2.3.2 两点间的距离公式 同步巩固练 2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第一册

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2.3.2 两点间的距离公式 同步巩固练
2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第一册
一、单选题
1．已知三点，且，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
2．已知过两点的直线的倾斜角是，则两点间的距离为（ ）
A． B． C． D．
3．著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为点到点的距离，则的最小值为（ ）．
A．3 B． C． D．
4．设点A,B在曲线上．若的中点坐标为，则（ ）
A．6 B． C． D．
5．设，为平面直角坐标系上的两点，其中，，，均为整数.若，则称点为点的“相关点”.已知点是坐标原点的“相关点”，点是点的“相关点”，点是点的“相关点”，……，依此类推，点是点的“相关点”.注：点，间的距离则点与点间的距离最小值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
6．已知点，直线，点在直线上，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．2
二、多选题
7．一条光线从点射出，射向点，经x轴反射后过点，则下列结论正确的是（ ）
A．直线AB的斜率是 B．
C． D．
8．已知顶点坐标是，则下列结论正确的是（ ）
A．若为直角三角形，则或 B．若为锐角三角形，则
C．若为钝角三角形，则或 D．若为等腰三角形，则
三、填空题
9．在平面直角坐标系内，O为坐标原点，对于任意两点，定义它们之间的“曼哈顿距离”为，以对于平面上任意一点P，若，则动点P的轨迹长度为 ．
10．已知点，P为x轴上的一点，且点P与点A的距离等于13，则点P的坐标为 ．
11．已知，为实数，代数式的最小值是 .
12．设，过定点A的直线和过定点B的直线交于点P，则的最大值为 ．
13．已知函数与函数的图象交于三点，则此三点中最远的两点间的距离为 .
14．函数的最小值是 .
四、解答题
15．已知直线：，直线过点，且于点.
(1)求直线的方程；
(2)若直线与轴相交于点，求的面积.
16．在等腰直角三角形中，，点是边上异于的一点，光线从点出发，经反射后又回到原点，光线经过的重心．

(1)建立适当的坐标系，请求的重心的坐标；
(2)求点的坐标；
(3)求的周长．
17．如图，已知直线，直线，C是夹在两直线中的动点，过点C作任意直线交于点A，交于点B，且都满足．
(1)求动点C的轨迹方程；
(2)已知点，是否存在点C，使得﹖若存在，求出点C的坐标、若不存在，说明理由．
18．设直线l的方程为（）.
（1）若直线不经过第三象限，求的取值范围；
（2）若直线l分别与x轴正半轴，y轴正半轴交于两点，当面积取得最小值时，求的周长.
19．在中，已知点
(1)在边上是否存在一点，使，若存在，求的值；若不存在，说明理由
(2)求的面积.
参考答案
1．A
直接利用两点间的距离公式列方程计算即可
由两点间的距离公式，及可得：，解得.
故选：A
2．C
利用倾斜角求出，然后利用两点间距离公式即可得出答案.
由题知，，
解得，故，
则两点间的距离为.
故选：C
3．D
把目标式进行转化，看作动点到两个定点距离和的最值，利用对称性可得答案.
,
可以看作点到点的距离之和，
作点关于轴的对称点，显然当三点共线时，取到最小值，
最小值为间的距离.
故选：D.
4．B
设，根据题意，利用对数的运算，求得的值，结合两点间的距离公式，即可求解.
设，
因为的中点坐标为，可得，
整理得，解得或，
不妨设，所以.
故选：B.
5．B
因为“相关点”的关系都是相互的，所以当n为偶数时，回到最初点，
即回到，再按照题意求解点O与点距离最小即可
根据题意，由于“相关点”的关系都是相互的，所以当，时，
点与点间的距离最小值为0，所以点又回到最初位置，坐标为，
然后根据式子，经过三次变换：，，
，又因为，，，均为整数，所以点与点间的距离最小值为1，
故选：B
6．C
根据题意，作出点(或点)关于直线的对称点（），作直线（）与直线相交，则交点则就是使取最大值的点,求出点（点）坐标，即得最大距离即（）.
如图，作出点关于直线的对称点，连接延长交直线于点,此时点使取得最大值.
(原因如下：根据点关于直线的对称图形特征，知,此时,
在直线上另取点,连接,则,)
不妨设点，则有：解得：即,
故
故选：C.
7．ABD
选项A应用斜率公式计算即可；选项B，先求得点关于轴的对称点，进而求得反射光线所在直线的斜率，应用两条直线垂直的斜率公式判断即可；选项C，求得反射光线所在直线的方程，进而求得点的坐标；选项D应用两点间距离公式求解即可.
对于A，由于、，由斜率公式得：，选项A正确；
对于B，点关于轴的对称点的坐标为，经x轴反射后直线的斜率为：
，且，所以，选项B正确；
对于C，直线即直线的方程为：，即，
将代入得：，所以点，，选项C不正确；
对于D，由两点间距离公式得：，选项D正确；
故选：ABD.
8．AB
画出图像，逐一分析，即可.
解：如图所示，
当点与D、F重合时，为直角三角形，此时或，故A对，
当点介于D、F之间时，为锐角三角形，此时，故B对，
当点于位于D点左侧且不与B点重合时，为钝角三角形，此时且，故C错误，
当点与E、F、G重合时，为等腰三角形，此时或，故D错误，
故选：AB.
9．
由题意得点的轨迹方程，发现它的轨迹是正方形，只需求出一条边的距离即可.
由题意设，则，用分别用依次代入该方程，发现该方程不变，
所以曲线的图象关于坐标轴以及坐标原点对称，
不妨设，此时即，它与坐标轴的两个交点坐标为，
它们的距离为，
所以由对称性得动点P的轨迹长度为.
故答案为：.
10．或
根据题意设，再利用两点间的距离公式即可求出的值，从而得到点的坐标．
点在轴上，设，
点与点的距离等于13，
，解得或，
点的坐标为或，
故答案为：或．
11．10
根据两点间距离公式的几何意义，将代数问题转化为几何问题可得到答案.
设点，
则
，
当且仅当分别为连线与两坐标轴的交点时，等号成立.
故答案为：10.
12．
结合题意，先算出定点的坐标，然后根据斜率关系找到两直线垂直，得到，最后利用三角恒等变换算出的最大值即可.
因为直线可化为，所以该直线过定点，
因为直线可化为，所以该直线过定点，
又因为对任意，，
所以直线与直线垂直，
又因为直线与直线相交于点,
所以.
记,则，
所以其中，
当且仅当时，有最大值为.
故答案为：.
13．
由题意可得，三个交点中一个必是点，另外两个点关于点对称．不妨记，设，由求得，所以此三点中最远的两点间的距离为．
不妨记，
函数与是奇函数且关于坐标原点对称，
易知两个函数的图象均以点为对称中心，
所以三个交点中一个必是点，另外两个点关于点对称．
不妨记，设，所以，
即，解得，，
则，
所以此三点中最远的两点间的距离为．
故答案为：．
14．
由函数的几何意义为点至和的距离之和，结合图形即可求得.
函数，
即为点至和的距离之和，
点关于轴对称的点为，
所以,
由图形易得最小值为.
故答案为: .
15．(1)
(2)
（1）由，可得直线l的斜率，利用点斜式即可求得直线l的方程；
（2）求出点B和H的坐标，由，，利用两点间距离公式解出和即可．
（1）直线：的斜率为，
因为，所以直线l的斜率为2，又直线l过点，
所以直线l的方程为，即．
（2）由，解得，
可得点H的坐标为，
直线：，令，则，所以，
，，
，则，.
16．(1)建立坐标系见解析，
(2)
(3)
（1）建立坐标系，确定三角形顶点坐标，即可求得答案；
（2）设，P关于直线的对称点分别设为，表示出坐标，根据光线反射原理可知共线，结合重心坐标求得答案；
（3）根据对称知识可知的周长即为，利用两点间距离公式可求得答案.
（1）以A为坐标原点，以为轴建立平面直角坐标系，
则，
故的重心的坐标为，即；

（2）设，P关于直线的对称点分别设为，
则，设，
直线的方程为，则，
解得，即，
由光的反射原理可知共线，且光线经过的重心，
故，解得或（舍去），
故；
（3）由（2）可得，
由题意可知，
故的周长
.
17．(1)
(2)存在点C，使得，且或.
（1）设，，由题意可得，代入消去可得动点C的轨迹方程；
（2）设，，解方程即可得出答案.
（1）因为分别在直线和直线上，
所以设，
设，因为，所以，
而，
所以，即
消去可得：.
所以动点C的轨迹方程为：.
（2）由（1）知，在直线上，
可设，而，
则，则，
解得：或.
当时，，
当时，.
故存在点C，使得，且或.
18．（1）；（2）.
（1）写出直线的斜截式，通过直观想象，利用斜率和纵截距的符号得到答案；
（2）根据题意求出A,B的坐标，进而求出三角形面积，然后结合基本不等式求出面积的最小值，最后求出周长.
（1）由题意，，根据题意， ，解得，所以实数的取值范围是.
（2）由题意，，
当时，有， 当时，，即，，
所以
，
当且仅当，即时，三角形的面积最小，此时，，
所以这时周长为.
19．(1),
(2)
（1）求出的方程，求解的方程，联立方程组求解的坐标，然后求解的值；
(2）求解 ,，然后求解三角形的面积.
（1）
,的斜率为：,,
所以的斜率为：,
所以的方程为：, 的方程,
,
解,
, ,
（2）的面积：
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