2.3.4 两条平行直线间的距离 同步巩固练 2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第一册
文档属性
| 名称 | 2.3.4 两条平行直线间的距离 同步巩固练 2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第一册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 880.4KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-03-13 17:29:18 | ||
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文档简介
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2.3.4 两条平行直线间的距离 同步巩固练
2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第一册
一、单选题
1．已知,则它们的距离为（ ）
A． B． C． D．
2．直线关于点对称的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题—“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A． B． C． D．
4．冰糖葫芦是中国传统小吃，起源于南宋.由山楂串成的冰糖葫芦如图1所示，若将山楂看成是大小相同的圆，竹签看成一条线段，如图2所示，且山楂的半径（图2中圆的半径）为2，竹签所在的直线方程为，则与该串冰糖动芦的山楂都相切的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
5．下列直线与直线平行，且与它的距离为的是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知两条平行直线，，直线，直线，直线，之间的距离为1，则的值可以是（ ）
A． B． C．12 D．14
7．下列直线与直线l：平行，且与它的距离为的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
8．已知直线和直线，直线与的距离分别为，若，则直线方程的方程为 .
9．直线关于点对称的直线的一般式方程为 ．
10．设，已知直线，过点作直线，且，则直线与之间距离的最大值是 .
11．若两条平行直线与之间的距离是，则 ．
四、解答题
12．在①与坐标轴所围成三角形面积为，②与之间的距离为，③点到的距离为这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.
问题：已知直线与直线平行，且___________，求的方程.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
13．如图，在一段直的河岸同侧有A、B两个村庄，相距5km，它们距河岸的距离分别为3km、6km．现在要在河边修一抽水站并铺设输水管道，同时向两个村庄供水．如果预计修建抽水站需8.25万元（含设备购置费和人工费），铺设输水管每米需用24.5元（含人工费和材料费）．现由镇政府拨款30万元，问A、B两村还需共同自筹资金多少才能完成此项工程？（精确到100元）
（参考数据：，，，）
14．在中，已知，.
（1）若直线过点，且点，到的距离相等，求直线的方程；
（2）若的外角平分线所在的直线方程为，求直线的方程.
15．如图，相距14km的两个居民小区M和N位于河岸l（直线）的同侧，M和N距离河岸分别为10km和8km．现要在河的小区一侧选一地点P，在P处建一个生活污水处理站，从P排直线水管PM，PN分别到两个小区和垂直于河岸的水管PQ，使小区污水经处理后排入河道．设PQ段长为t km（0 < t < 8）．
（1）求污水处理站P到两小区的水管的总长最小值（用t表示）；
（2）请确定污水处理站P的位置，使所排三段水管的总长最小，并求出此时污水处理站分别到两小区水管的长度．
16．已知三条直线：（），直线：和直线：，且与的距离是．
(1)求的值；
(2)求与的夹角；
(3)能否找到一点，使得点同时满足下列三个条件：①是第一象限的点；②点到的距离是点到的距离的；③点到的距离与点到的距离之比是？若能，求点坐标；若不能，说明理由．
17．已知直线，点．求：
(1)点关于直线的对称点的坐标；
(2)直线关于直线的对称直线的方程；
(3)直线关于点对称的直线的方程．
18．已知点和直线.
(1)求过点且与直线垂直的直线的一般方程；
(2)求与直线平行且与之间的距离为的直线的一般方程.
参考答案
1．D
根据平行可求，根据平行线间距离公式计算后可得正确的选项.
因为，所以，故，故.
故之间的距离为，
故选：D.
2．D
设对称的直线方程上的一点的坐标为,则其关于点对称的点的坐标为,代入已知直线即可求得结果.
设对称的直线方程上的一点的坐标为,则其关于点对称的点的坐标为，以代换原直线方程中的得，即.
故选：D.
3．C
设点关于直线的对称点，则为最短距离，根据垂直和中点坐标求出对称点即可得解.
设点关于直线的对称点．
根据题意，为最短距离，先求出的坐标．
的中点为，直线的斜率为1，
故直线的方程为，即．
由，联立得，，
，则，
故，
则“将军饮马”的最短总路程为．
故选：C．
4．D
根据题意，设所求直线方程为，结合两平行直线间的距离公式，列出方程，求得的值，即可求解.
因为竹签所在的直线方程为，
设与该串冰糖葫芦的山楂都相切的直线方程为，
由两平行直线间的距离公式，可得，解得，
所以与该串冰糖葫芦的山楂都相切的直线方程为.
故选：D.
5．BC
设出直线方程，根据两平行线间距离公式得到方程，求出答案.
设所求直线的方程为，由题意可得，
解得或，
故所求直线的方程为或.
故选：BC
6．BD
将直线化为，代入两平行线间距离公式分析求解.
将直线化为，
则，之间的距离，
即，解得或．
故选：BD．
7．AB
设所求的直线方程为，再利用平行直线的距离公式即可求解.
设与直线l：平行的直线方程为，
由题意可得，解得或，
故所求直线的方程为或.
故选：AB
8．或
设直线的方程为，则，求出，即可求直线的方程．
设直线的方程为，由平行线间的距离公式可得，
或，直线的方程为或.
故答案为：或
9．
由直线关于点对称的直线与已知直线平行，设出所求直线方程，再根据点到两条直线的距离相等可解出答案.
设对称直线为，
根据点到两条直线的距离相等，
则有，即，解得（舍）或.
所以对称直线的方程为.
故答案为：.
10．5
求出直线恒过点，从而得到两平行线的最大距离为点与点的距离，得到答案.
由于直线，整理得：，
故，解得，
即直线恒过点，则过点作直线，
且，则最大距离为点与点的距离，
即.
故答案为：5
11．10
根据两直线平行求得参数，再结合两平行线之间的距离公式求得，即可求得结果.
由题可得：，解的，
此时方程为：；方程为：；
则，即，解的或，
又，所以；
故.
故答案为：.
12．答案见解析
①由直线与坐标轴围成的三角形特点，结合三角形面积公式即可求m的值，写出直线方程；②根据平行线的距离公式，有求m的值，写出直线方程；③根据点线距离公式，有求m的值，写出直线方程.
依题意，设直线的方程为.
选择①，令，得，令，得
故与坐标轴所围成的三角形的面积，解得
∴的方程为或.
选择②，∵与之间的距离为，即，得或，
∴的方程为或.
选择③，∵点到的距离为，即，得或，
∴的方程为或.
13．需要两村共同自筹资金23900元
建立直角坐标系,利用关于轴的对称点求出铺设的输水管道最短距离，再结合已知条件可求出结果.
建立直角坐标系如图所示，则．
由，可知，那么点A关于x轴的对称点．
连接交x轴于点C．
由平面几何知识可知，当抽水站建在C处时，铺设的输水管道最短．
∵，∴（km），
∴铺设管道所需资金为（元），
总费用（元）．
∴（元）．
答：需要两村共同自筹资金23900元．
14．（1）或；（2）.
（1）直线过的中点或直线平行两种情况分别求出直线的方程即可；
（2）设关于的角平分线的对称点为，根据点关于直线对称求出对称点的坐标，再由，在直线上，即可求出直线的方程；
（1）∵点，到的距离相等，∴直线过线段的中点或，
①当直线过线段的中点时，直线斜率不存在，则的方程为；
②当时，则斜率，
则的方程为，即；
综上，的方程为或；
（2）设关于的外角平分线的对称点为，，
解得，∴，再由，在直线上，所以
所以的方程为整理得.
15．（1）（2）P点距河岸5km，距小区M到河岸的垂线km，此时污水处理站到小区M和N的水管长度分别为10km和6km．
（1）本题实质为在一直线上求一点到两定点距离之和最小，其求法为利用三角形两边之和大于第三边：先作N关于直线的对称点，再利用得最小值
（2）由（1）知三段水管的总长，因此总长最小就是求最小值，这种函数最小值可利用判别式法求解，即从方程有解出发，利用判别式不小于零得解．
（1）如图，以河岸所在直线为轴，以过垂直于的直线为轴建立直角坐标系，
则可得点，
设点，过P作平行于轴的直线m，作N关于m的对称点，
则．
所以
即为所求．
（2）设三段水管总长为，则由（1）知
，
所以在上有解．
即方程在上有解．
故，即，
解得或，
所以的最小值为21，此时对应的．
故，方程为，
令得，即，
从而，．
所以满足题意的P点距河岸5km，距小区M到河岸的垂线km，此时污水处理站到小区M和N的水管长度分别为10km和6km．
16．(1)3
(2)
(3)能找到一点，点坐标为
（1）利用平行线间的距离公式即可求得答案;
（2）利用两直线的夹角公式，即可求得答案；
（3）设点，根据其满足的条件列出方程，解方程组可得答案.
（1）由于与的距离是，故将化为，
故 ，解得或 （舍去），
故；
（2）由题意知 ，两直线既不平行也不垂直,
故设与的夹角， ，则 ，
故 ，
故 ；
（3）存在满足条件的点，；
理由：设点，若点满足条件②，
则点在与、平行的直线：上，且，
解得或．所以或．
若点满足条件③，由点到直线的距离公式，有，
所以或，又在第一象限，所以不合题意，
解方程组 得 （舍去）；
解方程组 得 ，
所以为同时满足三个条件的点.
17．(1)
(2)
(3)
（1）利用两对称点的连线与对称直线垂直及两对称点的中点落在对称直线上，列出方程，解得即可；
（2）在直线上任取一点，利用（1）的做法求得对称点，再求出与的交点，由经过，两点，利用点斜式即可求得直线的方程；
（3）任取上一点，求得其对称点，代入直线的方程即可求得直线的方程.
（1）设，由得，
则，解得，故.
（2）在直线上取一点，如，则关于直线的对称点必在上，
设对称点为，则，解得，即，
设与的交点为，则由，解得，即，
又经过点，故，
所以直线的方程为，即.
（3）设为上任意一点，
则关于点的对称点为，
因为在直线上，所以，
即直线的方程为.
18．(1)
(2)或
（1）利用两直线垂直的直线斜率，代入点斜式后化为一般式方程即可；
（2）利用平行设出直线方程，利用两平行线间的距离求解即可.
（1）直线的斜率为，
所以过点且与直线垂直的直线的斜率为，
故所求方程为，即；
（2）设与直线平行的直线方程为，
则，即，解得或，
所以所求直线的方程为或.
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2.3.4 两条平行直线间的距离 同步巩固练
2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第一册
一、单选题
1．已知,则它们的距离为（ ）
A． B． C． D．
2．直线关于点对称的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题—“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A． B． C． D．
4．冰糖葫芦是中国传统小吃，起源于南宋.由山楂串成的冰糖葫芦如图1所示，若将山楂看成是大小相同的圆，竹签看成一条线段，如图2所示，且山楂的半径（图2中圆的半径）为2，竹签所在的直线方程为，则与该串冰糖动芦的山楂都相切的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
5．下列直线与直线平行，且与它的距离为的是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知两条平行直线，，直线，直线，直线，之间的距离为1，则的值可以是（ ）
A． B． C．12 D．14
7．下列直线与直线l：平行，且与它的距离为的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
8．已知直线和直线，直线与的距离分别为，若，则直线方程的方程为 .
9．直线关于点对称的直线的一般式方程为 ．
10．设，已知直线，过点作直线，且，则直线与之间距离的最大值是 .
11．若两条平行直线与之间的距离是，则 ．
四、解答题
12．在①与坐标轴所围成三角形面积为，②与之间的距离为，③点到的距离为这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.
问题：已知直线与直线平行，且___________，求的方程.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
13．如图，在一段直的河岸同侧有A、B两个村庄，相距5km，它们距河岸的距离分别为3km、6km．现在要在河边修一抽水站并铺设输水管道，同时向两个村庄供水．如果预计修建抽水站需8.25万元（含设备购置费和人工费），铺设输水管每米需用24.5元（含人工费和材料费）．现由镇政府拨款30万元，问A、B两村还需共同自筹资金多少才能完成此项工程？（精确到100元）
（参考数据：，，，）
14．在中，已知，.
（1）若直线过点，且点，到的距离相等，求直线的方程；
（2）若的外角平分线所在的直线方程为，求直线的方程.
15．如图，相距14km的两个居民小区M和N位于河岸l（直线）的同侧，M和N距离河岸分别为10km和8km．现要在河的小区一侧选一地点P，在P处建一个生活污水处理站，从P排直线水管PM，PN分别到两个小区和垂直于河岸的水管PQ，使小区污水经处理后排入河道．设PQ段长为t km（0 < t < 8）．
（1）求污水处理站P到两小区的水管的总长最小值（用t表示）；
（2）请确定污水处理站P的位置，使所排三段水管的总长最小，并求出此时污水处理站分别到两小区水管的长度．
16．已知三条直线：（），直线：和直线：，且与的距离是．
(1)求的值；
(2)求与的夹角；
(3)能否找到一点，使得点同时满足下列三个条件：①是第一象限的点；②点到的距离是点到的距离的；③点到的距离与点到的距离之比是？若能，求点坐标；若不能，说明理由．
17．已知直线，点．求：
(1)点关于直线的对称点的坐标；
(2)直线关于直线的对称直线的方程；
(3)直线关于点对称的直线的方程．
18．已知点和直线.
(1)求过点且与直线垂直的直线的一般方程；
(2)求与直线平行且与之间的距离为的直线的一般方程.
参考答案
1．D
根据平行可求，根据平行线间距离公式计算后可得正确的选项.
因为，所以，故，故.
故之间的距离为，
故选：D.
2．D
设对称的直线方程上的一点的坐标为,则其关于点对称的点的坐标为,代入已知直线即可求得结果.
设对称的直线方程上的一点的坐标为,则其关于点对称的点的坐标为，以代换原直线方程中的得，即.
故选：D.
3．C
设点关于直线的对称点，则为最短距离，根据垂直和中点坐标求出对称点即可得解.
设点关于直线的对称点．
根据题意，为最短距离，先求出的坐标．
的中点为，直线的斜率为1，
故直线的方程为，即．
由，联立得，，
，则，
故，
则“将军饮马”的最短总路程为．
故选：C．
4．D
根据题意，设所求直线方程为，结合两平行直线间的距离公式，列出方程，求得的值，即可求解.
因为竹签所在的直线方程为，
设与该串冰糖葫芦的山楂都相切的直线方程为，
由两平行直线间的距离公式，可得，解得，
所以与该串冰糖葫芦的山楂都相切的直线方程为.
故选：D.
5．BC
设出直线方程，根据两平行线间距离公式得到方程，求出答案.
设所求直线的方程为，由题意可得，
解得或，
故所求直线的方程为或.
故选：BC
6．BD
将直线化为，代入两平行线间距离公式分析求解.
将直线化为，
则，之间的距离，
即，解得或．
故选：BD．
7．AB
设所求的直线方程为，再利用平行直线的距离公式即可求解.
设与直线l：平行的直线方程为，
由题意可得，解得或，
故所求直线的方程为或.
故选：AB
8．或
设直线的方程为，则，求出，即可求直线的方程．
设直线的方程为，由平行线间的距离公式可得，
或，直线的方程为或.
故答案为：或
9．
由直线关于点对称的直线与已知直线平行，设出所求直线方程，再根据点到两条直线的距离相等可解出答案.
设对称直线为，
根据点到两条直线的距离相等，
则有，即，解得（舍）或.
所以对称直线的方程为.
故答案为：.
10．5
求出直线恒过点，从而得到两平行线的最大距离为点与点的距离，得到答案.
由于直线，整理得：，
故，解得，
即直线恒过点，则过点作直线，
且，则最大距离为点与点的距离，
即.
故答案为：5
11．10
根据两直线平行求得参数，再结合两平行线之间的距离公式求得，即可求得结果.
由题可得：，解的，
此时方程为：；方程为：；
则，即，解的或，
又，所以；
故.
故答案为：.
12．答案见解析
①由直线与坐标轴围成的三角形特点，结合三角形面积公式即可求m的值，写出直线方程；②根据平行线的距离公式，有求m的值，写出直线方程；③根据点线距离公式，有求m的值，写出直线方程.
依题意，设直线的方程为.
选择①，令，得，令，得
故与坐标轴所围成的三角形的面积，解得
∴的方程为或.
选择②，∵与之间的距离为，即，得或，
∴的方程为或.
选择③，∵点到的距离为，即，得或，
∴的方程为或.
13．需要两村共同自筹资金23900元
建立直角坐标系,利用关于轴的对称点求出铺设的输水管道最短距离，再结合已知条件可求出结果.
建立直角坐标系如图所示，则．
由，可知，那么点A关于x轴的对称点．
连接交x轴于点C．
由平面几何知识可知，当抽水站建在C处时，铺设的输水管道最短．
∵，∴（km），
∴铺设管道所需资金为（元），
总费用（元）．
∴（元）．
答：需要两村共同自筹资金23900元．
14．（1）或；（2）.
（1）直线过的中点或直线平行两种情况分别求出直线的方程即可；
（2）设关于的角平分线的对称点为，根据点关于直线对称求出对称点的坐标，再由，在直线上，即可求出直线的方程；
（1）∵点，到的距离相等，∴直线过线段的中点或，
①当直线过线段的中点时，直线斜率不存在，则的方程为；
②当时，则斜率，
则的方程为，即；
综上，的方程为或；
（2）设关于的外角平分线的对称点为，，
解得，∴，再由，在直线上，所以
所以的方程为整理得.
15．（1）（2）P点距河岸5km，距小区M到河岸的垂线km，此时污水处理站到小区M和N的水管长度分别为10km和6km．
（1）本题实质为在一直线上求一点到两定点距离之和最小，其求法为利用三角形两边之和大于第三边：先作N关于直线的对称点，再利用得最小值
（2）由（1）知三段水管的总长，因此总长最小就是求最小值，这种函数最小值可利用判别式法求解，即从方程有解出发，利用判别式不小于零得解．
（1）如图，以河岸所在直线为轴，以过垂直于的直线为轴建立直角坐标系，
则可得点，
设点，过P作平行于轴的直线m，作N关于m的对称点，
则．
所以
即为所求．
（2）设三段水管总长为，则由（1）知
，
所以在上有解．
即方程在上有解．
故，即，
解得或，
所以的最小值为21，此时对应的．
故，方程为，
令得，即，
从而，．
所以满足题意的P点距河岸5km，距小区M到河岸的垂线km，此时污水处理站到小区M和N的水管长度分别为10km和6km．
16．(1)3
(2)
(3)能找到一点，点坐标为
（1）利用平行线间的距离公式即可求得答案;
（2）利用两直线的夹角公式，即可求得答案；
（3）设点，根据其满足的条件列出方程，解方程组可得答案.
（1）由于与的距离是，故将化为，
故 ，解得或 （舍去），
故；
（2）由题意知 ，两直线既不平行也不垂直,
故设与的夹角， ，则 ，
故 ，
故 ；
（3）存在满足条件的点，；
理由：设点，若点满足条件②，
则点在与、平行的直线：上，且，
解得或．所以或．
若点满足条件③，由点到直线的距离公式，有，
所以或，又在第一象限，所以不合题意，
解方程组 得 （舍去）；
解方程组 得 ，
所以为同时满足三个条件的点.
17．(1)
(2)
(3)
（1）利用两对称点的连线与对称直线垂直及两对称点的中点落在对称直线上，列出方程，解得即可；
（2）在直线上任取一点，利用（1）的做法求得对称点，再求出与的交点，由经过，两点，利用点斜式即可求得直线的方程；
（3）任取上一点，求得其对称点，代入直线的方程即可求得直线的方程.
（1）设，由得，
则，解得，故.
（2）在直线上取一点，如，则关于直线的对称点必在上，
设对称点为，则，解得，即，
设与的交点为，则由，解得，即，
又经过点，故，
所以直线的方程为，即.
（3）设为上任意一点，
则关于点的对称点为，
因为在直线上，所以，
即直线的方程为.
18．(1)
(2)或
（1）利用两直线垂直的直线斜率，代入点斜式后化为一般式方程即可；
（2）利用平行设出直线方程，利用两平行线间的距离求解即可.
（1）直线的斜率为，
所以过点且与直线垂直的直线的斜率为，
故所求方程为，即；
（2）设与直线平行的直线方程为，
则，即，解得或，
所以所求直线的方程为或.
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