一条定直线上；
(2)过点D作y轴的平行线交C于点E，求面积的最小值．
参考答案
1．D
根据直线和抛物线只有一个公共点确定正确答案.
直线与抛物线的对称轴平行或与抛物线相切时有一个公共点，
所以D选项正确.
故选：D
2．B
根据抛物线的定义，建立方程，可得答案.
由抛物线上点到焦点的距离为，则点到抛物线的准线的距离为，
由抛物线，则其准线为直线，
所以，解得.
故选：B.
3．A
现根据题意，判断抛物线的开口方向，再结合抛物线的定义即可求解.
因抛物线上一点，所以，
因此抛物线的准线方程为：，
由抛物线上一点到其焦点的距离等于3，
故根据抛物线定义得：，解得.
故选：A.
4．A
首先求直线的方程，与抛物线方程联立，利用，即可求解的取值范围.
当时，直线，与抛物线有交点，所以，
设直线的方程为，
联立直线与抛物线方程，得，消元整理，得，
由于直线与抛物线无公共点，即方程无解，故有，解得或.
故选：A
5．A
分别求出抛物线标准方程和直线方程，联立消求的值，利用弦长公式，即可求得本题答案.
因为抛物线的焦点为，
双曲线E：其中一条渐近线方程为，
所以焦点到渐近线的距离，解得，
所以抛物线的标准方程为，
因为直线过焦点且倾斜角为，
所以直线方程为，
所以抛物线标准方程与直线方程联立消，得，
由韦达定理得，，
所以弦长.
故选：A
6．C
根据点差法以及两点斜率公式可得，即可求解.
设,则，相减得，
由于,所以，
所以,将其代入中可得，
所以 ,故,
故选：C
7．B
由题意，为的中点，两点在抛物线上，已知，可表示出点和点坐标，三点共线，可表示出坐标，由，解出的值.
因为，所以为的中点．
因为，所以，代入抛物线的方程可得，即，所以．
设，由，即，可得，即，
所以，解得．
故选：B
8．B
设出点的坐标，由，运算得解.
设，，
由题意直线的斜率均存在，
，化简得，
，即，
解得或.
故选：B.
9．C
设直线的方程为，，与抛物线联立可得，再利用求曲线上一点的切线方程得过与相切的直线方程，再利用两条直线的交点坐标得 ，再利用两点间的距离公式计算得结论.
显然直线的斜率存在，因此设直线的方程为，，
由得，因此，
故.
因为，所以过与相切的直线方程分别为：、，
因此由得，即，
所以
.
因为，所以，因此，
所以的取值范围是.
故选:C.
10．A
由得抛物线方程，在抛物线上求得坐标，再根据双曲线一条渐近线与直线平行可得答案.
根据题意，抛物线上一点到其焦点的距离为5，
则点到抛物线的准线的距离也为5，即，解得，
所以抛物线的方程为，则，所以，即M的坐标为，
又双曲线的左顶点，一条渐近线为，
而，由双曲线的一条渐近线与直线平行，则有，解得.
故选：A
11．ACD
化为标准方程后，得出焦参数，从而可得抛物线的性质，判断各选项．
由已知抛物线标准方程是，，，
所以焦点坐标为，开口方向向上，A正确，B错误；
焦点到准线的距离为，C正确；
准线方程是，D正确．
故选：ACD．
12．AD
根据给定条件，求出抛物线的方程，令，由已知结合抛物线的定义可得，计算判断AD；举例说明判断BC.
依题意，抛物线的焦点，方程为，则，A正确；
令，显然，即，
取，则，即点，此时，
以线段为直径的圆的圆心为，该圆心到准线的距离为4，不等于圆半径，
因此该圆与准线不相切，B错误；
以点为端点的线段长，当直线垂直于x轴时，，
此时，C错误；
线段的中点E的横坐标为3，点E到准线的距离为，D正确.
故选：AD
13．ACD
由弦长公式计算可得选项A、B；C、D选项，可以利用圆的性质，圆心到直线的距离等于半径判定直线与圆相切.
由题，焦点，设直线,
联立，
，
，
同理可得，，
，故A选项正确；
，故弦AB的长度最小值为4，B选项错误；
记中点，则点M到y轴的距离为，
由抛物线的性质，，所以以AF为直径的圆与y轴相切，故C选项正确；
，记中点，
则点N到抛物线的准线的距离，故以AB为直径的圆与抛物线的准线相切，D选项正确.
故选：ACD.
14．
写出直线方程，联立抛物线的方程，运用定义和焦点弦长公式，计算即可得到.
抛物线的焦点为，准线方程为，直线的倾斜角为，
设直线与抛物线交于两点，
则直线的方程为，代入得，
则，，，，，
则，
故答案为：
15．/
由抛物线定义及菱形性质得为等边三角形，联立直线与抛物线由焦点弦长公式直接求解.
由题意，四边形为菱形，则，且
由抛物线定义知：，故为等边三角形，
由对称性不妨设直线，
与联立得，
设，则，
故.
故答案为：
16．(1)2；
(2).
（1）解，即可得出答案；
（2）点差法求出直线的斜率，得到直线的方程，根据抛物线的定义求出，根据点到直线的距离公式求出点到直线的距离，即可求出面积.
（1）由已知可得，，所以.
（2）由（1）知，抛物线的方程为.
设，，则有，，显然，
两式作差可得，，即.
因为的中点为，所以，则，
即，所以直线斜率为，此时直线方程为，即.
联立与抛物线的方程可得，，
，直线与抛物线有两个交点，满足.
所以，直线方程为.
又，根据抛物线的定义可知.
点到直线的距离，
所以的面积.
17．(1)
(2)
（1）先求直线的方程，联立抛物线的方程，用弦长公式可得.
（2）可用点差法解决中点弦问题.
（1）因直线的倾斜角为，所以直线的斜率，
又因直线过点，
所以直线的方程为：，即，
联立得，
设，，
所以，，
所以
（2）因、在抛物线上，
所以，，
两式相减得：，
得，
故直线的斜率为4，
所以直线的方程为：，即
18．(1)
(2)
（1）由题意，根据抛物线的定义得到曲线的轨迹方程，设出直线的方程，将其与抛物线方程联立，结合韦达定理和抛物线定义进行求解即可；
（2）设抛物线上的点的坐标，利用点到直线的距离公式进行求解即可．
（1）已知动点到点的距离等于点到直线的距离，
所以曲线的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线，
其标准方程为①，
因为过点且斜率为2的直线与曲线交于两个不同的点、，
则直线的方程为②，
联立①②，消去并整理得，
设点，，由韦达定理得，
此时；
（2）不妨设点是抛物线上的点，
则点到直线的距离，
易知当时，，
故曲线上的点到直线的最短距离为．
19．(1)，焦点坐标为
(2)证明见解析
（1）由于在抛物线上，代入求解即可；
（2）设出直线的方程联立抛物线的方程，表示出点M，N的坐标，由，求证为定值即可.
（1）因为是抛物线上一点，
所以，即，所以抛物线方程为：，
其焦点坐标为：.
（2）证明：如图：
设，，，,
设直线l方程为，
直线l方程与抛物线方程联立得
消去，整理得：，恒成立.
则，，
又直线的方程为：，即.
令，得，则，
同理可得，
则，.
所以.
所以，即，为定值.
20．(1)
(2)证明见解析，定点的坐标为
（1）设，其中，利用点差法化简求出线段中点纵坐标的值；
（2）设，由直线过点，化简可得，同理可得，代入直线化简，可得定点的坐标．
（1）设，其中，
由，得，化简得，
，即，
线段中点纵坐标的值为；
（2）证明：设，
，
直线的方程为，化简可得，
在直线上，解得，
同理，可得，
，
，
又直线的方程为，即，
直线恒过定点．
21．(1)证明见解析
(2)
（1）设，，，利用导数的几何意义求出点处的切线方程，即可得到，同理，从而得到直线与直线是同一直线，即可求出，从而得解；
（2）由（1）知则为，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，即可表示出点坐标，即可得到为的中点，再用弦长公式表示出及到直线的距离，即可求出的最小值，即可得解.
（1）设，，，由得，则
在点处的切线方程为，
将代入上式得，
∴，
同理，
∴，两点都在直线上，所以直线与直线是同一直线，
∴，，即点在定直线上．
（2）由（1）可知，，即为，∴为，
将与联立得，
∴，，
∴线段的中点为，
∴，，三点共线，且为的中点．
∵，
到直线的距离，
∴（当时取等）
∵，
∴面积的最小值为．
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3.3.2 抛物线的简单几何性质 同步巩固练
2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第一册
一、单选题
1．已知直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切
C．相离 D．相交或相切
2．若抛物线上的一点到它的焦点的距离为10，则（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
3．若抛物线上一点到其焦点的距离等于3，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知抛物线C的方程为，过点和点的直线l与抛物线C没有公共点，则实数t的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知双曲线E：，若抛物线的焦点到双曲线E的渐近线的距离为，过焦点倾斜角为的直线与抛物线交于A，B两点，则的值为（ ）
A． B． C．8 D．
6．已知直线与抛物线交于A，B两点，若D为线段AB的中点，O为坐标原点，则直线OD的斜率为（ ）
A． B． C． D．
7．过抛物线的焦点作直线，与交于两点（点在轴上方），与轴正半轴交于点，点是上不同于的点，且，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．已知抛物线上一定点和两个动点P、Q，当P在抛物线上运动时，，则Q点的横坐标的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
9．已知抛物线的焦点为，过的直线交于点，分别在点处作的两条切线，两条切线交于点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
11．对于抛物线上，下列描述正确的是（ ）
A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为
C．焦点到准线的距离为4 D．准线方程为
12．设抛物线C: 的焦点为F， 准线为. 点A，B是抛物线C上不同的两点，且，则（ ）
A． B．以线段为直径的圆必与准线相切
C．线段的长为定值 D．线段的中点 E 到准线的距离为定值
13．已知抛物线的焦点为F，过焦点F的直线l交抛物线于A，B两点（其中点A在x轴上方），则（ ）
A．
B．弦AB的长度最小值为l
C．以AF为直径的圆与y轴相切
D．以AB为直径的圆与抛物线的准线相切
三、填空题
14．过抛物线的焦点且倾斜角为的直线被抛物线截得的弦长为 .
15．已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，过F的直线交抛物线C于A，B两点，的中垂线分别交l与x轴于D，E两点（D，E在的两侧）.若四边形为菱形，则
四、解答题
16．已知抛物线的焦点为.
(1)求的值；
(2)过点的直线与抛物线交于，两个不同点，若的中点为，求的面积.
17．已知直线与抛物线相交于、两点.
(1)若直线过点，且倾斜角为，求的值；
(2)若直线过点，且弦恰被平分，求所在直线的方程.
18．在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线，已知动点到点的距离等于点到直线的距离，设点的轨迹为.
(1)过点且斜率为2的直线与曲线交于两个不同的点、，求线段的长；
(2)求曲线上的点到直线的最短距离.
19．已知是抛物线上一点，经过点的直线l与抛物线C交于A，B两点（不同于点E），直线分别交直线于点M，N．
(1)求抛物线方程及其焦点坐标；
(2)已知O为原点，求证：为定值．
20．已知斜率为的直线与抛物线相交于两点．
(1)求线段中点纵坐标的值；
(2)已知点，直线分别与抛物线相交于两点（异于）．求证：直线恒过定点，并求出该定点的坐标．
21．已知直线与抛物线C：交于A，B两点，分别过A，B两点作C的切线，两条切线的交点为D．
(1)证明点D在一条定直线上；
(2)过点D作y轴的平行线交C于点E，求面积的最小值．
参考答案
1．D
根据直线和抛物线只有一个公共点确定正确答案.
直线与抛物线的对称轴平行或与抛物线相切时有一个公共点，
所以D选项正确.
故选：D
2．B
根据抛物线的定义，建立方程，可得答案.
由抛物线上点到焦点的距离为，则点到抛物线的准线的距离为，
由抛物线，则其准线为直线，
所以，解得.
故选：B.
3．A
现根据题意，判断抛物线的开口方向，再结合抛物线的定义即可求解.
因抛物线上一点，所以，
因此抛物线的准线方程为：，
由抛物线上一点到其焦点的距离等于3，
故根据抛物线定义得：，解得.
故选：A.
4．A
首先求直线的方程，与抛物线方程联立，利用，即可求解的取值范围.
当时，直线，与抛物线有交点，所以，
设直线的方程为，
联立直线与抛物线方程，得，消元整理，得，
由于直线与抛物线无公共点，即方程无解，故有，解得或.
故选：A
5．A
分别求出抛物线标准方程和直线方程，联立消求的值，利用弦长公式，即可求得本题答案.
因为抛物线的焦点为，
双曲线E：其中一条渐近线方程为，
所以焦点到渐近线的距离，解得，
所以抛物线的标准方程为，
因为直线过焦点且倾斜角为，
所以直线方程为，
所以抛物线标准方程与直线方程联立消，得，
由韦达定理得，，
所以弦长.
故选：A
6．C
根据点差法以及两点斜率公式可得，即可求解.
设,则，相减得，
由于,所以，
所以,将其代入中可得，
所以 ,故,
故选：C
7．B
由题意，为的中点，两点在抛物线上，已知，可表示出点和点坐标，三点共线，可表示出坐标，由，解出的值.
因为，所以为的中点．
因为，所以，代入抛物线的方程可得，即，所以．
设，由，即，可得，即，
所以，解得．
故选：B
8．B
设出点的坐标，由，运算得解.
设，，
由题意直线的斜率均存在，
，化简得，
，即，
解得或.
故选：B.
9．C
设直线的方程为，，与抛物线联立可得，再利用求曲线上一点的切线方程得过与相切的直线方程，再利用两条直线的交点坐标得 ，再利用两点间的距离公式计算得结论.
显然直线的斜率存在，因此设直线的方程为，，
由得，因此，
故.
因为，所以过与相切的直线方程分别为：、，
因此由得，即，
所以
.
因为，所以，因此，
所以的取值范围是.
故选:C.
10．A
由得抛物线方程，在抛物线上求得坐标，再根据双曲线一条渐近线与直线平行可得答案.
根据题意，抛物线上一点到其焦点的距离为5，
则点到抛物线的准线的距离也为5，即，解得，
所以抛物线的方程为，则，所以，即M的坐标为，
又双曲线的左顶点，一条渐近线为，
而，由双曲线的一条渐近线与直线平行，则有，解得.
故选：A
11．ACD
化为标准方程后，得出焦参数，从而可得抛物线的性质，判断各选项．
由已知抛物线标准方程是，，，
所以焦点坐标为，开口方向向上，A正确，B错误；
焦点到准线的距离为，C正确；
准线方程是，D正确．
故选：ACD．
12．AD
根据给定条件，求出抛物线的方程，令，由已知结合抛物线的定义可得，计算判断AD；举例说明判断BC.
依题意，抛物线的焦点，方程为，则，A正确；
令，显然，即，
取，则，即点，此时，
以线段为直径的圆的圆心为，该圆心到准线的距离为4，不等于圆半径，
因此该圆与准线不相切，B错误；
以点为端点的线段长，当直线垂直于x轴时，，
此时，C错误；
线段的中点E的横坐标为3，点E到准线的距离为，D正确.
故选：AD
13．ACD
由弦长公式计算可得选项A、B；C、D选项，可以利用圆的性质，圆心到直线的距离等于半径判定直线与圆相切.
由题，焦点，设直线,
联立，
，
，
同理可得，，
，故A选项正确；
，故弦AB的长度最小值为4，B选项错误；
记中点，则点M到y轴的距离为，
由抛物线的性质，，所以以AF为直径的圆与y轴相切，故C选项正确；
，记中点，
则点N到抛物线的准线的距离，故以AB为直径的圆与抛物线的准线相切，D选项正确.
故选：ACD.
14．
写出直线方程，联立抛物线的方程，运用定义和焦点弦长公式，计算即可得到.
抛物线的焦点为，准线方程为，直线的倾斜角为，
设直线与抛物线交于两点，
则直线的方程为，代入得，
则，，，，，
则，
故答案为：
15．/
由抛物线定义及菱形性质得为等边三角形，联立直线与抛物线由焦点弦长公式直接求解.
由题意，四边形为菱形，则，且
由抛物线定义知：，故为等边三角形，
由对称性不妨设直线，
与联立得，
设，则，
故.
故答案为：
16．(1)2；
(2).
（1）解，即可得出答案；
（2）点差法求出直线的斜率，得到直线的方程，根据抛物线的定义求出，根据点到直线的距离公式求出点到直线的距离，即可求出面积.
（1）由已知可得，，所以.
（2）由（1）知，抛物线的方程为.
设，，则有，，显然，
两式作差可得，，即.
因为的中点为，所以，则，
即，所以直线斜率为，此时直线方程为，即.
联立与抛物线的方程可得，，
，直线与抛物线有两个交点，满足.
所以，直线方程为.
又，根据抛物线的定义可知.
点到直线的距离，
所以的面积.
17．(1)
(2)
（1）先求直线的方程，联立抛物线的方程，用弦长公式可得.
（2）可用点差法解决中点弦问题.
（1）因直线的倾斜角为，所以直线的斜率，
又因直线过点，
所以直线的方程为：，即，
联立得，
设，，
所以，，
所以
（2）因、在抛物线上，
所以，，
两式相减得：，
得，
故直线的斜率为4，
所以直线的方程为：，即
18．(1)
(2)
（1）由题意，根据抛物线的定义得到曲线的轨迹方程，设出直线的方程，将其与抛物线方程联立，结合韦达定理和抛物线定义进行求解即可；
（2）设抛物线上的点的坐标，利用点到直线的距离公式进行求解即可．
（1）已知动点到点的距离等于点到直线的距离，
所以曲线的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线，
其标准方程为①，
因为过点且斜率为2的直线与曲线交于两个不同的点、，
则直线的方程为②，
联立①②，消去并整理得，
设点，，由韦达定理得，
此时；
（2）不妨设点是抛物线上的点，
则点到直线的距离，
易知当时，，
故曲线上的点到直线的最短距离为．
19．(1)，焦点坐标为
(2)证明见解析
（1）由于在抛物线上，代入求解即可；
（2）设出直线的方程联立抛物线的方程，表示出点M，N的坐标，由，求证为定值即可.
（1）因为是抛物线上一点，
所以，即，所以抛物线方程为：，
其焦点坐标为：.
（2）证明：如图：
设，，，,
设直线l方程为，
直线l方程与抛物线方程联立得
消去，整理得：，恒成立.
则，，
又直线的方程为：，即.
令，得，则，
同理可得，
则，.
所以.
所以，即，为定值.
20．(1)
(2)证明见解析，定点的坐标为
（1）设，其中，利用点差法化简求出线段中点纵坐标的值；
（2）设，由直线过点，化简可得，同理可得，代入直线化简，可得定点的坐标．
（1）设，其中，
由，得，化简得，
，即，
线段中点纵坐标的值为；
（2）证明：设，
，
直线的方程为，化简可得，
在直线上，解得，
同理，可得，
，
，
又直线的方程为，即，
直线恒过定点．
21．(1)证明见解析
(2)
（1）设，，，利用导数的几何意义求出点处的切线方程，即可得到，同理，从而得到直线与直线是同一直线，即可求出，从而得解；
（2）由（1）知则为，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，即可表示出点坐标，即可得到为的中点，再用弦长公式表示出及到直线的距离，即可求出的最小值，即可得解.
（1）设，，，由得，则
在点处的切线方程为，
将代入上式得，
∴，
同理，
∴，两点都在直线上，所以直线与直线是同一直线，
∴，，即点在定直线上．
（2）由（1）可知，，即为，∴为，
将与联立得，
∴，，
∴线段的中点为，
∴，，三点共线，且为的中点．
∵，
到直线的距离，
∴（当时取等）
∵，
∴面积的最小值为．
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