2.3.1 两条直线的交点坐标 同步巩固练 2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第一册
文档属性
| 名称 | 2.3.1 两条直线的交点坐标 同步巩固练 2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第一册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 634.0KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-03-13 17:29:18 | ||
图片预览
文档简介
中小学教育资源及组卷应用平台
2.3.1 两条直线的交点坐标 同步巩固练
2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第一册
一、单选题
1．直线与的交点坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．已知直线与射线恒有公共点，则m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．若直线与直线的交点为，则实数a的值为（ ）
A．-1 B． C．1 D．2
4．若直线和直线的交点在第二象限，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知直线过直线和直线的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线的方程为（ ）
A．
B．或
C．或
D．或
6．经过直线和的交点，且在两坐标轴上的截距之和为0的直线方程为（ ）
A． B．
C．或 D．或
二、多选题
7．已知三条直线，，能构成三角形，则实数m的取值可能为（ ）
A．2 B． C． D．
8．已知集合，，则下列结论正确的是（ ）
A．， B．当时，
C．当时， D．，使得
9．【多选】若直线与直线的交点在第四象限，则实数的取值可以是（ ）
A．0 B． C． D．
三、填空题
10．已知关于的方程组有唯一解，则实数的取值范围是 .
11．关于x y的二元一次方程组有无穷多组解，则a与b的积是 .
12．若直线l经过两直线和的交点，且斜率为，则直线l的方程为 ．
13．若三条直线与能围成一个直角三角形，则 ．
四、解答题
14．已知两直线和的交点为P．求：
(1)过点P与的直线方程；
(2)过点P且与直线平行的直线方程．
15．已知直线的方程为，若直线在轴上的截距为，且．
(1)求直线和的交点坐标；
(2)已知直线经过与的交点，且与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积为，求直线的方程．
16．已知三条直线，，.
（1）若直线，，交于一点，求实数的值；
（2）若直线，，不能围成三角形，求实数的值.
17．数学家欧拉在年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线．在中，已知，，若其欧拉线的方程为．求：
(1)外心的坐标；
(2)重心的坐标；
(3)垂心的坐标．
18．用坐标法解答以下问题，如图，已知矩形中，，，分别为的中点，为延长线上一点，________.
从①②中任选其一，补充在横线中并作答，如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分，
①连接并延长交于点，求证：；
②取上一点，使得，求证：三点共线.
参考答案
1．B
联立方程组可解得答案.
联立方程组，解得，
所以两直线的交点坐标为.
故选：B.
2．C
根据题意联立方程得，再解不等式即可得答案；
联立，得，
∵直线与射线恒有公共点，
∴，
解得.
∴m的取值范围是.
故选：C.
3．A
由题意可列方程，解方程即可得出答案.
直线与直线的交点为，
所以.
故选：A.
4．D
联立两直线方程求出交点，即可根据第二象限的特征求解.
,
所以交点为,由于在第二象限，所以，
所以的取值范围为，
故选：D
5．C
先求得两直线的交点坐标，根据题意，分直线与两坐标轴的截距不为和直线在两坐标轴的截距等于，两种情况讨论，即可求解.
由方程组，解得，所以两直线的交点坐标为，
因为直线在两坐标轴上的截距互为相反数，
当直线与两坐标轴的截距不为时，可设直线的方程为，
因为直线过两直线的交点，代入可得，
所以直线的方程为；
当直线在两坐标轴的截距等于时，设直线的方程为，
因为直线过两直线的交点，代入可得，即直线的方程为，
综上可得，直线的方程为或.
故选：C.
6．C
先求直线和的交点，设所求直线方程为，可得在x，y轴上的截距，结合题意列式求解即可.
联立方程，解得，
所以直线和的交点为，
由题意可知所求直线的斜率存在且不为0，设为，
可知所求直线方程为，
令，可得；令，可得；
可知直线在x，y轴上的截距分别为，，
由题意可得，整理得，解得或，
所以所求直线方程为或.
故选：C.
7．AD
因为三条直线，，能构成三角形，所以直线与或都不平行，且直线不过与的交点，进而即可求得实数m的取值，从而可得结果．
因为三条直线，，能构成三角形，
所以直线与，都不平行，
且直线不过与的交点，
直线与，都不平行时，，且，
联立，解得，
即直线与的交点坐标为，
代入直线中，得，故可知，
结合选项可知实数m的取值可以为2或，
故选：AD
8．AB
对于A：根据直线方程分析判断；对于B：根据题意求直线交点即可；对于C：根据空集的定义结合直线平行运算求解；对于D：根据直线重合分析求解.
对于选项A：因为表示过定点，且斜率不为0的直线，
可知表示直线上所有的点，
所以，故A正确；
对于选项B：当时，则，，
联立方程，解得，所以，B正确；
对于选项C：当时，则有：
若，则；
若，可知直线与直线平行，且，
可得，解得；
综上所述：或，故C错误；
对于选项D：若，由选项C可知，且，无解，故D错误．
故选：AB．
9．AC
联立直线方程，求出交点坐标，根据交点所在象限列出不等式组即可求解.
由，解得，
由两直线的交点在第四象限，得，解得，
所以实数的取值可以是0，，AC正确；BD错误.
故选：AC
10．m≠4
把给出的方程组中的两个方程看作两条直线，化为斜截式，由斜率不等即可解得答案．
方程组的两个方程对应两条直线，方程组的解就是两直线的交点，
由mx+4y﹣2＝0，得y，此直线的斜率为．
由x+y﹣1＝0，得y＝﹣x+1，此直线的斜率为﹣1．
若方程组有唯一解，
则两直线的斜率不等，即，
∴m≠4．
故答案为m≠4．
11．-35
由x y的二元一次方程组有无穷多组解，则直线与直线重合求解.
因为x y的二元一次方程组有无穷多组解，
所以直线与直线重合，
所以，解得，
所以 ，
故答案为：-35
12．
先设经过交点的直线系，应用斜率求出参数即可得直线方程.
设直线l的方程为（其中为常数），即 ①．
又直线l的斜率为，则，解得．
将代入①式并整理，得，此即所求直线l的方程．
故答案为：.
13．或1
由三条直线两两垂直，即两直线的斜率之积为，求解即可.
显然，3x-y+1=0，x+y+3=0有交点，
若与垂直，则；
若与垂直，则．所以或1．
故答案为：或1
14．(1)
(2)
（1）设出过直线和交点的直线方程，把点代入方程求出参数，再化简即可求出所求直线.
（2）由两直线平行的性质，列方程求出对应的参数，再化简即可求出所求直线.
（1）设过直线和交点的直线方程为，即．①
把点代入方程①，化简得，解得，
所以过点P与Q的直线方程为，即．
（2）由两直线平行，得，得，
所以所求直线的方程为，即．
15．(1)；
(2)或.
（1）由，可得直线的斜率，从而可得，联立方程组即可求得交点；
（2）由题意知的斜率k存在，设，求得与坐标轴的交点坐标，再结合面积公式即可求解.
（1）（1）因为，又直线的斜率,
所以直线的斜率,则.
由
所以直线和的交点坐标为.
（2）由题意知的斜率k存在，设
令得，令得，
因为直线与两坐标轴的正半轴相交，所以，解得，
，解得或，
即或.
16．（1）或；（2）或或4或.
（1）联立方程组即可求出；
（2）根据题意可知直线交于一点或有两条直线平行，则可求解.
（1）∵直线，，交于一点，
∴与不平行，∴，
由，得，
即与的交点为，
代入的方程，得，
解得或.
（2）若，，交于一点，则或；
若，则；
若，则；
若，则不存在满足条件的实数.
综上，可得或或4或.
17．(1)
(2)
(3)
（1）将直线垂直平分线方程与欧拉线方程联立即可解得外心坐标；
（2）设，由此可得重心坐标，将其代入欧拉线可得关于方程；由可得关于的另一方程，由此联立可得的值，进而得到重心坐标；
（3）将边上的高所在直线方程与欧拉线方程联立即可解得垂心坐标.
（1）中点为且，垂直平分线方程为：，
即，
由得：，即外心.
（2）设，则重心，
将代入欧拉线得：，即…①；
由得：…②；
由①②得：或（与重合，不合题意），
，重心.
（3）由（2）知：；由（1）知：，
边的高所在直线方程为：，即；
由得：，垂心.
18．答案见解析
以为原点，的方向为轴正方向建立平面直角坐标系.
选①，设，联立直线与直线得Q，通过证；
选②，设，由得，可得直线方程，可得P坐标，最后证明三点共线
以为原点，的方向为轴正方向建立平面直角坐标系.
图中直线的方程为.
选择①：设，则直线的方程为，
联立，得.
所以；
又，所以.
所以.
选择②：设，则.
因为，所以.
所以直线的方程为，所以.
所以，所以三点共线.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
2.3.1 两条直线的交点坐标 同步巩固练
2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第一册
一、单选题
1．直线与的交点坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．已知直线与射线恒有公共点，则m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．若直线与直线的交点为，则实数a的值为（ ）
A．-1 B． C．1 D．2
4．若直线和直线的交点在第二象限，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知直线过直线和直线的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线的方程为（ ）
A．
B．或
C．或
D．或
6．经过直线和的交点，且在两坐标轴上的截距之和为0的直线方程为（ ）
A． B．
C．或 D．或
二、多选题
7．已知三条直线，，能构成三角形，则实数m的取值可能为（ ）
A．2 B． C． D．
8．已知集合，，则下列结论正确的是（ ）
A．， B．当时，
C．当时， D．，使得
9．【多选】若直线与直线的交点在第四象限，则实数的取值可以是（ ）
A．0 B． C． D．
三、填空题
10．已知关于的方程组有唯一解，则实数的取值范围是 .
11．关于x y的二元一次方程组有无穷多组解，则a与b的积是 .
12．若直线l经过两直线和的交点，且斜率为，则直线l的方程为 ．
13．若三条直线与能围成一个直角三角形，则 ．
四、解答题
14．已知两直线和的交点为P．求：
(1)过点P与的直线方程；
(2)过点P且与直线平行的直线方程．
15．已知直线的方程为，若直线在轴上的截距为，且．
(1)求直线和的交点坐标；
(2)已知直线经过与的交点，且与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积为，求直线的方程．
16．已知三条直线，，.
（1）若直线，，交于一点，求实数的值；
（2）若直线，，不能围成三角形，求实数的值.
17．数学家欧拉在年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线．在中，已知，，若其欧拉线的方程为．求：
(1)外心的坐标；
(2)重心的坐标；
(3)垂心的坐标．
18．用坐标法解答以下问题，如图，已知矩形中，，，分别为的中点，为延长线上一点，________.
从①②中任选其一，补充在横线中并作答，如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分，
①连接并延长交于点，求证：；
②取上一点，使得，求证：三点共线.
参考答案
1．B
联立方程组可解得答案.
联立方程组，解得，
所以两直线的交点坐标为.
故选：B.
2．C
根据题意联立方程得，再解不等式即可得答案；
联立，得，
∵直线与射线恒有公共点，
∴，
解得.
∴m的取值范围是.
故选：C.
3．A
由题意可列方程，解方程即可得出答案.
直线与直线的交点为，
所以.
故选：A.
4．D
联立两直线方程求出交点，即可根据第二象限的特征求解.
,
所以交点为,由于在第二象限，所以，
所以的取值范围为，
故选：D
5．C
先求得两直线的交点坐标，根据题意，分直线与两坐标轴的截距不为和直线在两坐标轴的截距等于，两种情况讨论，即可求解.
由方程组，解得，所以两直线的交点坐标为，
因为直线在两坐标轴上的截距互为相反数，
当直线与两坐标轴的截距不为时，可设直线的方程为，
因为直线过两直线的交点，代入可得，
所以直线的方程为；
当直线在两坐标轴的截距等于时，设直线的方程为，
因为直线过两直线的交点，代入可得，即直线的方程为，
综上可得，直线的方程为或.
故选：C.
6．C
先求直线和的交点，设所求直线方程为，可得在x，y轴上的截距，结合题意列式求解即可.
联立方程，解得，
所以直线和的交点为，
由题意可知所求直线的斜率存在且不为0，设为，
可知所求直线方程为，
令，可得；令，可得；
可知直线在x，y轴上的截距分别为，，
由题意可得，整理得，解得或，
所以所求直线方程为或.
故选：C.
7．AD
因为三条直线，，能构成三角形，所以直线与或都不平行，且直线不过与的交点，进而即可求得实数m的取值，从而可得结果．
因为三条直线，，能构成三角形，
所以直线与，都不平行，
且直线不过与的交点，
直线与，都不平行时，，且，
联立，解得，
即直线与的交点坐标为，
代入直线中，得，故可知，
结合选项可知实数m的取值可以为2或，
故选：AD
8．AB
对于A：根据直线方程分析判断；对于B：根据题意求直线交点即可；对于C：根据空集的定义结合直线平行运算求解；对于D：根据直线重合分析求解.
对于选项A：因为表示过定点，且斜率不为0的直线，
可知表示直线上所有的点，
所以，故A正确；
对于选项B：当时，则，，
联立方程，解得，所以，B正确；
对于选项C：当时，则有：
若，则；
若，可知直线与直线平行，且，
可得，解得；
综上所述：或，故C错误；
对于选项D：若，由选项C可知，且，无解，故D错误．
故选：AB．
9．AC
联立直线方程，求出交点坐标，根据交点所在象限列出不等式组即可求解.
由，解得，
由两直线的交点在第四象限，得，解得，
所以实数的取值可以是0，，AC正确；BD错误.
故选：AC
10．m≠4
把给出的方程组中的两个方程看作两条直线，化为斜截式，由斜率不等即可解得答案．
方程组的两个方程对应两条直线，方程组的解就是两直线的交点，
由mx+4y﹣2＝0，得y，此直线的斜率为．
由x+y﹣1＝0，得y＝﹣x+1，此直线的斜率为﹣1．
若方程组有唯一解，
则两直线的斜率不等，即，
∴m≠4．
故答案为m≠4．
11．-35
由x y的二元一次方程组有无穷多组解，则直线与直线重合求解.
因为x y的二元一次方程组有无穷多组解，
所以直线与直线重合，
所以，解得，
所以 ，
故答案为：-35
12．
先设经过交点的直线系，应用斜率求出参数即可得直线方程.
设直线l的方程为（其中为常数），即 ①．
又直线l的斜率为，则，解得．
将代入①式并整理，得，此即所求直线l的方程．
故答案为：.
13．或1
由三条直线两两垂直，即两直线的斜率之积为，求解即可.
显然，3x-y+1=0，x+y+3=0有交点，
若与垂直，则；
若与垂直，则．所以或1．
故答案为：或1
14．(1)
(2)
（1）设出过直线和交点的直线方程，把点代入方程求出参数，再化简即可求出所求直线.
（2）由两直线平行的性质，列方程求出对应的参数，再化简即可求出所求直线.
（1）设过直线和交点的直线方程为，即．①
把点代入方程①，化简得，解得，
所以过点P与Q的直线方程为，即．
（2）由两直线平行，得，得，
所以所求直线的方程为，即．
15．(1)；
(2)或.
（1）由，可得直线的斜率，从而可得，联立方程组即可求得交点；
（2）由题意知的斜率k存在，设，求得与坐标轴的交点坐标，再结合面积公式即可求解.
（1）（1）因为，又直线的斜率,
所以直线的斜率,则.
由
所以直线和的交点坐标为.
（2）由题意知的斜率k存在，设
令得，令得，
因为直线与两坐标轴的正半轴相交，所以，解得，
，解得或，
即或.
16．（1）或；（2）或或4或.
（1）联立方程组即可求出；
（2）根据题意可知直线交于一点或有两条直线平行，则可求解.
（1）∵直线，，交于一点，
∴与不平行，∴，
由，得，
即与的交点为，
代入的方程，得，
解得或.
（2）若，，交于一点，则或；
若，则；
若，则；
若，则不存在满足条件的实数.
综上，可得或或4或.
17．(1)
(2)
(3)
（1）将直线垂直平分线方程与欧拉线方程联立即可解得外心坐标；
（2）设，由此可得重心坐标，将其代入欧拉线可得关于方程；由可得关于的另一方程，由此联立可得的值，进而得到重心坐标；
（3）将边上的高所在直线方程与欧拉线方程联立即可解得垂心坐标.
（1）中点为且，垂直平分线方程为：，
即，
由得：，即外心.
（2）设，则重心，
将代入欧拉线得：，即…①；
由得：…②；
由①②得：或（与重合，不合题意），
，重心.
（3）由（2）知：；由（1）知：，
边的高所在直线方程为：，即；
由得：，垂心.
18．答案见解析
以为原点，的方向为轴正方向建立平面直角坐标系.
选①，设，联立直线与直线得Q，通过证；
选②，设，由得，可得直线方程，可得P坐标，最后证明三点共线
以为原点，的方向为轴正方向建立平面直角坐标系.
图中直线的方程为.
选择①：设，则直线的方程为，
联立，得.
所以；
又，所以.
所以.
选择②：设，则.
因为，所以.
所以直线的方程为，所以.
所以，所以三点共线.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)