2.3.3 点到直线的距离公式 同步巩固练 2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第一册
文档属性
| 名称 | 2.3.3 点到直线的距离公式 同步巩固练 2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第一册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 782.4KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-03-13 17:29:18 | ||
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文档简介
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2.3.3 点到直线的距离公式 同步巩固练
2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第一册
一、单选题
1．定义点P(x0，y0)到直线l：ax＋by＋c＝0(a2＋b2≠0)的有向距离为.已知点P1，P2到直线l的有向距离分别是d1，d2.以下命题正确的是（ ）
A．若d1＝d2＝1，则直线P1P2与直线l平行
B．若d1＝1，d2＝－1，则直线P1P2与直线l垂直
C．若d1＋d2＝0，则直线P1P2与直线l垂直
D．若d1·d2≤0，则直线P1P2与直线l相交
2．设m，，若直线l：与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且坐标原点O到直线l的距离为，则的面积S的最小值为
A． B．2 C．3 D．4
3．已知过点的直线，且点与点到直线l的距离相等，则直线的方程为（ ）
A． B．
C．或 D．或
4．点为两条直线和的交点，则点到直线：的距离最大为（ ）
A． B． C． D．5
5．点为y轴上一点，且点到直线的距离等于1，则点P的坐标为（ ）
A． B．
C．或 D．或.
6．已知直线：过定点，则点到直线：距离的最大值是（ ）
A．1 B．2 C． D．
7．已知两点到直线的距离相等，则（ ）
A．2 B． C．2或 D．2或
8．已知直线l的法向量为，且经过点，则原点O到l的距离为（ ）
A． B． C． D．
9．曲线：上到直线距离最短的点坐标为（ ）
A． B．
C． D．
10．已知直线，直线与直线的交点为，则点到直线的距离最大时，的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
二、多选题
11．点到直线的距离相等，则的值可能为（ ）
A．－2 B．2 C．9 D．11
12．已知直线过点，若点和点到直线的距离相等，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．若点在直线上，则的最小值为 .
14．台球赛的一种得分战术手段叫做“斯诺克”：在白色本球与目标球之间，设置障碍，使得本球不能直接击打目标球.如图，某场比赛中，某选手被对手做成了一个“斯诺克”，本球需经过边，两次反弹后击打目标球N，点M到的距离分别为，点N到的距离分别为，将M，N看成质点，本球在M点处，若击打成功，则 ．
15．若点到直线l：的距离为d，则d的取值范围是 ．
16．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为．则“将军饮马”的最短总路程为 ．
四、解答题
17．已知的三个顶点，，．
(1)求边上中线所在直线的方程；
(2)已知点满足，且点在线段的中垂线上，求点的坐标．
18．已知两条直线，求分别满足下列条件的的值：
(1)直线过点，并且直线与直线垂直；
(2)直线与直线平行，并且坐标原点到的距离相等．
19．已知的两条边所在直线的方程分别是AB：，AD：，且它的对角线的交点是．
(1)求这个平行四边形其他两边所在直线的斜截式方程；
(2)求的面积．
参考答案
1．A
由有向距离的定义可知B中直线P1P2不一定与直线l垂直，C和D中直线P1P2与直线l有可能重合.
设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，
对于A，若d1＝d2＝1，
则，
所以直线P1P2与直线l平行，正确；
对于B，点P1，P2在直线l的两侧且到直线l的距离相等，
直线P1P2不一定与直线l垂直，错误；
对于C，若d1＝d2＝0，满足d1＋d2＝0，
即ax1＋by1＋c＝ax2＋by2＋c＝0，
则点P1，P2都在直线l上，所以此时直线P1P2与直线l重合，错误；
对于D，若d1·d2≤0，
即(ax1＋by1＋c)(ax2＋by2＋c)≤0，
所以点P1，P2分别位于直线l的两侧或在直线l上，
所以直线P1P2与直线l相交或重合，错误．
故选：A
2．C
由距离公式可得，面积为，由基本不等式可得答案．
解：由坐标原点到直线的距离为，可得，
化简可得，
令，可得，令，可得，
故的面积，
当且仅当时，取等号，
故选：C．
3．C
根据直线有无斜率，分类讨论，结合点到直线的距离公式即可求解.
解：当直线的斜率不存在时，直线的方程为，与点到的距离为1，符合题意，
当直线的斜率存在时，设为，
则可设直线方程为：，即，
由于点与点到直线的距离相等，
则，解得，
故直线的方程为，即，
综上所述，直线的方程为或．
故选：C．
4．B
求出点坐标，且直线过定点，当直线与直线垂直时，此时点到直线的距离最大，利用两点间的距离公式计算可得答案.
由得，即，
直线：，所以直线过定点，
所以当直线与直线垂直时，此时点到直线的距离最大，
且最大值为.
故选：B.
5．C
根据题意，设点，利用点到直线的距离公式，列出方程，即可求解.
因为点为轴上一点，可设点，
又因为点到直线的距离等于1，可得，
整理得，即，解得或，
所以点的坐标为或.
故选：C.
6．D
本题首先求出，然后发现直线：恒过定点，由图可得点到直线：距离的最大值可转化为点与点的距离.
由题意知，直线：恒过定点，
直线：恒过定点，如图所示，
过作的垂线段，垂足为，
那么必有，当且仅当与重合时取等号，
从而的最大值为，
即点到直线：距离的最大值是.
故选：D.
7．D
分在的同侧和异侧分类讨论求解.
（1）若在的同侧，
则，所以，，
（2）若在的异侧，
则的中点在直线上，
所以解得,
故选:D.
8．C
由直线点法式得直线方程，结合点到直线的距离公式即可求解.
设点为直线上一点，则，所以，
即直线的方程为，所以原点O到l的距离为.
故选：C.
9．B
设曲线：上的点的坐标为，，然后表示出点到直线的距离，结合基本不等式可求出其最小值，从而可求出点的坐标.
设曲线：上的点的坐标为，，
则点到直线的距离，
当且仅当，即时，等号成立，此时点的坐标为.
故选：B.
10．A
先求得以及直线所过定点，根据斜率求得正确答案.
由解得，即.
由整理得，
由解得，所以直线过定点，
，，
则当点到直线的距离最大时，.
故选：A
11．BD
分点在直线的同侧或两侧进行讨论即可.
①若点在的同侧，则直线，
即，解得，
②若在的两侧，则经过线段的中点，
即，
故选：BD.
12．BC
由题意，直线存在斜率，设直线的方程为，利用点到直线的距离公式求解.
当直线的斜率不存在时，方程为，和到直线的距离不相等，
因此直线存在斜率，设直线的方程为，即，
若点和点到直线的距离相等，
则，即，解得或，
∴直线的方程为或.
故选：BC.
13．/0.8
转化为求直线上点到定点距离的平方的最小值，由点到直线距离可得解.
表示点到点距离的平方，又点在直线上，
问题转化为求直线上点到定点距离的平方的最小值，
，
所以得最小值为.
故答案为：.
14．
以C为原点，边分别为x轴，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，写出的坐标，求出关于轴的对称点的坐标，关于轴的对称点的坐标，则直线方向为本球射出方向，利用斜率公式和诱导公式可求出结果.
以C为原点，边分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图，
则，
N关于x轴的对称点为关于y轴的对称点为，
直线方向为本球射出方向，
故,.
故答案为：.
15．
先确定直线恒过定点，再计算，从而可得结论．
解：把直线的方程化为，
由方程组
解得
所以直线恒过定点，
其中直线不包括直线．
又，
且当与直线垂直时，点到直线的距离为，
所以点到直线的距离满足，
故答案为：．
16．5
作出图示，先求得点关于直线的对称点C的坐标，在直线上取点，由对称性可得，则，根据两点间距离公式，即可得答案.
作出图示，
设点关于直线的对称点为，
在直线上取点，由对称性可得，
所以，
当且仅当A、、三点共线时，等号成立，
因此，“将军饮马“的最短总路程为.
故答案为：.
17．(1)
(2)或
（1）首先得中点坐标，进一步求得所在直线的斜率，结合点斜式化简即可求解；
（2）首先得，直线的方程为，结合以及点到直线的距离公式得点所在直线方程为或，进一步求得线段的中垂线方程，联立即可得解.
（1）由题意中点，
所以所在直线的斜率，
所以所在直线的方程为，
即边中线所在直线的方程；
（2）因为，，所以，
，所以直线的方程为，即，
设点到直线的距离，则由题意，
所以点到直线的距离，
则点所在直线方程为或，
因为，，
所以，线段中点坐标为，
所以线段的中垂线为，即，
所以联立或，
所以点的坐标为：或.
18．(1)或
(2)或
（1）根据题意可得，，解方程组可得答案；
（2）由题意得，再结合点到直线的距离公式列方程可求得结果.
（1）因为过点，所以，
又因为，所以，
所以，
所以或；
（2）因为且的斜率为，
所以的斜率也存在，，即，
故和的方程可分别表示为，
因为原点到与的距离相等，
所以，解得或，
因此或
19．(1)这个平行四边其它两边所在直线的方程是和
(2)
（1）依题意，由方程组可解得的顶点A的坐标，再结合对角线的交点是，可求得C点坐标，利用点斜式即可求得其他两边所在直线的方程.
（2）由得，从而可得，再根据点线距离公式求得到的距离，最后根据面积公式即可求解.
（1）联立方程组，解得.
所以平行四边形的顶点.
设，由题意知点是线段的中点，
所以，解得，所以.
由已知，得直线的斜率，因为与平行，
所以直线的方程为，即，
由已知，得直线的斜率，因为与平行，
所以直线的方程为，即，
故这个平行四边其它两边所在直线的方程是和；
（2）由得，即，所以.
又到的距离为，
所以的面积.
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2.3.3 点到直线的距离公式 同步巩固练
2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第一册
一、单选题
1．定义点P(x0，y0)到直线l：ax＋by＋c＝0(a2＋b2≠0)的有向距离为.已知点P1，P2到直线l的有向距离分别是d1，d2.以下命题正确的是（ ）
A．若d1＝d2＝1，则直线P1P2与直线l平行
B．若d1＝1，d2＝－1，则直线P1P2与直线l垂直
C．若d1＋d2＝0，则直线P1P2与直线l垂直
D．若d1·d2≤0，则直线P1P2与直线l相交
2．设m，，若直线l：与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且坐标原点O到直线l的距离为，则的面积S的最小值为
A． B．2 C．3 D．4
3．已知过点的直线，且点与点到直线l的距离相等，则直线的方程为（ ）
A． B．
C．或 D．或
4．点为两条直线和的交点，则点到直线：的距离最大为（ ）
A． B． C． D．5
5．点为y轴上一点，且点到直线的距离等于1，则点P的坐标为（ ）
A． B．
C．或 D．或.
6．已知直线：过定点，则点到直线：距离的最大值是（ ）
A．1 B．2 C． D．
7．已知两点到直线的距离相等，则（ ）
A．2 B． C．2或 D．2或
8．已知直线l的法向量为，且经过点，则原点O到l的距离为（ ）
A． B． C． D．
9．曲线：上到直线距离最短的点坐标为（ ）
A． B．
C． D．
10．已知直线，直线与直线的交点为，则点到直线的距离最大时，的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
二、多选题
11．点到直线的距离相等，则的值可能为（ ）
A．－2 B．2 C．9 D．11
12．已知直线过点，若点和点到直线的距离相等，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．若点在直线上，则的最小值为 .
14．台球赛的一种得分战术手段叫做“斯诺克”：在白色本球与目标球之间，设置障碍，使得本球不能直接击打目标球.如图，某场比赛中，某选手被对手做成了一个“斯诺克”，本球需经过边，两次反弹后击打目标球N，点M到的距离分别为，点N到的距离分别为，将M，N看成质点，本球在M点处，若击打成功，则 ．
15．若点到直线l：的距离为d，则d的取值范围是 ．
16．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为．则“将军饮马”的最短总路程为 ．
四、解答题
17．已知的三个顶点，，．
(1)求边上中线所在直线的方程；
(2)已知点满足，且点在线段的中垂线上，求点的坐标．
18．已知两条直线，求分别满足下列条件的的值：
(1)直线过点，并且直线与直线垂直；
(2)直线与直线平行，并且坐标原点到的距离相等．
19．已知的两条边所在直线的方程分别是AB：，AD：，且它的对角线的交点是．
(1)求这个平行四边形其他两边所在直线的斜截式方程；
(2)求的面积．
参考答案
1．A
由有向距离的定义可知B中直线P1P2不一定与直线l垂直，C和D中直线P1P2与直线l有可能重合.
设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，
对于A，若d1＝d2＝1，
则，
所以直线P1P2与直线l平行，正确；
对于B，点P1，P2在直线l的两侧且到直线l的距离相等，
直线P1P2不一定与直线l垂直，错误；
对于C，若d1＝d2＝0，满足d1＋d2＝0，
即ax1＋by1＋c＝ax2＋by2＋c＝0，
则点P1，P2都在直线l上，所以此时直线P1P2与直线l重合，错误；
对于D，若d1·d2≤0，
即(ax1＋by1＋c)(ax2＋by2＋c)≤0，
所以点P1，P2分别位于直线l的两侧或在直线l上，
所以直线P1P2与直线l相交或重合，错误．
故选：A
2．C
由距离公式可得，面积为，由基本不等式可得答案．
解：由坐标原点到直线的距离为，可得，
化简可得，
令，可得，令，可得，
故的面积，
当且仅当时，取等号，
故选：C．
3．C
根据直线有无斜率，分类讨论，结合点到直线的距离公式即可求解.
解：当直线的斜率不存在时，直线的方程为，与点到的距离为1，符合题意，
当直线的斜率存在时，设为，
则可设直线方程为：，即，
由于点与点到直线的距离相等，
则，解得，
故直线的方程为，即，
综上所述，直线的方程为或．
故选：C．
4．B
求出点坐标，且直线过定点，当直线与直线垂直时，此时点到直线的距离最大，利用两点间的距离公式计算可得答案.
由得，即，
直线：，所以直线过定点，
所以当直线与直线垂直时，此时点到直线的距离最大，
且最大值为.
故选：B.
5．C
根据题意，设点，利用点到直线的距离公式，列出方程，即可求解.
因为点为轴上一点，可设点，
又因为点到直线的距离等于1，可得，
整理得，即，解得或，
所以点的坐标为或.
故选：C.
6．D
本题首先求出，然后发现直线：恒过定点，由图可得点到直线：距离的最大值可转化为点与点的距离.
由题意知，直线：恒过定点，
直线：恒过定点，如图所示，
过作的垂线段，垂足为，
那么必有，当且仅当与重合时取等号，
从而的最大值为，
即点到直线：距离的最大值是.
故选：D.
7．D
分在的同侧和异侧分类讨论求解.
（1）若在的同侧，
则，所以，，
（2）若在的异侧，
则的中点在直线上，
所以解得,
故选:D.
8．C
由直线点法式得直线方程，结合点到直线的距离公式即可求解.
设点为直线上一点，则，所以，
即直线的方程为，所以原点O到l的距离为.
故选：C.
9．B
设曲线：上的点的坐标为，，然后表示出点到直线的距离，结合基本不等式可求出其最小值，从而可求出点的坐标.
设曲线：上的点的坐标为，，
则点到直线的距离，
当且仅当，即时，等号成立，此时点的坐标为.
故选：B.
10．A
先求得以及直线所过定点，根据斜率求得正确答案.
由解得，即.
由整理得，
由解得，所以直线过定点，
，，
则当点到直线的距离最大时，.
故选：A
11．BD
分点在直线的同侧或两侧进行讨论即可.
①若点在的同侧，则直线，
即，解得，
②若在的两侧，则经过线段的中点，
即，
故选：BD.
12．BC
由题意，直线存在斜率，设直线的方程为，利用点到直线的距离公式求解.
当直线的斜率不存在时，方程为，和到直线的距离不相等，
因此直线存在斜率，设直线的方程为，即，
若点和点到直线的距离相等，
则，即，解得或，
∴直线的方程为或.
故选：BC.
13．/0.8
转化为求直线上点到定点距离的平方的最小值，由点到直线距离可得解.
表示点到点距离的平方，又点在直线上，
问题转化为求直线上点到定点距离的平方的最小值，
，
所以得最小值为.
故答案为：.
14．
以C为原点，边分别为x轴，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，写出的坐标，求出关于轴的对称点的坐标，关于轴的对称点的坐标，则直线方向为本球射出方向，利用斜率公式和诱导公式可求出结果.
以C为原点，边分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图，
则，
N关于x轴的对称点为关于y轴的对称点为，
直线方向为本球射出方向，
故,.
故答案为：.
15．
先确定直线恒过定点，再计算，从而可得结论．
解：把直线的方程化为，
由方程组
解得
所以直线恒过定点，
其中直线不包括直线．
又，
且当与直线垂直时，点到直线的距离为，
所以点到直线的距离满足，
故答案为：．
16．5
作出图示，先求得点关于直线的对称点C的坐标，在直线上取点，由对称性可得，则，根据两点间距离公式，即可得答案.
作出图示，
设点关于直线的对称点为，
在直线上取点，由对称性可得，
所以，
当且仅当A、、三点共线时，等号成立，
因此，“将军饮马“的最短总路程为.
故答案为：.
17．(1)
(2)或
（1）首先得中点坐标，进一步求得所在直线的斜率，结合点斜式化简即可求解；
（2）首先得，直线的方程为，结合以及点到直线的距离公式得点所在直线方程为或，进一步求得线段的中垂线方程，联立即可得解.
（1）由题意中点，
所以所在直线的斜率，
所以所在直线的方程为，
即边中线所在直线的方程；
（2）因为，，所以，
，所以直线的方程为，即，
设点到直线的距离，则由题意，
所以点到直线的距离，
则点所在直线方程为或，
因为，，
所以，线段中点坐标为，
所以线段的中垂线为，即，
所以联立或，
所以点的坐标为：或.
18．(1)或
(2)或
（1）根据题意可得，，解方程组可得答案；
（2）由题意得，再结合点到直线的距离公式列方程可求得结果.
（1）因为过点，所以，
又因为，所以，
所以，
所以或；
（2）因为且的斜率为，
所以的斜率也存在，，即，
故和的方程可分别表示为，
因为原点到与的距离相等，
所以，解得或，
因此或
19．(1)这个平行四边其它两边所在直线的方程是和
(2)
（1）依题意，由方程组可解得的顶点A的坐标，再结合对角线的交点是，可求得C点坐标，利用点斜式即可求得其他两边所在直线的方程.
（2）由得，从而可得，再根据点线距离公式求得到的距离，最后根据面积公式即可求解.
（1）联立方程组，解得.
所以平行四边形的顶点.
设，由题意知点是线段的中点，
所以，解得，所以.
由已知，得直线的斜率，因为与平行，
所以直线的方程为，即，
由已知，得直线的斜率，因为与平行，
所以直线的方程为，即，
故这个平行四边其它两边所在直线的方程是和；
（2）由得，即，所以.
又到的距离为，
所以的面积.
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