2.4.1 圆的标准方程 同步巩固练 2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第一册
文档属性
| 名称 | 2.4.1 圆的标准方程 同步巩固练 2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第一册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 757.1KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-03-13 17:29:18 | ||
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文档简介
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2.4.1 圆的标准方程 同步巩固练
2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第一册
一、单选题
1．2000多年前，我国的思想家墨子给出圆的概念：“一中同长也”．意思是说，圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等，这个定义比希腊数学家欧几里得给圆下定义要早100年．已知O为原点，，若，则线段PM长的最大值为（ ）
A． B． C． D．
2．已知，，圆M经过A，B两点，且圆的周长被x轴平分，则圆M的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．已知圆：与圆：关于直线对称，则的方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．点在圆的内部，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． 或 D．
5．我们都知道：平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆．后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆．已知平面内有两点和，且该平面内的点满足，若点的轨迹关于直线对称，则的最小值是（ ）
A．10 B．20 C．30 D．40
6．已知圆C：，过点的两条直线，互相垂直，圆心C到直线，的距离分别为，，则的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．4
7．已知点，圆的标准方程为，则点P（ ）
A．在圆内 B．在圆上
C．在圆外 D．与a的取值有关
8．已知圆C：，O为原点，则以为直径的圆方程为（ ）
A． B．
C． D．
9．已知直线经过圆的圆心，其中，则的最小值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．12
10．已知直线：与直线：交于点，则的最大值为（ ）
A．4 B．8 C．32 D．64
11．已知圆O：，点和点在圆上，满足，则最大值为（ ）
A． B． C． D．
12．已知平面向量均为单位向量，且，若，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
13．求经过点且圆心在直线上的圆的标准方程为 .
14．大约2000多年前，我国的墨子就给出了圆的概念：“一中同长也.”意思是说，圆有一个圆心，圆心到圆周上的点的距离都相等.这个定义比古希腊数学家欧几里德给出的圆的定义要早100年.已知是坐标原点，，若，则线段长的最大值是 .
15．若圆和圆关于直线对称，则直线的方程是
16．已知圆:，点，.设是圆上的动点，令，则的最小值为 ．
17．已知为圆上一点，为圆上一点，则点到点的距离的最大值为 .
三、解答题
18．已知点P，Q是圆上的两个动点，若直线OP与OQ的斜率都存在且满足．当时，求PQ的中点M的轨迹方程；
19．已知关于直线对称，点，都在上.
(1)求线段垂直平分线的方程；
(2)求的标准方程
20．已知圆心为C的圆经过，两点，且圆心C在直线上．
(1)求圆C的标准方程；
(2)点P在圆C上运动，求的取值范围．
参考答案
1．A
P点圆上，点M在圆外，问题转化为圆上的点到圆外的点的最大距离.
由，P点在以O为圆心为半径的圆上，，点M在圆外，则线段PM长的最大值为.
故选：A
2．B
求出线段的中垂线，求得与轴的交点即为圆心坐标，进而求得圆的方程.
由题意，，中点为，
所以线段的中垂线为，令得，
所以，半径，所以圆M的标准方程为．
故选：B.
3．C
根据两点的坐标，求其中点坐标以及斜率，根据对称轴与两对称点连接线段的关系，可得答案.
由题意得，，则的中点的坐标为，
直线的斜率.
由圆与圆关于对称，得的斜率.
因为的中点在上，所以，即.
故选：C.
4．A
由点在圆内得，求得a的取值范围.
点在圆的内部，
所以，化简得，解得，
故选:A
5．B
点的轨迹为圆，直线过圆心，得，利用基本不等式求的最小值.
设点的坐标为，因为，则，
即，
所以点的轨迹方程为，
因为点的轨迹关于直线对称，
所以圆心在此直线上，即，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值是.
故选：B.
6．B
由四边形是矩形，应用勾股定理可求，再利用基本不等式可得答案.
过圆心C分别作直线，的垂线，垂足分别为，．
，互相垂直，所以四边形为矩形．
由圆C：，可得，又，
，
所以，当且仅当时取等号，即的最大值为1，
故选：B.
7．C
由点到圆心的距离和圆的半径比较大小即可得解.
∵，
∴点P在圆外.
故选：C．
8．D
由题意确定以为直径的圆的圆心和半径，即可得答案.
由圆C：可知圆心，，
故以为直径的圆的圆心为，半径为，
故所求圆的方程为：.
故选：D
9．D
根据基本不等式，结合圆的标准方程进行求解即可.
因为直线经过圆的圆心，
故，
所以，
当且仅当 ，即时，等号成立.
故选：D
10．D
首先根据已知条件得到直线恒过定点，直线恒过定点，且，根据交点得到点在以为直径的圆上，再利用点与圆的位置关系即可得到最值.
由题知：直线恒过定点.
直线化简为：，当时，，直线恒过点.
当时，直线的斜率不存在，直线的斜率，则.
当时，，，，则.
综上：直线恒过定点，直线恒过定点，且.
因为直线与直线交于点，
所以点在以为直径的圆上，线段的中点坐标为，
且，则其轨迹方程为（除点外），圆的半径，
因为表示圆上的点到原点距离的平方，设，
则，所以的最大值为64.
故选：D.
11．B
将点代入圆中得并结合，可得，再使用重要不等式求解即可.
由题意可知，点在圆上，
所以，
因为，
所以，
所以，
又因为，
所以，当且仅当取等号.
故选：B.
12．D
据题意，设，，，由已知可得点在圆上运动，由，数形结合即可求得取值范围．
设，
由，可得，
所以点在圆上，则.
又点到圆心的距离为，圆的半径，
故，
所以的取值范围为.
故选：D.
13．
分析出圆心在直线上，再结合其在上，最后得到圆心坐标即可得到答案.
若经过点，，则圆心在直线上，
又在直线l：上，令，则，
故圆心坐标为，半径为，
故所求圆的标准方程为.
故答案为：.
14．5
点在以原点为圆心，4为半径的圆上，点在圆内，当三点共线，且在点两侧时，线段长的最大.
已知是坐标原点，，则点在以原点为圆心，4为半径的圆上，
，点在圆内，
当三点共线，且在点两侧时，线段长的最大，
此时.
故答案为：5.
15．
由题意，先求得线段的中点坐标，再求得直线的斜率为即可.
解：圆的圆心为，圆的圆心为，
则线段的中点为，
因为圆和圆关于直线对称，
所以，
所以直线的方程是，即，
故答案为：
16．
设动点的坐标，利用两点间距离公式，整理的表达式，则可得到当取得最小值时，取得最小值，由定点到圆上一点的距离最小，求解即可.
由已知，，
设，，，
所以，
因为，所以当取得最小值时，取得最小值，
由的最小值为，
所以的最小值为.
故答案为：.
17．
确定出两圆的圆心和半径，然后根据四点共线求解出的最大值.
圆的圆心为，半径，
圆的圆心为，半径，
所以，
当且仅当共线，且在中间时取等号，
所以点到点的距离的最大值为，
故答案为：.
18．
先根据判断出为等腰直角三角形以及点的限制条件，求出，再利用两点间距离公式化简可得到点的轨迹方程.
设点，，.
如图所示：
点P，Q是圆上的两个点，直线OP与OQ的斜率都存在.
，.
当时，，
，为等腰直角三角形.
点M是PQ的中点
在中，
由两点间距离公式得，其中，
即，
所以PQ的中点M的轨迹方程为．
19．(1)
(2)
（1）求线段的中点，且斜率不存在，写出方程；
（2）解法一：由题意，设，将点代入得方程；
解法二：求出直线与直线的交点为圆心，可得方程.
（1）因为点，，
所以线段的中点为
因为直线的斜率为，所以垂直平分线的斜率不存在.
所以垂直平分线的方程为；
（2）解法一：因为关于直线对称，则可设的方程为，
又因为点，在上，所以，
解得，
所以的标准方程为.
解法二：因为直线与直线的交点为圆心，
由，解得，
故圆心.
又因为.
所以的标准方程为.
20．(1)
(2)
（1）利用圆的对称性先确定圆心，再求半径即可；
（2）设P坐标，利用两点距离公式及点在圆上消元转化为函数求值域求范围即可.
（1）圆经过，两点，得圆心在的中垂线上，
又圆心C在直线上，联立直线方程有，得，
即圆心坐标为，
又，
故圆C的标准方程为．
（2）设，易知，
则（*），
因为点P在圆C上运动，则，
故（*）式可化简为，，
由得的取值范围为．
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2.4.1 圆的标准方程 同步巩固练
2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第一册
一、单选题
1．2000多年前，我国的思想家墨子给出圆的概念：“一中同长也”．意思是说，圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等，这个定义比希腊数学家欧几里得给圆下定义要早100年．已知O为原点，，若，则线段PM长的最大值为（ ）
A． B． C． D．
2．已知，，圆M经过A，B两点，且圆的周长被x轴平分，则圆M的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．已知圆：与圆：关于直线对称，则的方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．点在圆的内部，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． 或 D．
5．我们都知道：平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆．后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆．已知平面内有两点和，且该平面内的点满足，若点的轨迹关于直线对称，则的最小值是（ ）
A．10 B．20 C．30 D．40
6．已知圆C：，过点的两条直线，互相垂直，圆心C到直线，的距离分别为，，则的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．4
7．已知点，圆的标准方程为，则点P（ ）
A．在圆内 B．在圆上
C．在圆外 D．与a的取值有关
8．已知圆C：，O为原点，则以为直径的圆方程为（ ）
A． B．
C． D．
9．已知直线经过圆的圆心，其中，则的最小值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．12
10．已知直线：与直线：交于点，则的最大值为（ ）
A．4 B．8 C．32 D．64
11．已知圆O：，点和点在圆上，满足，则最大值为（ ）
A． B． C． D．
12．已知平面向量均为单位向量，且，若，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
13．求经过点且圆心在直线上的圆的标准方程为 .
14．大约2000多年前，我国的墨子就给出了圆的概念：“一中同长也.”意思是说，圆有一个圆心，圆心到圆周上的点的距离都相等.这个定义比古希腊数学家欧几里德给出的圆的定义要早100年.已知是坐标原点，，若，则线段长的最大值是 .
15．若圆和圆关于直线对称，则直线的方程是
16．已知圆:，点，.设是圆上的动点，令，则的最小值为 ．
17．已知为圆上一点，为圆上一点，则点到点的距离的最大值为 .
三、解答题
18．已知点P，Q是圆上的两个动点，若直线OP与OQ的斜率都存在且满足．当时，求PQ的中点M的轨迹方程；
19．已知关于直线对称，点，都在上.
(1)求线段垂直平分线的方程；
(2)求的标准方程
20．已知圆心为C的圆经过，两点，且圆心C在直线上．
(1)求圆C的标准方程；
(2)点P在圆C上运动，求的取值范围．
参考答案
1．A
P点圆上，点M在圆外，问题转化为圆上的点到圆外的点的最大距离.
由，P点在以O为圆心为半径的圆上，，点M在圆外，则线段PM长的最大值为.
故选：A
2．B
求出线段的中垂线，求得与轴的交点即为圆心坐标，进而求得圆的方程.
由题意，，中点为，
所以线段的中垂线为，令得，
所以，半径，所以圆M的标准方程为．
故选：B.
3．C
根据两点的坐标，求其中点坐标以及斜率，根据对称轴与两对称点连接线段的关系，可得答案.
由题意得，，则的中点的坐标为，
直线的斜率.
由圆与圆关于对称，得的斜率.
因为的中点在上，所以，即.
故选：C.
4．A
由点在圆内得，求得a的取值范围.
点在圆的内部，
所以，化简得，解得，
故选:A
5．B
点的轨迹为圆，直线过圆心，得，利用基本不等式求的最小值.
设点的坐标为，因为，则，
即，
所以点的轨迹方程为，
因为点的轨迹关于直线对称，
所以圆心在此直线上，即，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值是.
故选：B.
6．B
由四边形是矩形，应用勾股定理可求，再利用基本不等式可得答案.
过圆心C分别作直线，的垂线，垂足分别为，．
，互相垂直，所以四边形为矩形．
由圆C：，可得，又，
，
所以，当且仅当时取等号，即的最大值为1，
故选：B.
7．C
由点到圆心的距离和圆的半径比较大小即可得解.
∵，
∴点P在圆外.
故选：C．
8．D
由题意确定以为直径的圆的圆心和半径，即可得答案.
由圆C：可知圆心，，
故以为直径的圆的圆心为，半径为，
故所求圆的方程为：.
故选：D
9．D
根据基本不等式，结合圆的标准方程进行求解即可.
因为直线经过圆的圆心，
故，
所以，
当且仅当 ，即时，等号成立.
故选：D
10．D
首先根据已知条件得到直线恒过定点，直线恒过定点，且，根据交点得到点在以为直径的圆上，再利用点与圆的位置关系即可得到最值.
由题知：直线恒过定点.
直线化简为：，当时，，直线恒过点.
当时，直线的斜率不存在，直线的斜率，则.
当时，，，，则.
综上：直线恒过定点，直线恒过定点，且.
因为直线与直线交于点，
所以点在以为直径的圆上，线段的中点坐标为，
且，则其轨迹方程为（除点外），圆的半径，
因为表示圆上的点到原点距离的平方，设，
则，所以的最大值为64.
故选：D.
11．B
将点代入圆中得并结合，可得，再使用重要不等式求解即可.
由题意可知，点在圆上，
所以，
因为，
所以，
所以，
又因为，
所以，当且仅当取等号.
故选：B.
12．D
据题意，设，，，由已知可得点在圆上运动，由，数形结合即可求得取值范围．
设，
由，可得，
所以点在圆上，则.
又点到圆心的距离为，圆的半径，
故，
所以的取值范围为.
故选：D.
13．
分析出圆心在直线上，再结合其在上，最后得到圆心坐标即可得到答案.
若经过点，，则圆心在直线上，
又在直线l：上，令，则，
故圆心坐标为，半径为，
故所求圆的标准方程为.
故答案为：.
14．5
点在以原点为圆心，4为半径的圆上，点在圆内，当三点共线，且在点两侧时，线段长的最大.
已知是坐标原点，，则点在以原点为圆心，4为半径的圆上，
，点在圆内，
当三点共线，且在点两侧时，线段长的最大，
此时.
故答案为：5.
15．
由题意，先求得线段的中点坐标，再求得直线的斜率为即可.
解：圆的圆心为，圆的圆心为，
则线段的中点为，
因为圆和圆关于直线对称，
所以，
所以直线的方程是，即，
故答案为：
16．
设动点的坐标，利用两点间距离公式，整理的表达式，则可得到当取得最小值时，取得最小值，由定点到圆上一点的距离最小，求解即可.
由已知，，
设，，，
所以，
因为，所以当取得最小值时，取得最小值，
由的最小值为，
所以的最小值为.
故答案为：.
17．
确定出两圆的圆心和半径，然后根据四点共线求解出的最大值.
圆的圆心为，半径，
圆的圆心为，半径，
所以，
当且仅当共线，且在中间时取等号，
所以点到点的距离的最大值为，
故答案为：.
18．
先根据判断出为等腰直角三角形以及点的限制条件，求出，再利用两点间距离公式化简可得到点的轨迹方程.
设点，，.
如图所示：
点P，Q是圆上的两个点，直线OP与OQ的斜率都存在.
，.
当时，，
，为等腰直角三角形.
点M是PQ的中点
在中，
由两点间距离公式得，其中，
即，
所以PQ的中点M的轨迹方程为．
19．(1)
(2)
（1）求线段的中点，且斜率不存在，写出方程；
（2）解法一：由题意，设，将点代入得方程；
解法二：求出直线与直线的交点为圆心，可得方程.
（1）因为点，，
所以线段的中点为
因为直线的斜率为，所以垂直平分线的斜率不存在.
所以垂直平分线的方程为；
（2）解法一：因为关于直线对称，则可设的方程为，
又因为点，在上，所以，
解得，
所以的标准方程为.
解法二：因为直线与直线的交点为圆心，
由，解得，
故圆心.
又因为.
所以的标准方程为.
20．(1)
(2)
（1）利用圆的对称性先确定圆心，再求半径即可；
（2）设P坐标，利用两点距离公式及点在圆上消元转化为函数求值域求范围即可.
（1）圆经过，两点，得圆心在的中垂线上，
又圆心C在直线上，联立直线方程有，得，
即圆心坐标为，
又，
故圆C的标准方程为．
（2）设，易知，
则（*），
因为点P在圆C上运动，则，
故（*）式可化简为，，
由得的取值范围为．
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